十七容斥原理(1)
年级班姓名得分
一、填空题
1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.
2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.
3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.
4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.
5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.
6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.
7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.
8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.
9.分母是1001的最简真分数有个.
10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.
二、解答题
11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?
12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.
13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积.
14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.
———————————————答案——————————————————————
1.26
从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。
2．67
将长方形和正文形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形盖住的图形面积为(平方厘米).
3.32
在1到100这100个自然数中,5的倍数有20个,7的倍数有14个,既是5的倍数又是7的倍数有2个,故5的倍数或7的倍数的个数是20+14-2=32.
4.45
从图中可以看出:懂俄语的人数(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数,即100-(75-20)=45(人)
5.19
所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)
6.6857
在1到10000中,能被5整除的有(个),能被7整除的有(个),能被35整除的有(个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).
7.9883
1~10000中完全平方数有100个(因为1002=10000),完全立方数有21个(因为213<10000<223),完全六次方数有4个(因为46<10000<56)
故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117个;从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).
8.4
如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.
9.720
1~1001中,有7的倍数(个);有11的倍数(个),有13的倍数(个);有7(11=77的倍数(个),有7(13=91的倍数(个),有11(13=143的倍数(个).有1001的倍数1个.
由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.
10.31,56
如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).
当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.
如图,选甲乙而不选丙的有a=29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b=28-
24=4(人),选乙丙而不选甲的有c=26-24=2(人),仅选了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),仅选了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少选了一科的人数是:甲+d+c+e=45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).
12.由第9题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数和真分数(a与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.
所以所有小于1001且与1001互质的数之和为360(1001=360360.
设阴影部分的面积是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.
因为385=5(7(11,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有
(个),7的倍数有(个),11的倍数有(个),5(7=35的倍数有(个),5(11=55的倍数有(个),7(11=77的倍数有=5(个),385的倍数有1个.
由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).
如果有一个真分数为,则必还有另一个真分数,即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1(120=120.
十七容斥原理(2)
年级班姓名得分
一、填空题
1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为人.
2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了个病人.
3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住
(平方厘米).
4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有个.
5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有人.
6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm2)并知A、B两圆重叠的面积是20(cm2),A、C两圆重叠的面积为45(cm2),B、C两圆重叠面积为31(cm2),三个圆共同重叠的面积为15(cm2),求盖住桌子的总面积是平方厘米.
7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中两科都不得100分的有人.
8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有个.
9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有个.
10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有人.
二、解答题
11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.
求(1)只得短跑奖的人数;
(2)得二项奖的总人数;
(3)一项奖均未得的人数.
12.64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂志的有41人,订C种杂志的有20人,订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?
13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.
14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.
求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.
———————————————答案——————————————————————
1.127
从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人)
从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).
2.224
从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).
3.10.75
把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm2)
4.15
不超过30的3的倍数有(个),不超过30的4的倍数有(个);不超过30的3(4=12的倍数有(个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).
5.41
如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).
6.219
由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).
7.23;22
至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).
8.333
在1~1000的自然数中,2的倍数有(个),3的倍数有(个),2(3=6的倍数共有(个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).
9.28
小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)
10.121
由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为
510+330+120-270+58=748(人)
故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).
(1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、
跳、投中得奖的人.
设x为只得短跑奖的人数,y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.
(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24(人).
(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).
12.设三种杂志均订的人数为x,则有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三种杂志都订的有9人.
13.在1~1994中,能被5整除的个数为;能被6整除的个数为;能被7整除的个数为;能被5(6=30整除的个数为;能被5(7=35整除的数为;能被6(7=42整除的个数为;能被5(6(7=210整除的个数为.
根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).
14.要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.
6
5
4
3
A
B
C
39人
32人
数学
语文
共45人
20
75
英
俄
会游泳
会奇车
全班
10
12
20
6
2
x
排球队
足球队
蓝球队
音乐
爱好者
体育
爱好者
甲
乙
丙
24
a
b
c
d
e
2
2
1.5
1.5
3
3
A
B
C
数学
312
作文
353
292
?
内科
150人
外科
92人
18
人
田赛
径赛
15
12
7
21
数学
语文
7
17
13
跑
跳
投
15
7
5
z
x
y
u
A
B
C
x
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