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1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形在同一底边上的两个角相等；(3)等腰梯形的对角线相等；(4)等腰梯形是轴对称图形．
2．判定：(1)定义法；(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．
1．定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
2．判定：(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰；(2)定义法．
3．性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
4．梯形的面积＝中位线高.
例1(1)(2012·广州)如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝5，DC＝4，DE∥AB交BC于点E，且EC＝3，则梯形ABCD的周长是()A．26B．25C．21D．20
(2)(2012·长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝2cm，∠D＝60°，则边DC＝__________cm.
例2(2012·杭州)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE.
(1)求证：AF＝DE；
(2)若∠BAD＝45°，AB＝a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．
答案：C
2．如图，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为()
(第2题)A．9B．10.5C．12D．15
答案：C
3．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为()
A．12cm2B．18cm2
C．24cm2D．30cm2
答案：C
4．等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是6cm.
5．以线段a＝16，b＝13为梯形的两底，以c＝10为腰，则另一腰长d的取值范围是7＜d＜13.
6．如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数；
(2)求AB的长．
答案：(1)∠BDF＝90°(2)AB＝6
2．(2012·烟台)如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为(4,0)，D点坐标为(0,3)，则AC的长为()
A．4B．5
C．6D．不能确定
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是()
A．40°B．45°
C．50°D．60°
【解析】∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝25°.又AD＝DC＝CB，∴∠CBD＝∠CDB＝25°，∠BAD＝∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝25°＋25°＝50°.
答案：C
4．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为()
A．2B.C．3D.
【解析】过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，可证Rt△ABM≌Rt△DCN，则MN＝AD＝2，BM＝CN＝(4－2)＝1，
∴DC＝＝＝.
答案：D
5．(2012·无锡)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于()
A．17B．18C．19D．20
6．(2012·十堰)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则梯形ABCD的周长为()
A．22B．24C．26D．28
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是()
A．2B．4
C．8D．1
8．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2cm，则梯形ABCD的面积为()
A．3cm2B．6cm2
C．6cm2D．12cm2
【解析】由题意易证，AD＝CD＝BC＝2cm，∠CAB＝
∠B＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝4(cm)．过点C作CM⊥AB于M，则CM＝(cm)，∴S梯形ABCD＝·CM＝×＝3(cm2)．
答案：A
9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝CD＝2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论中不正确的是()
A．CP平分∠BCD
B．四边形ABED为平行四边形
C．CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分
D．△ABF为等腰三角形
【解析】由题意知BC＝CD，∠BCF＝∠DCE，CF＝CE，
∴△BCF≌△DCE，∴∠CBF＝∠CDE.又BE＝DF，∠BPE＝∠DPF，
∴△BPE≌△DPF，∴PE＝PF，∴△CEP≌△CFP，
∴∠ECP＝∠FCP.∴CP平分∠BCD.
∵BC＝2AD，E为BC中点，∴BEAD.∴四边形ABED为平行四边形，∴AB＝DE＝BF，∴△ABF为等腰三角形．∴选项A、B、D均正确．
答案：C
10．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论：①∠ABC＝∠DCB，②OA＝OD，③∠BCD＝∠BDC，④S△AOB＝S△DOC，其中正确的是()
A．①②B．①④
C．②③④D．①②④
【解析】正确的是①②④，③不一定成立．
答案：D
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M是AB的中点，若△DMC的面积为S，则梯形ABCD的面积为()
A.SB．2SC.SD.S
【解析】延长DM、CB交于点N，可得△ADM≌△BNM，∴DM＝MN，∴S△DMC＝S△MNC，∴S梯形ABCD＝2S.
答案：B
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于()
A．9B．10C．11D．12
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．(2012·扬州)已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是3cm.
【解析】设梯形的上底长为xcm，梯形的中位线长＝(x＋5)＝4，解得x＝3.
所以梯形的上底长为3cm.
15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为.
(第15题)
16．在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝7，BC＝8，AD＝2，则另一腰CD的取值范围是1
【解析】数形结合法平移一腰，利用三角形三边关系易得1
三、解答题(共36分)
17．(6分)(2012·南充)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD，求证：∠B＝∠E.
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B＝∠BCD，∠BCD＝∠EDC.
∴∠B＝∠EDC.
∵CE＝CD，∴∠EDC＝∠E，∴∠B＝∠E.
18．(10分)(2012·襄阳)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.
(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
(1)证明：∵AD∥BC.
∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD.
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.
∴∠DEC＝∠AEB.
又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB.
∴AB＝CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．
19．(10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝4，∠C＝45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.
(1)当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
(2)当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？请说明理由．
20．(10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC的中点，连接EG、AF.
(1)求EG的长；
(2)求证：CF＝AB＋AF.
(1)解：∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝45°＝∠DCB，
∴BD＝CD＝2.
在Rt△BDC中，BC＝＝2.
∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG＝BC＝.
(2)证明：如图所示，在线段CF上截取CH＝BA，连接DH.∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DFC＋∠DCF＝90°.
又∵∠EFB＝∠DFC，
∴∠EBF＝∠DCF.
又∵BD＝CD，BA＝CH，
∴△ABD≌△HCD(SAS)．
∴AD＝HD，∠ADB＝∠HDC.
又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°.∴∠HDC＝45°，
∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°，∴∠ADB＝∠HDB.
又∵AD＝HD，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF(SAS)，∴AF＝HF，
∴CF＝CH＋HF＝AB＋AF.
【点拨】(1)由BC∥AD，DE∥AB，可得四边形ABED是平行四边形，继而得BE的长，BC的长，由等腰梯形ABCD，可得AB的长，从而得梯形ABCD的周长．
(2)过A作AE∥BC，证AECB为平行四边形，继而可得△ADE为等边三角形．
【解答】(1)C∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD＝5，∵EC＝3，∴BC＝BE＋EC＝8，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC＝4，∴梯形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4＋8＋4＋5＝21.
(2)4过点A作AE∥BC交CD于点E，因为AB∥DC，所以四边形AECB是平行四边形，所以AE＝BC＝AD＝2cm，AB＝EC＝2cm，又AB＝AD＝2cm，∠D＝60°，所以AD＝DE＝AE＝2cm，所以DC＝DE＋EC＝4cm.
【解答】(1)证明：∵等腰梯形ABCD，∴∠BAD＝∠CDA.
又∵等边三角形ABE和等边三角形DCF，
∴∠EAB＝∠FDC，∴∠EAD＝∠FDA.
又∵AE＝AB＝DC＝DF，AD是公共边，
∴△EAD≌△FDA，∴AF＝DE.
(2)作BH⊥AD于H.
∵∠BAD＝45°，AB＝a，∴BH＝a，
∴AH＝a，
由条件得2·a2＝·a，
解得BC＝a.
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是()
(第1题)
A．AC＝BDB．OB＝OC
C．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD
1．基本思路：梯形问题三角形或平行四边形．
2．常见辅助线的作法
【点拨】(1)要证AF＝DE，考虑证明△AFD和△DEA全等；(2)作BH⊥AD，抓住∠BAD＝45°，AB＝a，分别用含有a的代数式表示△ABE和△DCF的面积以及梯形ABCD的面积，根据△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，
∴OA＝BE，DO＝CE＝3，∴AE＝OB＝4，则AC＝＝5.也可以连接BD，求出BD＝5，∴AC＝BD＝5.
答案：B
【解析】∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴DE＝CE，
∵AD＝3，AB＝5，BC＝9，
∴四边形ABED的周长为：AB＋BE＋DE＋AD＝AB＋BE＋EC＋AD＝AB＋BC＋AD＝5＋9＋3＝17.故选A.
答案：A
【解析】∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC，∠DMC＝∠MCB，
又∵MC＝MB，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠AMB＝∠DMC，
在△AMB和△DMC中，∵
∴可得△AMB≌△DMC，∴AB＝DC，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝24.故选B.
答案：B
【解析】连接BF、CF，设点F到BC的距离为h，利用面积法有S梯形ABCD＝SRt△ABF＋SRt△FDC＋S△BFC.即×1×2＋×2×4＋BC·h＝(1＋4)×4，∴BC·h＝10，过B作BE⊥DC于点E.在Rt△BCE中，BC＝＝＝5，∴h＝2.
答案：A
【解析】过D作DH∥AC，交BC的延长线于点H，
∵AD∥BC，∴四边形ACHD为平行四边形，∴AC＝DH，AD＝CH.∵AB＝CD，AD∥BC，∴AC＝BD，∴DH＝BD.
∵AC⊥BD，DH∥AC，∴∠BDH＝∠AOD＝90°.
∵DF⊥BC，DH＝BD，∴DF为Rt△BDH斜边BH上的中线．∴DF＝BH＝(BC＋CH)＝×(BC＋AD)＝×(8＋4)＝6.∵AE＝DF，AD＝EF，∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10.
答案：B
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5，则△CDE的周长是15.
(第14题)
【解析】CD＝DE＝AB＝6，CE＝BC－BE＝BC－AD＝8－5＝3.∴△CDE的周长＝DE＋DC＋EC＝6＋6＋3＝15.
【解析】如图，延长CD交BA的延长线于F，∵CE平分∠BCD，CE⊥AB，
∴EF＝BE.又BE＝2AE，∴AF＝AE.
∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC.
设S△FAD＝x，则＝()2＝()2＝.
∴S△FBC＝16x，S△FEC＝8x，∴S四边形AECD＝7x＝1.
∴x＝.∴S梯形ABCD＝S△BCE＋S四边形AECD＝15x＝.
(2)解：当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
理由：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB＝ED.∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC.
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴AG＝，
∴S菱形AECD＝EC·AG＝2×＝2.
解：(1)3或8(2)1或11(3)由(2)知，当BP＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．当BP＝1时，PE＝5，过点D作DF⊥BC于F，∵CD＝4，∠C＝45°，∴DF＝FC＝4.∴EF＝2.在Rt△DEF中，
DE＝＝2≠PE，
∴此时以点P、A、D、E为顶点的四边形不是菱形．
当BP＝11时，EP＝5.在Rt△DFP中，DP＝＝＝5＝EP.此时以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形．所以在点P的运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
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