上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第20讲多边形与平行四边形zxxkwzxxkwzxxkwzxxkwzxxkw1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4B．5C．6D．7答案：C2．正十边形的每个外角等于()A．18°B．36°C．45°D．60°答案：B4．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有()A．6种B．5种C．4种D．3种答案：C考点训练2．(2012·湛江)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4B．5C．6D．7答案：C3．(2012·杭州)已知?ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝()A．18°B．36°C．72°D．144°答案：B4．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有()A．4种B．3种C．2种D．1种答案：B【解析】在ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE.∵AB＝6，∴CD＝CE＝6.∵AD＝8，∴BC＝8，∴BE＝BC－CE＝8－6＝2(cm)．
10.如图，在?ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是AB、BD、BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则ABCD的周长是()A．10B．20
C．15D．6
17．(2012·山西)如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是4n－2(或2＋4(n－1))(用含有n的代数式表示)．
20．(8分)(2012·衢州)如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、CF.请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
答案：A
7．如图，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE等于()
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【解析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
【解析】用n个全等的正六边形围成一圈后，中间形成的正多边形的一个内角为360°－120°×2＝120°，则n＝6.
三、解答题(共32分)
18．(8分)(2012·无锡)如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证：∠BAE＝∠CDF.
例1(1)(2012·包头)如图，过ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的AEMG的面积S1与HCFM的面积S2的大小关系是()
A．S1>S2B．S1
例1(1)题
答案：C
8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是()
A．7B．9
C．10D．11
答案：B
14.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于15.
21．(8分)(2012·潍坊)如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)当四边形AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB∶AE的值．
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2012·深圳)如图，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为()
A．120°B．180°C．240°D．300°
【点拨】本题组主要考查了平行四边形的性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质及多边形的外角和与补角的概念．
5．5张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其他均相同．把这5张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是.
答案：A
【解析】平行四边形ABCD中，点E、O、F分别是AB、BD、BC的中点，OE＝3，OF＝2，∴AD＝2EO＝6，DC＝2OF＝4，∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋DC)＝2×(6＋4)＝20，故选B.
二、填空题(每小题4分，共20分)13．(2012·成都)如图，将ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝70°.
【解析】第一个图案中有正六边形2个，正三角形2个；第二个图案中有正六边形4个，正三角形6个；第三个图案中有正六边形6个，正三角形10个；第四个图案中有正六边形8个，正三角形14个，…，即后面的一个图案比前面一个图案多4个三角形，所以第n个图案中阴影小三角形的个数用含有n的代数式表示是4n－2(或2＋4(n－1))．
19．(8分)(2012·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积．
(3)(2012·南京)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________°.
(4)(2012·乌鲁木齐)如图，在周长为20的ABCD中，AB
3．如图，将ABCD折叠，使顶点D恰巧落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC，②MN＝AM.下列说法正确的是()
A．①②都对B．①②都错
C．①对，②错D．①错，②对
答案：B
【解析】如图所示，
作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由题意得AE＝BD＝AB＝2＞，∴在边AB和AD上各存在一个点P到BD的距离为.∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°，∴∠CDF＝45°.
∴CF＝CD＝×＝1＜，∴在边BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述，故选B.
15．(2012·佳木斯)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件AF＝CE，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
证明：在ABCD中，AB＝CD，AB∥DC，
∴∠B＝∠DCF.
在△ABE和△DCF中，
AB＝DC，∠B＝∠DCF，BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠BAE＝∠CDF.
(2)解：当四边形AECF为菱形时，如图，连接AC交EF于点O，则AC与EF互相垂直平分．
又BO＝OD，
所以AC与BD互相垂直平分．
所以四边形ABCD是菱形，
所以AB＝BC.
1．多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．
注意：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．
2．n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.
例2（2012·沈阳)已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
答案：提示：证△CEB≌△AFD即可
5．(2012·泰安)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为()
A．53°B．37°C．47°D．123°
11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为()
A．1B．2C．3D．4
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，∠AEB＝∠CED＝45°，
BE＝2，∴AB＝AE＝2.
∴AC＝AE＋EF＋FC＝3＋.
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC
＝AC·DF＋AC·AB
＝×(3＋)×1＋×(3＋)×2
＝＋.
∴四边形ABCD的面积是＋.
1．只用一种多边形能进行镶嵌的有：三角形，四边形和正六边形；
2．用两种多边形能进行镶嵌的有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形以及正三角形和正十二边形；
3．用三种多边形能进行镶嵌的一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形．
6．如图，E，F是ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF.求证：BF＝DE.
答案：B
12．(2012·德阳)如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE(点P、E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为()
A.B.
C.D.
16．(2012·河北)用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①.用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为6.
【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.
又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN.
(2)由(1)得AM＝CN，
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ABCD，∴BMDN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
6．(2012·河北)如图，在ABCD中，∠A＝70°，将ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF等于()
A．70°B．40°
C．30°D．20°
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，DF＝2，则EF的长为()
A．2B．2C．4D．4
【解析】添加的条件是AF＝CE.理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
猜想：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF.
【点拨】(1)利用ASA即可得证；(2)考查平行四边形的性质和判定．
(2)(2012·南宁)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是()
A．3cm
C．1cm
例1(2)题
【解答】(1)C平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形，所以可推出S1＝S2.
(2)C在△ABC中，由三边关系可知BC－AB
(3)300∵∠A＝120°，∴∠A的补角为60°，∵多边形的外角和为360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－60°＝300°.
(4)10根据平行四边形的对角线互相平分可知OB＝OD，又因为OE⊥BD，由垂直平分线的性质知BE＝DE，所以△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋DE＝AB＋AD，因为平行四边形的周长是20，所以AB＋AD＝10，即△ABE的周长为10.
【解析】由勾股定理易得BC＝5，由三角形中位线定理得EFBC，HGBC，∴EFHG，同理EHGF.
∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD＝6，BC＝5，
∴EH＝3，EF＝.∴四边形EFGH的周长为2(3＋)＝11.
答案：D
【解析】在ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.
又∵AE∥BD，∴四边形ABDE为平行四边形，∴DE＝AB.
∵EF⊥BF，DF＝2，∴CE＝2DF＝4.
∵∠ECF＝∠ABC＝60°，
∴EF＝CE·sin∠ECF＝4×＝2.
答案：B
即EF∥AB，∴P，E，F共线，设BD＝a，∵BD＝AB，
∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a，∵PH∥BC，
∴S△HBC＝S△PBC，∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a，∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4.故选D.
答案：D
【解析】
如图，分别将AB、CD、EF向两端延长交于G、H、I.
∵六边形ABCDEF的六个内角都相等，
∴每个角均为120°.∴△BCG，△DEH和△AFI都是等边三角形．
∴GC＝BC＝3，DH＝EH＝DE＝2，IF＝AF，HI＝GH＝3＋3＋2＝8，IE＝IH－EH＝8－2＝6.
∴这个六边形的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋AF＝1＋3＋3＋2＋6＝15.
解：过点D作DF⊥AC于点F.
在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝，
∴DF＝EF＝1.
在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
∴CD＝2DF＝2.
∴FC＝.
(1)证明：因为AM⊥BC，所以∠AMB＝90°.
因为CN⊥AD，所以∠CNA＝90°.
又因为BC∥AD，所以∠BCN＝90°，所以AE∥CF.
又由平行得∠ADE＝∠CBF，又AD＝BC，
所以△ADE≌△CBF.所以AE＝CF.
所以四边形AECF为平行四边形．
因为M是BC的中点，AM⊥BC，
所以AB＝AC.所以△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝60°，∠CBD＝30°.
在Rt△BCF中，CF∶BC＝tan∠CBF＝，
又AE＝CF，AB＝BC，所以AB∶AE＝.
答案：B
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