第四讲周期问题
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解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．
例1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
解析：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。因此用除法算式解答。
解：（1）从10月1日到10月25日有：25—1=24（天）
（2）24天里有多少个星期余多少天？24÷7=3（个星期）……3（天）
（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）
答：10月25日是星期四。
(注：在计算日期的过程中，日期一般“算头不算尾”数星期的时候也要从当天的后面数起。本题中的当天是星期一，应该从星期二数起。)
【巩固1】2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？
解析：天数比较少，容易计算，而且出现在同一个月内。
解：20-3=17天17÷7=2……3
从星期五数起，第三天是星期日。
【巩固2】公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？
解析：先求出从公历2000年1月1日到公历2008年1月1日一共经过的天数，其中平年有6年，闰年有2年，最后还有2008年1月1日这一天。
（天）
从星期六开始数4天得星期二，所以公历2008年1月1日是星期二。
例2：100个3相乘，积的个位数字是几？
解析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。
解：（1）1×3=3……1个3相乘积的个位数字是：3
（2）3×3=9……2个3相乘积的个位数字是：9
（3）3×3×3=27……3个3相乘积的个位数字是：7
（4）3×3×3×3=81……4个3相乘积的个位数字是：1
（5）3×3×3×3×3=243……5个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）
规律：可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。即每4个3的积的个位数为一个周期。
所以100个3有多少个周期？100÷4=25（个）（整除说明是最后一个即个位为1）
答：积的个位数字是1。
【巩固1】23个3相乘，积的个位数字是几？
解析：1×3=3；3×3=9；3×3×3=27；3×3×3×3=51；3×3×3×3×3=153；
四个3为一个周期，23÷4=5……3；3×3×3=27,余数是3，所以积的个位是7.
【巩固2】100个2相乘，积的个位数字是几？
解析：1×2=2；2×2=4；2×2×2=8；2×2×2×2=16；2×2×2×2×2=32；
4个2尾数会循环一个周期，100÷4=25.能整除，所以尾数是6.
例3：
A B C A B C A B …… 万 事 如 意 万 事 如 意 …… 上表是中，每一列两个符号组成一组，如第一组“A万”，第二组“B事”，……问第20个组是什么？
解析：观察上表，发现有两个独立的排列规律。上面一组是以“A、B、C”三个字母为一个周期重复出现的，下一组是以“万、事、如、意”四个字为一个周期重复出现的。要求出第20个组是什么，就要分别求出上下两行各是什么才行。
解：（1）上面一组：20÷3=6（组）……2（个）（说明第20个字母是：“B”）
（2）下面一组：20÷4=5（组）（说明第20个字是：“意”）
答：第20个组是“B意”两个符号。
【巩固】
A B C D A B C D …… 1 2 3 1 2 3 1 2 …… 上表中每一列两个符号为一组，如：第一组为“A1”，第二组为“B2”，……问第25
组是什么？
解析：分别求出第25组的符号：上层：25÷4=6……1是A；
下层：25÷3=8……1是1；
所以第25组是：A1.
例4：有一列数按“432791864327918643279186……”排列.那么前54个数字之和是多少？
解析：观察发现，重复出现的部分是“43279186”，周期数是8.要求出这列数字的和，就要求出这一列数里共有多少组“43279186”，再求出这组的和.
解：（1）54÷8=6（组）……6（个）
（2）4+3+2+7+9+1+8+6=40（3）6×40=240
（4）余下的6个数的和为：4+3+2+7+9+1=26
（5）240+26=266
答：前54个数字之和是266。
【巩固】有一列数按“294736294736294……”排列.那么前40个数字之和是多少？
解析：一个周期的数字是：294736，周期数是6.
40÷6=6（组）……4（个）
2+9+4+7+3+6=31；31×6+2+9+4+7=208.
例5：小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字，如果这本书有128页，而第1页是文字，这本书共有插图多少页？
解析：已知这本书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图”的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看做一周期。128页中含有：
128÷（1+3）=32（个）周期。所以这本书共有插图：3×32=96（页）
解：（1）128÷（1+3）=32（个）（2）3×32=96（页）
答：这本书共有插图96页。
例6：聪聪把自然数按规律排列成如下图所示的表格，你知道第一行的第1993个数是多少吗？
1 2 5 10 17 …… 4 3 6 11 18 …… 9 8 7 12 19 …… 16 15 14 13 20 …… 25 24 23 22 21 ……
解析：根据数表，第一行各数依次是：1,2,5,10,17,26……第一列各数为完全平方数，两者一比较，课发现第一行的第n个数值是第一列的第（n-1）个数值加1.
解：
【巩固】把自然数按下面的规律排列，2007排在哪一列？
A B C D 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 …… …… …… ……
解析：观察图可知：每6个数为一个周期
循环，，2007排在第335
个周期的第3个位置上，也就是C列上。
课后练习
1、2008年8月1日是星期三，问8月28日是星期几？
解析：28-1=2727÷7=3……6
星期四开始，28号是星期二。
2、50个7相乘，积的个位数字是几？
解析：1×7=7；7×7=49；7×7×7=343；7×7×7×7=2401；
7×7×7×7×7=16807；可知4个7为一个循环周期；50÷4=12……2
余数是2，所以尾数是9.
有同样大小的红、白、黑球共120个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的排
列，问（1）、白球一共有多少个？（2）、第68个球是什么颜色球？
解析：排列方式：3红+2白+1黑=6个，一个周期是6个；
（1）120÷6=20（组）20×2=40（个）
（2）68÷6=11（组）……2（个）是红球。
4、有一列数按“9453672945367294……”排列。那么前50个数字之和是多少？
解析：周期数字是：9453672，周期数是7；
50÷7=7（组）……1（个）
9+4+5+3+6+7+2=36；36×7+9=261.
5、的个位数字是多少？
解析：1×8=8；
8×8=64；
8×8×8=512；
8×8×8×8=4096；
8×8×8×8×8=32768；循环周期是8426；4个8为一个周期；
1003÷4=250……3，所以个位数是2.
6、甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石．每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石．分配的规则就是：宝石最多的人分给其他3人每人1颗．如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人各有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石？
解析：先试着算一下开始几天四人的宝石数量，可以用下面这个表格来表示，
试着再往下填几行：
1 10 7 5 4 2 7 8 6 5 3 4 5
解：第2天早上分配完之后是
（7、8、6、5），
第3天（8、5、7、6），
第4天（5、6、8、7），
第5天（6、7、5、8），
第6天（7、8、6、5）与第2天相同，
所以4天一周期．
除去第1天还有99天，
99÷4=24……3，所以应该与周期中的第3个即第4天相同，
即（5、6、8、7）．
7、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，则2007所在的列以哪个字母作为代笔？
A B C D E 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 ……
解析：每8个数为一个周期，（个），每8个数字为一个周期，，2007是第126个周期中的第4个数，即E列。
指南针小升初
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