十一、组合图形的计数（A）
年级______班_____姓名_____得分_____
一、填空题:
1.右图一共有()个长方形?
2.右图一共有()个长方形?
3.右图一共有()个长方形？
4.右图一共有()个正方形？
5.右图一共有()个长方形？
6.右图一共有()个平行四边形?
7.右图一共有()个梯形？
8.右图一共有()个正方形？
9.右图一共有()个正方形?
10.右图一共有()个正方形?
二、解答题:
11.下图共有几个正方形?
12.下图共有几个正方形?
13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?
14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?
十一、组合图形的计数（B）
年级______班_____姓名_____得分_____
一、填空题:
1.右图有()个长方形.
2.右图共有()个长方形.
3.下图共有()个长方形.
4.图中一共有多少个长方形?(含正方形).
5.数一数图中三角形的个数.
6.下图共有()个三角形.
7.下图一共有()个三角形.
8.图中,,边被分成四等分,边上的高,则图中所有三角形面积的和为多少?(以为边的三角形不计算在内.
9.下图共有()个平行四边形.
10.右图一共有()个梯形.
二、解答题:
1.数一数,右图中有多少个正方形?
2.如右图,数一数图中一共有多少个三角形?
3.下图共有几个长方形?
4.下图共有多少个长方形?
———————————————答案——————————————————————
一、填空题:
1.一共有321个.
解:上横大长方形内有长方形:
(8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(个);
下横大长方形内有长方形:
(762)(322)=63(个);
竖大长方形内有长方形:
(542)(762)=210(个);
中间重复的长方形共有:
(542)(322)2=60(个).
图中共有长方形:108+63+210-60=321(个).
2.一共有64个.
3.一共有107个.
解:(1+2+3+4)(1+2+3)=60(个);
(1+2+3)(1+2+3)=36(个);
1+2=3(个);
(1+2)4+2=14(个);
图中共有长方形:60+36-3+14=107(个).
4.一共有18个.
解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3的正方形有1个.
因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).
5.一共有79个.
解:在大长方形中共有长方形:(3+2+1)((3+2+1)=36(个).
在小长方形中共有长方形:(3+2+1)((3+2+1)=36(个).
在两个长方形中增加的长方形有:8(个).
在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.
所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).
6.右图一共有(150)个平行四边形.
(542)(652)=150(个).
点金术:与算平行四边形的方法一样.
7.一共有(90)个.
(652)(432)=90(个).
8.一共有(55)个.
解:分类进行统计,得
边长为1的正方形有55=25(个);
边长为2的正方形有44=16(个);
边长为3的正方形有33=9(个);
边长为4的正方形有22=4(个);
边长为5的正方形有11=1(个).
图中共有正方形:25+16+9+4+1=55(个).
9.一共有60个.
解:分类进行统计,得
边长为1的正方形有47=28(个);
边长为2的正方形有36=18(个);
边长为3的正方形有25=10(个);
边长为4的正方形有14=4(个).
图中共有正方形:47+36+25+14=60(个).
10.右图一共有(110)个正方形.
解:图中是一个410方格,其中正方形的个数是:
410+39+28+17=90(个);
图中是一个46方格,其中正方形的个数是:
46+35+24+13=50(个);
在上面的两项统计中,内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因是44方格,其中正方形的个数是:
44+33+22+11=30(个).
所以,图中正方形的个数是:90+50-30=110(个).
二、解答题:
11.一共有95个.
解:中间部分的正方形有:
52+42+32+22+12=55(个);
上、下部分的正方形有:
(4+2+1)2=14(个);
左、右部分的正方形有:
(9+2+2)2=26(个).
共有正方形:55+14+26=95(个).
12.共有46个.
解:正摆着的正方形有:
43+32+21=20(个);
斜摆着的正方形有:
.最小的正方形有17个;
.由4个小正方形组成的正方形有8个,
.由9个小正方形组成的正方形有1个.
图中共有正方形:20+17+8+1=46(个).
13.至少有160个.
解:因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形:100+100-40=160(个).
14.最多有7个.
解:最多有7个正方形.摆法如右图.
———————————————答案——————————————————————
1.58个
2.25个
3.29个
4.1980个
图中线段10×11÷2=55(条),
边上共有线段8×9÷2=36(条),
因此,图中共有长方形55×36=1980(个).
5.27个
这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.
.以一条基本线段为边的三角形:
尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:
W上=1+2+3+4=10(个).
尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:
W下=1+2+3=6(个).
.以两条基本线段为边的三角形:
尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:
W上=1+2+3=6(个)
尖朝下的三角形只有一个,记为W下=1(个).
.以三条基本线段为边的三角形:
尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:
W上=1+2=3(个).
尖朝下的三角形零个,记为W下=0(个).
.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为W上=1(个).
所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).
我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数,即按尖朝上与朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.
.尖朝上的三角形共有四种:
W上=1+2+3+4=10
W上=1+2+3=6
W上=1+2=3
W上=1
所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(个)
.尖朝下的三角形共有二种:
W下=1+2+3=6
W下=1
W下=0
W下=0
则尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(个)
所以,尖朝上与尖朝下的三角形一共有:20+7=27(个)
尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续
自然数的和,其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数,直到1为止.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个恰是尖朝上的第二个和,依次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.
6.126个
.尖朝上的三角形有五种:
(1)W上=8+7+6+5+4=30
(2)W上=7+6+5+4=22
(3)W上=6+5+4=15
(4)W上=5+4=9
(5)W上=4
尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)
.尖朝下的三角形有四种:
(1)W下=3+4+5+6+7=25
(2)W下=2+3+4+5=14
(3)W下=1+2+3=6
(4)W下=1
尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)
80+46=126个.
7.35个
.与相同的三角形共有5个;
.与相同的三角形共有10个;
.与相同的三角形共有5个;
.与相同的三角形共有5个;
.与相同的三角形共有5个;
.与相同的三角形共有5个.
所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5+5=35(个).
8.20平方厘米
底边为1cm的三角形面积和为:;
底边为2cm的三角形面积和为:;
底边为3cm的三角形面积和为:;
底边为4cm的三角形面积和为:;
图中所有三角形面积和为:.
9.315个
(个)
10.45个
最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:
(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)
长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)
梯形的总数为:63-18=45(个)
二、解答题
11.有124个.
基本的三角形有:
4×9=36(个).
由两个基本的三角形组成的三角形有:
4×9=36(个).
由四个基本的三角形组成的三角形:
4×3×2=24(个).
由九个基本的三角形组成的三角形:
4×2=8(个).
由八个基本的三角形组成的三角形:
4×4=16(个).
由十八个基本的三角形组成的三角形:
4(个).
共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).
12.有100个.
这是个对称图形,我们可按如下三步顺序来数:
第一步:大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.
第二步:每两个小矩形组合成的图形共有四个,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
第三步:每三个小矩形占据的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、
△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.
最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.
.在小矩形AEOH中:
由一个三角形构成的8个.
由两个三角形构成的三角形有5个.
由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.
这样在一个小矩形内17个三角形.
.在由两个小矩形组合成的图形中,如矩形AEGD,共有5个三角形.
.由三个小矩形占据的部分图形中,如△ABC,共有2个三角形.
所以整个图形共有三角形个数是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(个).
13.有270个.
除去四周凸出部分,中间大长方形内共有长方形:
(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(个);
左、右凸出部分共有长方形:
(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个);
上、下凸出部分共有长方形:1×(8+7)=15(个).
图中共有长方形:126+129+15=270(个).
14.有133个
在大长方形中共有长方形:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);
在小长方形中共有长方形:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);
在与中重复的长方形有:1+2=3(个);
两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).
图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).
(6)
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