考点训练上一页下一页首页基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练基础巩固训练中考典例精析上一页下一页首页考点知识梳理考点训练第13讲反比例函数zxxkwzxxkwzxxkwzxxkw三、解答题(共36分)
17．(8分)(2012·大连)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A(－2,6)和点B(4，n)．(1)求这两个函数的解析式；
(2)直接写出不等式kx＋b≤的解集．
9．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是()
A．x＜－1或0＜x＜3
B．－1＜x＜0或x＞3
C．－1＜x＜0
D．x＞3
12．(2012·潍坊)点P在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点Q(2,4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为y＝－.
由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值就可以．
待定系数法求解析式的步骤：
(1)设出含有待定系数的函数解析式；
(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；
(3)解方程求出待定系数，从而确定解析式．
【点拨】本题考查确定反比例函数的系数k.
5.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．6
答案：B
6．(2012·青岛)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，若x1
A．y3
C．y3
解：(1)∵点A(4,2)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，
∴2＝，解得k＝8.
将y＝0代入y＝2x－6，得2x－6＝0，解得x＝3，则OB＝3.
∴点B的坐标是(3,0)．
【解析】由得该方程组无解的条件是k>.因此只要使y＝中的k值满足k>即可．因此本题答案不唯一，只要写出符合条件的一个即可．
【解析】如图，作DF∥AB交AC于F，作EG∥AB交OB于G.∵AE＝3EC，∴BG＝3OG.又∵D为OB的中点，
∴F为AC的中点．
∵点A在双曲线y＝上，设点A的坐标为(x，)，则OC＝2AB＝2x，BD＝，DG＝.
∵DF是梯形ABOC的中位线，∴DF＝(AB＋OC)＝x.
∴S△ADE＝S△ADF＋S△DEF＝DF·DB＋DF·DG＝
答案：D
7.如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(，8)，直线y＝－x＋b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．
4．(2012·常德)对于函数y＝，下列说法中错误的是()
A．它的图象分布在一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x>0时，y的值随x的增大而增大
D．当x<0时，y的值随x的增大而减小
18．(8分)(2012·宁夏)如图，直线y＝kx＋与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，与坐标轴分别交于M、N两点，当AM＝MN时，求k的值．
7．(2012·山西)已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(2,6)，则它们的另一个交点坐标是()
A．(－2,6)B．(－6，－2)
C．(－2，－6)D．(6,2)
13．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是m<1.
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围.例3(2012·天津)已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1)．
(1)其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y1>y2时，试比较x1与x2的大小．
2．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是()
A．图象经过点(1,1)
B．图象在第一、三象限
C．当x>1时，0
D．当x<0时，y随着x的增大而增大
答案：D
解：(1)当x＝－2时，y＝6，∴m＝xy＝－12.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
当x＝4时，y＝n，
∴n＝－＝－3，∴B(4，－3)．
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋3.
(2)－2≤x＜0或x≥4.
答案：A
【解析】设点P(x，y)，∵点P与点Q(2,4)关于y轴对称，则P(－2,4)，∴k＝xy＝－2×4＝－8.∴y＝－.
【点拨】本组题主要考查反比例函数的图象和性质，解决此类问题时，往往用数形结合的思想方法，在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用．这是因为“形”能直观地启迪“数”的计算，“数”能准确地澄清“形”的模糊.
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中此函数图象也经过的点是()
A．(－3,2)B．(3,2)
C．(2,3)D．(6,1)
5．(2012·兰州)在反比例函数y＝(k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－，y2)，则y1－y2的值是()
A．负数B．非正数
C．正数D．不能确定
19．(10分)(2012·丽水)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.(1)求该双曲线所表示的函数解析式；
(2)求等边△AEF的边长．
答案：C
15．(2012·桂林)双曲线y1＝，y2＝在第一象限的图象如图，过y2上的任意一点A作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连接BD、CE，则＝.1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，其函数图象如图所示，则电流强度I(A)与电阻R(Ω)的函数解析式是()
A．I＝
B．I＝
C．I＝
D．I＝－
例1(1)(2012·兰州)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为()
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
(2)(2012·哈尔滨)如果反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，则k的值是()
A．2B．－2C．－3D．3
(3)(2012·乌鲁木齐)函数y＝－(k为常数)的图象过点(2，y1)和(，y2)，则y1与y2的大小关系是()
A．y1
C．y1>y2D．与k的取值有关
答案：C
【解析】将(2,6)分别代入y＝ax和y＝得a＝3，k＝12，
解方程组得
即它们的另一个交点坐标是(－2，－6)．
10．反比例函数y＝的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为()A．2B．－2C．4D．－4
14．函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，则下列结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(2,2)；
②当x>2时，y2>y1；
③当x＝1时，BC＝3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是①③④.
2．反比例函数的图象和性质
反比例函数y＝(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.例2(2012·河南)如图，点A，B在反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为____________．
答案：C
2．(2012·无锡)若双曲线y＝与直线y＝2x＋1的一个交点的横坐标为－1，则k的值为()
A．－1B．1
C．－2D．2
答案：A
20．(10分)(2012·广东)如图，直线y＝2x－6与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(4,2)，与x轴交于点B.(1)求k的值及点B的坐标；
(2)在x轴上是否存在点C，使得AC＝AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．(2012·陕西)在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y＝－2x＋6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是y＝(只写出符合条件的一个即可)．
16．(2012·武汉)如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为.
一般地，函数y＝(或写成y＝kx－1)(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．
反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
1．反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线．
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交．
4．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会()
A．逐渐增大B．不变
C．逐渐减小D．先增大后减小
答案：A
【解析】因为反比例函数y＝(k<0)中的k<0，所以函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，因为点(－1，y1)和(－，y2)均位于第二象限且－1<－，所以y1
解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°，
∴OG＝1，CG＝，
∴点C的坐标是(1，)．
∵点C在双曲线y＝上，∴＝，k＝，
∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝.
8．函数y＝ax－a与y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()
反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
【解答】因为OM＝MN＝NC，所以OM＝OC.因为△AOC的面积为6，所以△AOM的面积为2，根据反比例函数中系数k的几何意义可知k＝2S△AOM＝4.
答案：C
答案：A
3．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是()
A．y＝x2B．y＝x－1
C．y＝xD．y＝
【解析】如图所示，y3
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝|xy|＝|k|.
(4)(2012·西宁)如图，反比例函数y＝的图象与经过原点的直线相交于点A，B，已知点A的坐标为(－2,1)，则点B的坐标为____________．
【解答】(1)C由近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，可设近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)之间的函数关系式为y＝(k≠0)，把(0.25,400)代入y＝即可求得k＝0.25×400＝100，所以y与x的函数关系式为y＝，故选C.
(2)D将(－1，－2)代入反比例函数的解析式得－2＝，解得k＝3，故选D.
(3)A由函数关系式可知－(k2＋1)<0，即图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，而(2，y1)，(，y2)都位于第四象限，2<，所以y1
(4)(2，－1)反比例函数及正比例函数图象都是关于原点对称的中心对称图象，故其交点也关于原点中心对称，所以点B的坐标为(2，－1)．
【点拨】本题结合一次函数考查反比例函数的性质．
【解答】(1)由题意，设点P的坐标为(m,2)，∵点P在正比例函数y＝x的图象上，∴2＝m，即m＝2.∴点P的坐标为(2,2)．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝5.
(2)∵在反比例函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－1>0，解得k>1.
(3)∵反比例函数y＝图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1>y2，∴x1>x2.
3．已知点(－1，y1)、(2，y2)、(3，y3)在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是()
A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2
C．y3>y1>y2D．y2>y3>y1
答案：B
6．点P在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点Q(2,4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为y＝－.
【解析】当a<0时，y＝的分支在第二、四象限，y＝ax－a经过第一、二、四象限，故此题选D.
答案：D
【解析】当y1＜y2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，对应的x的取值范围是－1＜x＜0或x＞3.
答案：B
【解析】反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，形成的矩形的面积为|k|，故|k|＝2，∴|k|＝4.由图象可知k<0，∴k＝－4.
答案：D
【解析】设点A(x，)，则点B(，)，点D(x，)．
∴AB＝x－＝，AC＝x，AD＝－＝，AE＝，
∴＝，＝.∴＝.
又∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE，∴＝＝.
DF(BD＋DG)＝×x·(＋)＝3.
解得k＝.
(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a.
∴点D的坐标为(4＋a，a)．
∵点D是双曲线y＝上的点，由xy＝，
得a(4＋a)＝，即a2＋4a－1＝0，
解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，
∴AD＝2AH＝2－4，
∴等边△AEF的边长是4－8.
(2)存在．
如图，过点A作AH⊥x轴，
垂足为H，则OH＝4.
∵AB＝AC，∴BH＝CH.
∵BH＝OH－OB＝4－3＝1，
∴OC＝OB＋BH＋HC＝3＋1＋1＝5.
∴点C的坐标是(5,0)．
答案：(1)y＝y＝－x＋5(2)
答案：
答案：
解：如图，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，对于直线y＝kx＋.当x＝0时，y＝，OM＝.∵AM＝MN，∴AN＝2MN，∵Rt△MON∽Rt△ABN，∴＝，∴AB＝2.
将y＝2代入y＝中得x＝1.∴A(1,2)．
∵点A在直线y＝kx＋上，∴2＝k＋，∴k＝.
|
|
