十一、不定方程（一）
年级班姓名得分
一、填空题
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△,□是自然数,那么□=.
2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有道题没答.
3.x是自然数,,字母a表示一个数字,x是.
4.不定方程的整数解是.
5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是.
6.如果在分数的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是,那么a+b的最小值等于.
7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.
8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人.
9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了
页.
10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的和小猴子的必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有个.
二、解答题
11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?
12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?
13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.
14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.
十一、不定方程（二）
年级班姓名得分
一、填空题
1.已知△和分别表示两个自然数,并且,△+☆=.
2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.
3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.
4.不定方程的自然数解是.
5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.
6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为,,.
7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有口人.
8.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.
9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.
10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.
二、解答题
11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?
12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?
13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?
14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?
———————————————答案——————————————————————
1.1998.提示:△是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.
2.1.
设张红做对x道题,做错y道题,依题意得:
所以≥.
又x+y≤20
所以x≤20-y≤20,
故≤x≤20.
又4|4y,4|100,由知4|7x,又4与7互质,所以4|x,故x=16或20.
当x=20时,由得y=10,与产生矛盾.
因此x=16,代入得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做.
3.750.
根据题意,,整理得,.
因为x为自然数,37是质数,所以4a+1一定能被37整除,
推知a=9,因此.
4.没有整数解.
若方程有整数解,则,,因此,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.
5.1975.
设他出生年份为,依题意,得:
整理得:
所以
由0≤b≤9得≤≤,即≤a≤.
故a=7,从而b=5,他出生于1975年.
6.24.
依题意,有,于是可得12(28+a)=7(43+b)
即12a+35=7b①
显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.
由知,b随a增大而增大,所以a取最小值7时,b也取最小值,是17.
所以,a+b的最小值是7+17=24.
7.14.
设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组:
×40-②,得,即
由于x和y都是正整数,从式得y≤8.又因为,
所以从式得y=7,,由此得n=14.
8.32.
设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到
13x-7=10y-5.
因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4,y=5是上式的一组解,且x每增大10,y就增大13,仍是上式的解.
为使10y-5在100与200之间,只有y=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).
9.84.
设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为:
a,b,a+b,a+2b,2a+3b.
上面各个数的和是200,得到
5a+7b=200.
因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为b>a,所以上式只有两组解:
b=20,a=12;b=25,a=5.
将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.
10.15.
以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有
,
.
易知其整数解为x=3,y=4,所以有大猴子5×3=15(只).
11.设公鸡、母鸡、小鸡各买x,y,z只,由题意列方程组:
3×-②整理得.
又4|4y,4|100,所以4|7x,又(4,7)=1,所以4|x.
又≤.
所以x=4,8或12.
x=4时,y=18,z=78;x=8时,y=11,z=81;x=12时,y=4,z=84.
即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.
12.因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50-y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:
8x+5y=33.
容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.
13.设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了100分.由共花钱数可列方程
整理得
因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:
x 1 2 3 6 9 18 27 y-5 54 27 18 9 6 3 2
因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.
14.设第一堆有x块石头,第二堆有y块石头,并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:
由得.
代入整理得.
所以.
又x,z自然数,所以11|z+1,
当z=10时,x有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.
———————————————答案——————————————————————
1.5.
依题意得11△+5=37,易知其自然数解为△=2,=3.所以△+=5.
2.260.
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得
整理得
易知15-4a>0,所以a≤3.
将a=1,2,3代入知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).
3.11.
设共分为x组.由树苗总数可列方程
因为22=1×22=2×11,n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).
4.
显然z只能取1,2,3.
当z=1时,,其自然数解为x=2,y=4;x=5,y=2.
当z=2时,,其自然数解为x=3,y=1.
当z=3时,,显然无自然数解.
所以原方程的自然数解为:
5.8371692.
设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有
①-②,化简得.
当a=1时,x=837,y=692;
当a≥2时,y<0,不合题意.
所以电话号码为8371692.
6.7,3,2.
由题意有.解这个不定方程,得.
7.5.
设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:
整理得.
易得其自然数为x=2,y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.
8.3.
设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3|x+y.
由已知
即
由12|4(x+y),12|72.
所以12|y,又≤.
所以,y=12,x=3.即有女职工3人.
9.32,80.
画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为,则
剥去所有涂色的小块,得到上图.
由上面两上算式可以推算出,仅1面涂色彩正方体有:
(块).
原来长方体的体积为
(立方分米).
10.17.82
设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程
,
其中x,y为整数且0≤x,y<100.
化简方程得
由此推知2x
又,
56≤≤
所以或.
所以(舍去).
故,此时.即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.
11.设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得
,
所以
又n,x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.
若x=2,则与n≤32产生矛盾.
因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22x+1=529(名).
12.设苹果、梨子、杏子分别买了个,则
消去z得
所以
由0
即
又5|5y,5|380,(5,17)=1,由得5|x.所以x=15或x=20.
当x=15时,y=25,z=0,不合题意.
因此x=20,y=8,z=12.
因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.
13.设获一、二、三等奖的人数分别为,根据题意有:
2×得
③-①得
解求得整数解为x=1,y=2.
代入可求得z=5.
答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.
14.设买A种物品a个,B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:
其中b>a,n<10.
-②得
所以,故,
由b>a,n<10知m
由此推知n=9,m=1,b=a+9.
代入式,解得a=3.B=12.
答:购A物3个,B物12个.
①
②
①
②
①
②
①
②
x
x
①
②
①
②
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