五带余数除法(A)
年级班姓名得分
一、填空题
1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____.
2.a24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____.
3.一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____.
4.393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____.
5.3145368765987657的积,除以4的余数是_____.
6.的积，除以7余数是_____.
7.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟.
8.甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.
9.如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将只彩灯依次反复排列，那么_____颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只.
10.从7开始,把7的倍数依次写下去,一直写到994成为一个很大的数:71421……987994.这个数是_____位数.
二、解答题
11．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多12颗，如果再增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有多少个学生？原有多少颗弹子？
12．已知：,问：a除以13,余数是几？
13．100个7组成的一百位数,被13除后,问：
(1)余数是多少？
(2)商数中各位数字之和是多少？
14．有一个数,甲将其除以8,乙将其除以9.甲所得的商数与乙所得的余数之和为13.试求甲所得的余数.
五带余数除法(B)
年级班姓名得分
一、填空题
1．除107后，余数为2的两位数有_____.
2.27()=()……3.
上式()里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法.
3.四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____.
4.一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____.
5.除以13所得的余数是_____.
6.小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次.
7.七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数.
8.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.
9.在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数.
10.用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____.
二、解答题
11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放回；……是否可能在某次放回后，桌上的纸片数刚好是1991？
12.一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a(见短除式<1>)；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍(见短除式<2>).求这个自然数.
8所求自然数……余1
8第一次商……余1
8第二次商……余7
a
短除式<1>
17所求自然数……余4
17第一次商……余15
2a
短除式<2>
13．某班有41名同学，每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?
14.某校开运动会,打算发给1991位学生每人一瓶汽水,由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水,所以不必买1991瓶汽水,但是最少要买多少瓶汽水?
———————————————答案——————————————————————
1.48,44.
依题意得
被除数=7854+8=4220
而4220=8748+44,所以正确的商是48,余数是44.
2.2927
因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有
被除数=24121+23=2927
3.831
这个三位数可以写成
37商+17=36商+(商+17).
根据“被36除余3”.(商+17)被36除要余3.商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合).
因此,这个三位数是3722+17=831.
4.4;11,35,55,77
393减8,那么差一定能被两位数整除.
393-8=385
385=5711=(57)11=(511)7=(711)5
∴385能被两位数11，35，55，77整除.本题的答案是4个:11,35,55,77.
5.1
314534=7863…1
687654=17191…1
9876574=246914…1
111=1
∴3145368765987657的积除以4余数是1.
6.5
因为111111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除.而50=68+2,故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与66被7除的余数相同,进而得:被乘数被7除余4,乘数被7除余3.所以乘积与(43=)12被7整除的余数相同.因此得乘积被7除的余数是5.
7.16
因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈,时针旋转2圈.若以现时18点整为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上.
由199024=82…余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整.
8.丁
根据小朋友报数顺序列表如下:
甲乙丙丁
1234
56
78910
1112
………………………
由上表可知每6个数号为一组的报数的规律.由19906=331…4，根据余数是4可知报1990的小朋友是丁.
9.紫
考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被7除的余数即可.经试除得:199219921992能被7整除,而1991被3除余2,所以彩灯总数与19921992被7除的余数相同,均为6.所以,紫色的彩灯要比其它颜色的彩灯少一只.
10.411
97=1…2
∴一位数中能被7整除的数有1个；
997=14…1
∴两位数中能被7整除的数有（14-1=）13个；
9997=142…5
∴三位数中能被7整除的数有
142-13-1=128（个）
所以，这个数的位数为
1+132+1283=411
11．依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余12颗，则学生人数大于12.同时由增加12颗后每个学生正好分得12颗,即12+12=24(颗),24能被班级人数整除,又24能分解为
24=124=212=38=46
由班级人数大于12,可知符合题意的是24人.所以,共有弹子数1224-12=276(颗).
12.用试除的方法可知:199119911991可以被13除尽.原数a有1991个1991.因为1991除以3余2,所以a与19911991除以13所得余数相同.又19911991除以13余8,所以a除以13的余数也是8.
13.因为77777713=59829,即777777能被13整除,把这100个7,从第一个起,每6个分成一组,1006=16…4，共16组还多4个.
每一组除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余数是3.
所以,100个7组成一百位数除以13后,余数是3,商数中各位数字之和是
(5+9+8+2+9)16+(5+9+8)
=550
14.设甲所得的商和余数分别为a和b,乙所得的商和余数分别为c和d,于是由题意知8a+b=9c+d,a+d=13.将d=13-a代入前一式并整理后即得
9(a-c)=13-b
上式左端是9的倍数,因此13-b也是9的倍数.由于b是被8除的余数,所以b介于0与7之间.故b=4.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.15,21,35
从107里减去余数2,得107-2=105,所以105是除数与商数相乘之积,将105分解质因数得105=357,可知这样的两位数有15,21,35.
2.5
根据带余数除法中各部分之间的关系可知，商除数=27-3=24.这样可通过分解质因数解答.
因为24=2223=233,所以(商,除数)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6),(6,4),(8,3),(12,2),(24,1)
又由余数比除数小可知,除数有24,12,8,6,4五种填法.所以原式中括号内的数共有5种填法.
3.51
由17与19互质可知,8□98能被(1719=)323整除.因为8098323=25…23，根据商数与余数符合题意的四位数应是323的26倍，所以这个四位数是8398.将8398分解质因数.
8398=32326
=2131719
所以,这个四位数的所有质因数之和是
2+13+17+19=51.
4.2
设这串数为a1,a2,a3,…，a1992，…，依题意知
a1=1
a2=1+1
a3=1+1+2
a4=1+1+2+3
a5=1+1+2+3+4
……
a1992=1+1+2+3+…+1991=1+9961991
因为9965=199…1，19915=398…1，所以9961991的积除以5余数为1，1+9961991除以5的余数是2.
因此,这串数左起第1992个数除以5的余数是2.
5.9
因为222222=2111111
=21111001
=211171113
所以222222能被13整除.
又因为2000=6333+2
222…2=222…200+22
2000个1998
2213=1…9
所以要求的余数是9.
6.52
设小明应扔n次,根据高斯求和可求出所扔石子总数为
1+2+3+…+n=(n+1)
依题意知,(n+1)能被106整除,因此可设
(n+1)=106a即n(n+1)=212a
又212a=2253a,根据n与n+1为两个相邻的自然数,可知22a=52(或54).
当22a=52时,a=13.
当22a=54时,a=13,a不是整数,不符合题意舍去.
因此,n(n+1)=5253=52(52+1),n=52,所以小明扔52次.
7.76
假设十万位和万位上填入两位数为,末两位上填入的数为,(十位上允许是0),那么这个七位数可以分成三个部分3007200+10000+,3007200除以101的余数是26,10000除以101的余数为,那么当++26的和是101的倍数时,这个七位数也是101的倍数.如:当=1时,=74；当=2时，=73，……，而当=76时，=100，而，不可能是100，所以也不可能是76.由此可知末两位数字是76时,这个七位数不管十万位上和万位上的数字是几,都不是101的倍数.
8.1
设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.
则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.
9.15
我们把1到30共30个自然数根据除以7所得余数不同情况分为七组.例如,除以7余1的有1,8,15,22,29这五个数,除以7余2的有2,9,16,23,30五个数,除以7余3的有3,10,17,24四个数,…要使取出的数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数，那么能被7整除的数只能取1个，取了除以7余1的数，就不能再取除以7余6的数；取了除以7余2的数，就不能再取除以7余5的数；取了除以7余3的数，就不能再取除以7余4的数.为了使取出的个数最多,我们把除以7分别余1、余2、余3的数全部取出来连同1个能被7整除的数，共有
5+5+4+1=15（个）
所以，最多能取出15个数.
10.347
根据使组成的符合条件的三位数,其最大三位数尽可能小的条件,可知它们百位上的数字应分别选用3,2,1；个位上的数字应分别选用7，8，9.
又根据最小的三位数是3的倍数,考虑在1○9中应填5,得159.则在3○7,2○8中被3除余2,余1,选用4,6分别填入圆圈中得347,268均符合条件.
这样,最大三位数是347,次大三位数是268,最小三位数是159.
11.每次放回后,桌面上的纸片数都增加6的倍数,总数一定是6的倍数加5.而1991=6331+5,所以是可能的.
12.解法一
由(1)式得:8与a相乘的积加上余数7,为第二次商,即8a+7为第二次商,同样地,第二次商与8相乘的积加上余数1,为第一次商,即8(8a+7)+1为第一次商,第一次商与8相乘的积加上余数1,为所求的自然数,即8[8(8a+7)+1]+1为所求的自然数.
同理,由(2)式得所求的自然数为
17(2a17+15)+4
由此得方程
8[8(8a+7)+1]+1=17(2a17+15)+4
8(64a+57)+1=17(34a+15)+4
512a+457=578a+259
66a=198
a=3
因此,所求自然数为
512a+457=5123+457
=1993
解法二
依题意可知所求的自然数有两种表示方法:
(1)@(8)a<8
(2)2a15④(17)2a<17
根据数的十进制与其他数的进制的互化关系,可知所求的自然数是
(1)a83+782+181+1=512a+457
(2)2a172+15171+4=578a+259
由此得512a+457=578a+259
a=3
因此,所求的自然数为
512a+457=5123+457=1993
[注]解法一根据“被除数=除数商+余数”的关系式，由最后的商逐步推回到原来的自然数，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小选手熟悉数的十进制与其他数进制之间的互化.
13.每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.
我们分三种情况进行讨论:
(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买；
(2)当钱数被3除余1时,3k+1=3(k-1)+4,精装书只要买1本,其中k为大于2的自然数.
(3)当钱数被3除余2时,3k+1=3(k-2)+8,精装书只要买2本,其中k为大于2的自然数.
在10至50这41个自然数中,被3除余1和2的数均各有14个.所以全班一共买精装书
14+142=42(本)
14.因为73=343<1991<2401=74,不考虑余数,能用空瓶换三次汽水,由于每7个空瓶可换一瓶汽水,原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后换时要考虑上一次的余数,最多能用空瓶换四次汽水.
1991(1+)=1707.2825
如果买1707瓶汽水,17077=243…6可换243瓶汽水,(243+6)7=35…4可换35瓶汽水,(35+4)7=5…4可换5瓶汽水,(5+4)7=1…2可换一瓶汽水,1+2<7不能再换.1707+243+35+5+1=1991.如果买1706瓶,用空瓶换的数量不变,但1706+243+35+5+1=1990.所以最少要买1707瓶汽水.
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