十四数列的分组(A)
年级班姓名得分
一、填空题
1.在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______.
1234,5678,9101112,13141516,……
2.把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______.
1
23
456
78910
1112131415
16×××××
×××××××
3.计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____.
4.下面是一列有规律排列的数组:(1,,);(,,),(,,);……;第100个数组内三个分数分母的和是______.
5.把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______.
6.一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数出现次.那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______.
7.如数表:
第1行12345……1415
第2行3029282726……1716
第3行3132333435……4445
………………………
第行……………………
第+1行……………………
第行有一个数,它的下一行(第+1行)有一个数,且和在同一竖列.如果+=391,那么=______.
8.有一串数,第100行的第四个数是______.
1,2
3,4,5,6
7,8,9,10,11,12
13,14,15,16,17,18,19,20
9.观察下列“数阵”的规律,判断:9出现在第______行,第______列.数阵中有______个数分母和整数部分均不超过它(即整数部分不超过9,分母部分不超过92).
1,1,1,1,1,1,1,…
3,3,3,3,3,3,3,…
5,5,5,5,5,5,5,…
…………
10.有这样一列数:123,654,789,121110,131415,181716,192021,…….还有另一列数:1,2,3,6,5,4,7,8,9,1,2,1,1,1,0,1,3,1,4,1,5,1,8,1,7,1,6,1,9,2,0,2,1,……,第一列数中出现的第一个九位数是______,第二列数的第1994个数在一列数中的第______个数的______位上.
11.假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前个数组之和恒为4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34.
今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的和.
12.1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律重复出现,问:
第100个数是什么数?
把第一个数至第52个数全部加起来,和是多少?
从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?
1 2 4 7 3 5 8 12 6 9 13 18 10 14 19 25 13.右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中.
(1)求位于第3行、第8列的方格内的数;
(2)写出位于从左上角向右下角的对角线
上的方格内的数组成的数列的第10个数;
(3)数321在哪一个方格内?
14.数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:
123…100
101102103…200
……………
990199029903…10000
任取其中一数,并划去该数所在的行与列.这样做了100次以后,求所取出的100个数的和.
十四数列的分组(B)
年级班姓名得分
一、填空题
1.有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……第99个数组内三个数的和是______.
2.有数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,第100组的三个数之和是___.
3.有数组{1,2,3,4},{2,4,6,8},{3,6,9,12},……,那么第100个数组的四个数的和是______.
4.将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13,14,15,16,17,18,19,20),……,第1991组的第一个数和最后一个数各是______.
5.将奇数按下列方式分组:(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),…….
(1)第15组中第一个数是______;
(2)第15组中所有数的和是______;
(3)999位于第____组第____号.
6.自然数列1,2,3,…,,…,它的第组含有2-1个数,第10组中各数的和是______.
7.给定以下数列:,,,,,,,,,,…,
(1)是第____项;(2)第244项是____;(3)前30项之和是____.
8.在以下数列:,,,,,,,,,,,,…中,居于第___项.
9.设自然数按下图的格式排列:
1251017…
4361118…
9871219…
1615141320…
2524232221…
………………
(1)200所在的位置是第____行,第____列;
(2)第10行第10个数是______.
10.紧接着1989后面写一串数字,写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数,例如8×9=72,在9后面写2,2×9=18,在2后面写8,…,这样得到一串数字,从1开始,第1989个数字是______.
二、解答题
11.将1到1989的自然数从头开始,依次第四个数一组,第一组各数间添上“+”号,第二组各数间添上“一”号,以后各组以“+”,“一”号相间隔,列成一个算式:
1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-….问:
(1)1989前添什么号?
(2)求这个算式的结果.
12.把由1开始的自然数依次写下来:1234567891011121314….
重新分组,按三个数字为一组:123,456,789,101,112,131,…,
问第10个数是几?
13.根据下图回答:
(1)第一行的第8个数是几?
(2)第五行第六列上的数是几?
(3)200的位置在哪一格(说出所在行和列的序号)?
14.已知自然数组成的数列:
1,2,3,…,9,10,11,12,…,
把这个数列的10和大于10的数,全部用逗号隔成一位数,做成一个新的数列:
1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,….
问:
(1)中100这个数的个位上的“0”在中是第几个数?
(2)中第100个数是几?这个数在中的哪个数内?是它的哪一位数?
(3)到的第100个数为止,“3”这个数字出现了几次?
(4)中前100个数的和是多少?
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.979899100
按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数.九位数只能由三个两位数和一个三位数构成,所以这个九位数是979899100.
2.101
由12=8+4,4正好是8所在的行数值,则必须求出88所在行数值.
根据每行尾数的排列规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
可知88所在行数应是第13行.
因此,在88的正下方的数是88+13=101.
3.1996
提示:从左至右每四个数运算的结果都是4.
4.600
提示:第组中间的分数的分母是2,则第组内三个分数分母之和是(2-1)+2+(2+1)=6.
5.1992
每4个括号为一个大组,前100个括号共25个大组,包含25×(1+2+3+4)=250个数,正好是从3开始的250个连续奇数.因此第100个括号内的最后一个数是2×250+1=501,故第100个括号内的各数之和为501+499+497+495=1992.
6.3
自然数出现了次,这个中的最后一个数位于这列数中的第(1+2+…+=(+1)个数.
又.
因此,这列数中的第1999个数是63,它除以5的余数是3.
7.13
观察数表排列规律知,相邻两行(第行与第+1行)十五组相应两数的和值均相等,其和为30+1.
由30+1=391得=13.
8.9904
第99行的最后一个数是2+4+6+…+198=9900,所以第100行的第4个数是9904.
9.5,165,869.
观察“数阵”的规律,每行分数的整数部分均相同为连续的奇数,所以9位于第5行.观察第5行各数规律知9位于第(92-9)×2-1=165列.
整数部分不超过9的分数只能位于前5行,第一行分母不超过92的分数有(92-1)×2-1=181个,第二、三、四、五行分母不超过92的分数分别有(92-3)×2=178个,(92-5)×2=174个,(92-7)×2=170个,(92-9)×2=166个,故数阵中分母和整数部分均不超过9的分数共有181+178+174+170+166=869个.
10.102101100;234,万.
第一列数中每个数都是由连续的三个自然数构成.自然数中一位数和两位数共有99个,构成第一列数的前33个,第34个就是第一个九位数,由100,101和102构成.又因为34是偶数,所以第34个数按从大到小排列是102101100.
第一列数的前33个数构成第二列数的前189个数,从第一列的第34个数开始,每个数构成第二列的9个数.因为(1994-189)÷9=200……5,33+200+1=234.
所以第二列数的第1994个数在第一列中的第234个数的万位上.
11.从第一组开始的前19个数组,共包含1+2+3+…+19==190个数,这些数的和为1+2+3+…+190==18145.
其中顺序数为奇数的数组有[]+1=10组,这10个数组所有数的和为104=10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为18145-10000=8145.
12.(1)因为100÷6=16……4,所以第100个数与第4个数相同,为2.
(2)因为52÷6=8……4,所以第1个数至第52个数的和为(1+1+2+2+3+3)×8+(1+1+2+2)=102.
(3)因为1+1+2+2+3+3=12,304÷12=25……4,又1+1+2=4,所以从第一个数起,顺次相切,共加到第25×6+3=153个数,其总和才恰为304.
13.(1)在第3行中,由左向右的数字依次是:
=6,=9=+3,=13=+4,=18=+5,……
.
.
即位于第3行、第8列的方格内的数是48.
(2)位于从左上角到或下角的对角线上的方格内的数字依次是:,
,,,…
.
=
=25+4
=181.
即第10个数为181.
(3)为求数321在哪个方格内,可将棋盘上的数按从右上到左下的对角线方向排列如下:
第1组1
第2组2,3
第3组4,5,6
第4组7,8,9,10
…………
显然,从第1组到第组共包含1+2+3+…+=个数,故第组中最大数是.
321是第321个数,
321所在“组”的行号是满足321的最小自然数,试算从=300和=325,可得=25.
前24组共有1+2+3+…+24=300个数,因而321是第25组中第321-300=21个数.
321位于第21行,第5列的方格内.
14.将第2行的每个数减去100,第3行每个数减去200,…,第100行每个数减去9900,我们就得到一个各行都是1,2,…,100的数表.
在后一个数表按规定方法取出的各数之和是1+2+…+100=5050.
于是在原表中所求各数之和为:
5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.解法一这串数组,各组数的和是16,32,48,….各组数的和分别是按16的1倍,2倍,3倍,……的规律递增.因此,第99个数组的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584.
解法二通过观察可以发现,每一组括号中的三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的5倍,第三个数是第一个数的10倍.因此,第99组内三个数应为:(99,99×5,99×10).所以,第99个数组的和是:
99+99×5+99×10=99×(1+5+10)
=99×16
=1584
2.解法一通过观察可以发现,每一组括号中三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数自乘的积,第三个数是第一、二两数的乘积,因此,第100组中的三个数应分别是:
第一个数是100;
第二个数是100×100=10000;
第三个数是100×10000=1000000,
所以,第100组的三个数的和为:
100+10000+1000000=1010100.
解法二通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式
表示,=1,2,3,….因此,第100组的三个数之和是:
.
3.解法一这串数组,各组数的和是10,20,30,40,….因此,第100个数中的四个数的和是100×10=1000.
解法二通过观察可以发现,每一组数括号中四个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的2倍,第三个数是第一个的3倍,第四个数是第一个数的4倍.因此,第100个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400).
所以,第100个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000.
4.仔细观察找出这些自然数分组的规律,再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系.
第1组的第1个数是:1=(1-1)×1+1;
第2组的第1个数是:3=(2-1)×2+1;
第3组的第1个数是:7=(3-1)×3+1;
第4组的第1个数是:13=(4-1)×4+1;
……
根据这一规律,可求出第1991组的第1个数是:(1991-1)×1991+1=3962091.
第1992组的第一个数是:(1992-1)×1992+1=3966073.
因此,第1991组的最后一个数是:3966073-1=3966072.
5.(1)从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105(个).
因此,第15组最初一个数是第106个奇数:2×106-1=211.
(2)在第15组中的数是以211为首项,公差为2,项数等于15的等差数列,其和是15×211+×2=3375.
(3)设999位于第组,因31×32=992,32×33=1056,所以=32,第32组最初一个数是:[2×(1+2+…+31)-1]+2=993.
因此,999是第32组的第4号数.
6.第1组到第9组共有自然数:1+3+5+…+(2×9-1)==18(个).
因此,第10组第1号数是82,第10组有2×10-1=19个数,所以第10组各数之和为
.
7.(1)以分母相同的分数分组,并记分母为的分数属于第组,从而是第29组的第13号数,第组由个分数组成,从第1组到第28组有
1+2+3+…+28==406
个分数,因此位于第406+13=419项.
(2)因21×20=420,22×21=462,23×22=506,故第244项在第22组,前21组有=231个分数,从而第244项是居于第22组中的第13号数,是.
(3)前30项之和为
1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+7)++
=1++…++
=(2+3+4+…+8)+
=×+
=
=17.
8.将分子与分母之和相等者归于同一组:
,,,,…，
其中在7+19-1=25组,是第19号数.1至24组共有分数
1+2+3+…+24==300(个).
所以在原数列中是第300+19=319项.
9.注意到第一列是完全平方数:1,4,9,16,25,….
按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…分组,则200在196与225之间,属第15组,倒数第4个数,在第4行、第15列上.
第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91.
10.写出前面几个数字:
198928688428688428…,
1989后面的六位数字出现循环.
(1989-4)÷6=330…5,
所以第1989位数字是8.
11.1989÷8=248…5,所以1989前添的是“-”号.观察到,从第3个数起,每8个数之和为0:
3+4-5-6-7-8+9+10=0,
11+12-13-14-15-16+17+18=0,
…………………………
(1989-2)÷8=248…3,
所以,这个算式的结果是:
1+2+1987+1988-1989=1989.
12.1到9有9个数字,10到19有20个数字,第10个三位数是192.
13.(1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组:
(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…,
第组第1号数是第一行的第个数.从第1组到第(-1)组有:
1+2+3+…+(-1)=
个数,从而第组第1号数是+1.因此,第1行第8个数是+1=29.
(2)一般地,自上至下第行,自左至右第列上的数在第(+-1)组中,第五行第六列上的数在第10组中,第10组第1号数是+1=46,第10组在第五行的数是46+5-1=50.
(3)19×20=380,20×21=420,故200在第20组中,第20组第一个数是
+1=191,因此数200在第10行第11列的位置上.
14.(1)数100之前有数字9+2×90=189(个),所以数100的个位上的“0”在中是第189+3=192个数.
(2)中第9+2×40=89个数是中数49的“9”:4950515253545556…,中第100个数是中数55的十位数上的“5”.
(3)到的第100个数为止,数字“3”一共出现了1+1+1+11+1+1=16(次).
(4)中前100个数字之和为
(1+2+…+9)×5+10×(1+2+3+4)+6×5+(0+1+2+3+4)
=225+100+30+10
=365.
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