考点训练一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2012·温州)下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是()A．a＝－2B．a＝－1C．a＝1D．a＝2【解析】当a＝－2时，满足a2>1的条件，但不满足a>1的结论．故a＝－2可以作为证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例．答案：A2．(2012·深圳)下列命题，其中真命题有()①方程x2＝x的解是x＝1；②4的平方根是2；③有两边和一角相等的两个三角形全等；④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形．A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1；4的平方根是±2；有两边和一角相等的两个三角形不一定全等．故命题①②③都是假命题，只有命题④是真命题，故选D.答案：D3．如图所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C的个数是()A．2B．3C．4D．5答案：C4．下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是()A．两个角和其中一角的对边B．三个角C．两边和其中一边的对角D．任意给出三条线段作三角形的三边答案：A上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第19讲尺规作图与命题证明zxxkwzxxkwzxxkwzxxkwzxxkw
1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．
2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
2．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】如图，可以作出4个这样的三角形．
分别是：
以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆，两圆相交于两点(DE上下各一个)，分别与D，E连接后，可得到两个三角形．
以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆，两圆相交于两点(DE上下各一个)，分别与D，E连接后，可得到两个三角形．因此最多能画出4个．
(2)(2012·天津)“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设∠α＝∠MAN.
①当∠MAN＝69°时，∠α的大小为____________度；
②如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB＝2.5cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法(不要求证明)．
答案：B
【解析】∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠C.
∵DE＝AC，AD＝AD，∠ADE＝∠DAC，
即∴△ADE≌△DAC，∴∠E＝∠C，
∴∠B＝∠E，AB＝DE.
但是四边形ABDE不是平行四边形，
故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意．
9．(2012·呼和浩特)下列命题中，真命题有()
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行；
②函数y＝x2＋图象上的点P(x，y)一定在第二象限；
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面；
④使得|x|－y＝3和y＋x2＝0同时成立的x的取值为.
A．3个B．1个C．4个D．2个
12．下列命题中，其逆命题成立的是①④(只填写序号)．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2(c为最长边)，那么这个三角形是直角三角形．
17．(10分)(2012·德州)如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图的痕迹，不要求写作法)．
例1(1)(2012·河南)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°.按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；
②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为____________．
3．下列说法正确的是()
A．“作线段CD＝AB”是一个命题
B．三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心
C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是真命题
D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
6．(2012·资阳)如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC.运用这个图(不添加辅助线)可以说明下列哪一个命题是假命题()
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行的四边形是梯形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
如图，连接OB、OC、BD、CD.
∵OB＝OD＝BD，∴∠BOD＝60°.
同理∠COD＝60°，∴∠BOC＝∠AOB＝∠AOC＝120°，
∴AB＝AC＝BC，则△ABC是正三角形．
所以选A.
解：如图，连接BD、CE交于点K，连接AK并向两端延长，则直线AK即为所求．
1．尺规作图：限定作图工具，只有圆规和没有刻度的直尺．
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线．
【解答】(1)65°根据作图过程可知AG是∠BAC的平分线．因为∠CAB＝50°，所以∠DAC＝25°.又因为∠C＝90°，所以∠ADC＝90°－∠DAC＝65°.
(2)①23；
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
7．如图，在边长为1个单位的6×6的网格中，已知线段AB，找格点C，使S△ABC＝2平方单位，则这样的C点共有()
A．4个B．5个C．6个D．7个
13．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段8条．
18．(10分)(2012·杭州)如图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a.
(1)用直尺和圆规作出△ABC(要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)；
(2)记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明>π.
(2)等腰三角形．
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴△BDE≌△BDC，
∴∠FDB＝∠CDB.
4．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是①②④(填写所有真命题的序号)．
答案：C
【解析】一个图形经过平移变换后的图形与原来图形的对应线段平行或在同一条直线上，经过旋转变换后的图形与原来图形的对应线段不一定平行，所以①错．因为使函数y＝x2＋有意义的x的取值为x<0，又y>0，所以点P(x，y)一定在第二象限，②正确．由正投影的定义和性质知其投影线彼此平行且垂直于投影面，③正确．
当x>0时，由，得
1．定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．
2．命题：判断一件事情的语句．
(1)命题由题设和结论两部分组成．
(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
答案：D
5．如图所示，已知线段a、h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.
张红的作法是：
①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB、AC，△ABC即为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()
A．①B．②C．③D．④
8．(2012·绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．
2．连接AB，AC.
△ABC即为所求作的三角形．
乙：1.以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
15．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出4个．
(2)作出△ABC的外接圆如图②，圆心为O.
∵(3a)2＋(4a)2＝(5a)2，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，AC为外接圆直径．
4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．
(2)作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考中的常见类型．
6．作图题的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论．其中步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但所作图中一定要保留作图痕迹．
例2(1)(2012·广州)在平面中，下列命题为真命题的是()
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
(2)(2012·包头)已知下列命题：
①若a≤0，则|a|＝－a；
②若ma2>na2，则m>n；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④垂直于弦的直径平分弦．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
1．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是()
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
答案：(1)图略(2)72°
答案：D
10．下列命题中真命题的个数为()
①垂直于半径的直线是圆的切线；②平分弦的直径垂直于弦；③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1；④若反比例函数y＝－的图象上有两点(，y1)，(1，y2)，则y1＜y2.
A．1B．2C．3D．4
14．如图所示，已知线段a，c和∠α，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．
解：(1)如图①，截取AC＝5a，分别以点A，点C为圆心，以3a和4a长为半径画弧，两弧交于点B；连接AB、BC，则△ABC即为所求．
例3(2012·兰州)如图①，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠．
(1)在图②中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
答案：B
【解析】如图，设BC交OD于E，连接OB，OC，由作法可知：OE＝OD＝OC，
∴∠OCE＝30°，∴∠BOC＝120°.
又∠AOC＝∠AOB＝120°，
∴AB＝AC＝BC，则△ABC是正三角形．
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中是真命题的是①②④(填写所有真命题的序号)．
三、解答题(共30分)
16．(10分)(2012·江西)如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴(保留画图痕迹)．
3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理.
4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
【点拨】(1)考查尺规作图及利用三角形内角和定理求角的度数；(2)考查作图以及对直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识的理解．
②
如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B的水平方向的网格线交于点D；保持直尺有刻度一边过点A，调整点C，D的位置，使CD＝5cm，画射线AD，此时∠DAM即为所求的∠α.借助于平行线构造出一个∠α，再设法证明剩余的角为∠α的2倍．取CD的中点E，连接BE，则直角三角形BCD的中线BE＝CD＝DE＝AB＝2.5cm，所以∠D＝∠DBE，∠BEA＝∠BAE.因为∠BEA＝2∠D，所以∠BAE＝2∠D，又因为BD∥AM，所以∠BAE＝2∠D＝2∠DAM，所以∠DAM＝∠MAN.
【点拨】(1)四边相等的四边形是菱形；对角线相等的四边形不一定是菱形；四个角相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形也不一定是平行四边形，故选C.
(2)①正确，其逆命题也正确；②正确，但其逆命题错误；③及其逆命题均正确；④正确，但其逆命题错误，所以原命题与逆命题均为真命题的个数有2个．
【解答】(1)C(2)B
【点拨】本题考查尺规作图的能力及运用几何知识推理论证的能力．
【解答】(1)作法参考：
方法1：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；
方法2：作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；
方法3：作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；
方法4：作∠DBH＝∠DBC，过D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D，B为圆心，DC，BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE.
(注：作法合理均可得分)
∴△DEB为所求作的图形．
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BDF是等腰三角形．
【解析】第③步错在没说明怎样截取线段h.
答案：C
2．连接AB，BC，CA.
△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断()
A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
答案：A
解得x1＝，x2＝(舍去)；
当x<0时，由，得
解得x3＝(舍去)，x4＝，所以使得|x|－y＝3和y＋x2＝0，同时成立的x的取值为x＝或x＝，④错误．
综上所述，命题①④错误，②③正确．故答案选D.
答案：D
【解析】①中未强调过半径外端点，是假命题；②未说明被平分的弦不是直径，因为两条直径一定互相平分，但不一定互相垂直，②是假命题；只有③④是真命题．
答案：B【解析】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本选项正确，
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本选项错误，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
故答案为①②④.
【解析】①的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，
②的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，错误，
③的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误，
④的逆命题为：如果一个三角形是直角三角形，那么该三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2(c为最长边)，正确，故答案为①④.
(1)如图①所示，作∠MBN＝∠α；
(2)如图②所示，在射线BM上截取BC＝a，在射线BN上截取BA＝c；
(3)连接AC，如图③所示，△ABC就是所求作的三角形．
解：作图如图，C1，C2就是所求的位置．
∴S△ABC＝AB·BC＝6a2，
S⊙O＝()2π＝πa2.
∴＝＝π>π.
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