二、估计与估算（一）
年级班姓名得分
一、填空题
1.有若干个小朋友,他们的年龄各不相同.将他们的年龄分别填入下式的□中,都能使不等式成立.这些小朋友最多有个.
<<.
2.的整数部分是.
3.,与最接近的整数是.
4.有24个偶数的平均数,如果保留一位小数的得数是15.9,那么保留两位小数的得数是.
5.1995003这个数,最多可以拆成个不同的自然数相加的和.
6.有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数.那么第19个数的整数部分是.
7.有一长3米的线段,第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分,第二次再把剩下的两线段中的每一段都三等分后都去掉中间一部分,第三次再把剩下的所有线段的每一段都三等分后都去掉中间一部分.继续这一过程,这样至少连续
次后,才使剩下的所有线段的长度的和小于0.4米.
8.已知,那么的整数部分是.
9.与相比较,较大的哪个数是.
10.某工厂有三个车间,共有75人报名参加冬季长跑,其中第一车间人数最多,第三车间人数最少.如果第一车间报名人数是第三车间报名人数的倍,那么第二车间报名人数是第三车间报名人数的倍.
二、解答题
11.已知,问的整数部分是.
12.四个连续自然数的倒数之和等于,求这四个自然数的两两乘积之和.
13.用四舍五入的方法计算三个分数的和,得近似值为,试求的值.(是三个自然数)
14.国际象棋比赛的奖金总数为10000元,发给前五名.每一名的奖金都不一样,名次在前的钱数要比名次在后的钱数多.每份奖金钱数都是100元的整数倍.现在规定,第一名的钱数是第二、第三名两人之和,第二名的钱数是第四、第五名两人之和,那么第三名最多能得多少元?
二、估计与估算（二）
年级班姓名得分
一、填空题
1.将六个分数分成三组,使每组的两个分数的和相等,那么与分在同一组的那个分数是.
2.数的十分位到十万分位的数字为.
3.满足下式的n最小等于.>.
4.已知,则A的整数部分是.
5.小明计算17个自然数的平均数所得的近似值是31.3,老师指出小明少取了一位有效数字,则老师要求的平均数应该是.
6.有三十个数:如果取每个数的整数部分,并将这些整数相加,那么其和是.
7.将奇数1,3,5,7,…,由小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组
(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),…
第一组第二组第三组
那么1999位于第组的第个数.
8.的整数部分是.
9.数写成小数时的前两位小数是.
10.有甲、乙、丙、丁四个同学去林中采蘑菇.平均每人采得的蘑菇的个数的整数部分是一个十位数为3的两位数.又知甲采的数量是乙的,乙采的数量是丙的倍.丁比甲多采3个蘑菇.那么,丁采蘑菇个.
二、解答题
11.两个连续自然数的平方之和等于365,又有三个连续自然数的平方之和也等于365.试找出这两个连续自然数和那三个连续自然数.
12.如图所示,方格表包括A行B列(横向为行,纵向为列),其中依次填写了自然数1至,现知20在第3行,41在第5行,103在最后一行,试求A和B.
1 2 3 … B-1 B B+1 B+2 B+3 … 2B-1 2B … … … … … … (A-1)B+1 … … … AB-1 AB
13.求分数的整数部分.
14.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书.已知甲班1人捐6册,有2人各捐7册,其余人各捐11册;乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余人各捐10册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余人各捐9册.已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册.各班捐书总数都在400册与550册之间.问:每班各有多少人?
———————————————答案——————————————————————
1.3.依题意,得<□<10,所以□=7,8,9.
2.9.原式>,原式<,
所以原式的和的整数部分是9.
3.11.,因此与最接近的整数是11.
4.15.92
设这24个偶数之和为.由>15.85×24=380.4和<15.95×24=382.8,以及是偶数,推知=382,所求数为.
5.1997.
若要拆成的不同自然数尽量多,应当从最小的自然数1开始,则
≤1995003.
所以≤3990006
当时,正好有≤3990006,
所以最多可以拆成1997个不同自然数的和.
6.91.
根据题设条件,这列数依次是105,85,95,90,92.5,91.25,91.875,…,显然,从第六项起后面每个数的整数部分都是91,所以,第19个数的整数部分是91.
7．5.
这一过程每进行一次，剩下所有线段的和等于上次剩下的
>0.4,<0.4,
所以至少进行5次.
8.110.
分母>,分母<,
所以110
9..
证,则
.
因为A的前49项的对应项都小于B,A的最后一项<1,
所以AA×A,推知,>A.
10.或.
设第二和第三车间报名人数分别为a和b,则第一车间,依题意,得
因为b≤a≤,所以≤≤6b,即≤75≤6b,
所以≤b≤,又b为偶数,所以b=14或16.
(1)当b=14时,a=26,;
(2)当b=16时,a=19,.
11.
最后一个分数小于1,所以a的整数部分是101.
12.设这四个连续自然数分别为a,a+1,a+2,a+3,
则,
所以<,a<.
易知a=1,2,4均不合题意,故a=3,这四个自然数为3,4,5,6,其两两乘积之和为:.
13.依题意,得1.345≤<1.355,
所以376.6≤56a+40b+35c<379.4
又a,b,c为自然数,因此,56a+40b+35c=377
或56a+40b+35c=378
或56a+40b+35c=379
考虑不定方程,由奇偶分析,知c为奇数,所以40b+35c的个位为5,
因此56a的个位为2,a的个位为2或7.
又a<,故a=2,
因此8b+7c=53,易知b=4,c=3.
同法可知不定方程无解,方程的解为a=4,b=3,c=1.
14.设第i名的奖金为100ai元(i=1,2,3,4,5).
依题意,得,
且,整理
所以<,故>20,
由易知必为偶数,所以≥22.
故≤.
即第三名最多能得1700元.
———————————————答案——————————————————————
1..
注意到是六个分数中的最小数,因此与在同一组的分数,必须是这六个分数中的最大数(否则,六个数不能分成三组,每组的两个分数的和相等),因此所求数为.
2.2,5,9,5,3.
设题中所述式子为,由于题中所涉及的数太大,不太可能通过直接计算来确定前五位数(否则计算量太大),下面利用估值方法来求:
因为,
所以此数的第一位数字为2.
又因为,
所以此数的第一、二、三位数字为2,5,9.
又因为
,
所以此五位数字是2,5,9,5,3.
3.40.
原式左端等于,可得不等式,所以,
解得,故n最小等于40.
4.67.
所以
因此,A的整数部分为67.
5.31.29.
设17个自然数的和为S,由,得31.25≤.
所以531.25≤S<532.95,
又S为整数,所以S=532,则
49.
关键是判断从哪个数开始整数部分是2,
因为2-1.64=0.36,我们就知,
故先看,=,这说明“分界点”是,所以前11个数整数部分是1,后19个数整数部分为2,其和为.
7.32,39.
第n组的最后一个奇数为自然数中的第个奇数,
即.
设1999位于第n组,则≤.
由知n=32.
所以1999在第32组第个数.
8.29.
当两个数的和不变时,两数越接近(即差越小)它们的积越大.
所以,
从而.
,
所以的整数部分是29.
9.0.01
注意到,所以,
所以
又,所以.
所以.
故数写成小数时的前两位小数是0.01.
10.39.
设丙采蘑菇数为x个,则乙采个,甲采个,丁采个,四人合采蘑菇数为:.
依题意,得:30≤<40
解得≤
又必须为整数,x为10的倍数,因此只能x=30,
从而丁采(个).
11.用估值法,先求两个连续自然数,因为,所以在两个连续自然数中,一个的平方小于182.5,另一个的平方大于182.5.由132=169,142=196得到,这两个连续自然数是13和14.
类似地,,最接近的自然数的平方是112=121,所以这三个连续自然数应是10,11,12.经验证,符合题意.
12.依题意,得2B<20≤3B,4B<41≤5B,所以≤B<10,≤B<,
故≤B<10,因此,B=9.
由103在最后一行,得9(A-1)<103≤9A,所以,≤A<,故A=12.
13.
又因为
所以
故A的整数部分是3.
14.由题目条件,甲班捐书最多,丙班最小,甲班比丙班多捐28+101=129(册).
因为丙班捐书不少于400册,所以甲班捐书在529～550册之间.
甲班人数不少于(人),不多于(人),
即甲班人数是50人或51人.
如果甲班有50人,则甲班共捐书6+7+7+11×(50-3)=537(册),
推知乙班捐书537-28=509(册),乙班有(人),
人数是分数,不合题意.
所以甲班有51人,甲班共捐书(册),
推知乙班捐有(人),
丙班有(人).
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