小学五年级奥数题
一、小数的巧算
（一）填空题
1.计算1.996+19.97+199.8=_____。
答案：221.766。
解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)
=222-(0.004+0.03+0.2)
=221.766。
2.计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____。
答案：103.25。
解析：原式=1.1(1+3+…+9)+1.01(11+13+…+19)
=1.125+1.0175
=103.25。
3.计算2.894.68+4.686.11+4.68=_____。
答案：46.8。
解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.8
4.计算17.4837-17.4819+17.4882=_____。
答案：1748。
解析:原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82
=17.48×(37-19+82)
=17.48×100
=1748。
5.计算1.250.322.5=_____。
答案：1。
解析：原式=(1.250.8)(0.42.5)
=11
=1。
6.计算754.7+15.925=_____。
答案：750。
原式=754.7+5.3(325)
=75(4.7+5.3)
=7510
=750。
7.计算28.6767+3.2286.7+573.40.05=____。
答案：2867。
原式=28.6767+3228.67+28.67(200.05)
=28.67(67+32+1)
=28.67100
=2867。
（二）解答题
8.计算172.46.2+27240.38。
答案：原式=172.46.2+(1724+1000)0.38
=172.46.2+17240.38+10000.38
=172.46.2+172.43.8+380
=172.4(6.2+3.8)+380
=172.410+380
=1724+380
=2104。
9.
。
答案：181是三位,11是两位,相乘后18111=1991是四位,三位加两位是五位,因此1991前面还要添一个0,又963+1028=1991,所以
00…01810.00…011=0.00…01991
963个01028个01992个0。
10.计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23。
答案：9个加数中,十位、个位、十分位、百分位的数都是1~9，所以，
原式=11.11(1+2+…+9)
=11.1145
=499.95。
二、数的整除性
（一）填空题
1.四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
答案：7。
解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。
设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意。事实上,37719=419。
2.在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。
答案：1。
解析：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1。
3.能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
答案：990。
解析：要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0。要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990。
4.能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。
答案：99960。
解析：解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6。所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960。
解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030。它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960。
5.1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。
答案：3367。
解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。
(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）
=(1+100)2100-(3+99)233
=5050-1683
=3367。
6.所有能被3整除的两位数的和是______。
答案：1665。
解析：能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:
12,15,18,21,…，96，99
这一列数共30个数，其和为
12+15+18+…+96+99
=(12+99)302
=1665。
7.已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。
答案：96910或46915。
解析：五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除。所以B=0或5。当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0；
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除；由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除；由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1。
所以这个最小七位数是1992210。
[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是23511=330。这样,1992000330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210。
10．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换。试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？
答案：不可能。
由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次“两换三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了2k+3k=5k张票,而1991不是5的倍数。
三质数与合数
（一）填空题
1.在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____。
答案：9，1，2。
解析：在一位自然数中,奇数有:1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9。
在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1。
在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2。
2.最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____。
答案：202。
解析：最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2101=202。
3．两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____。
答案：420。
解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是2021=420。
4.在下式□中分别填入三个质数,使等式成立。
□+□+□=50
答案：2、5、43。
解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50。
另外,还有
2+19+29=50，
2+11+37=50。
[注]填法不是唯一的，如也可以写成
41+2+7=50。
5.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____。
答案：11,12,13。
解析：将1716分解质因数得：
1716=2231113
=11(223)13
由此可以看出这三个数是11,12,13。
6.找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____。
答案：88。
解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和。
1992=222383
所以1992所有不同的质因数有:2,3,83。它们的和是
2+3+83=88。
7.如果自然数有四个不同的质因数,那么这样的自然数中最小的是_____。
答案：210。
解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2357=210。
(二）解答题
8．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数。已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位。问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?
答案：由于长+宽是362=18，
将18表示为两个质数和18=5+13=7+11，
所以长方形的面积是513=65或711=77，
故长方形的面积至多是77平方单位。
9.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
答案：先把7，14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等。
14=7220=225
21=3728=227
30=2357
从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7。
六个数可分成如下两组(分法是唯一的):
第一组:7、28、和30
第二组：14、21和20
且72830=142120=5880满足要求。
[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”。实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同。
10.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?
答案：把1430分解质因数得：
1430=251113
根据题目的要求,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之间，于是得三种答案：
（1）2511=110；
（2）2513=130；
（3）1113=143.
所以,有三种分法:一种是分为13队,每队110人；二是分为11队，每队130人；三是分为10队，每队143人。
四约数与倍数
1．28的所有约数之和是_____。
答案：56。
解析：28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56。
2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法。
答案：4。
解析：因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7。所以能拼成4种不同的长方形。
3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____。
答案：64。
解析：因为28=227,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28。在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5。故符合题目要求的两位数仅有64。
4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人。
答案：28。
解析：因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的。
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求。
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能。
所以,一班共有28名学生。
5.两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____。
答案：40或20。
解析：两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20。
[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35。
6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。
答案：36,1,3。
解析：要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数。36和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友。
每个小朋友可分得梨:3636=1(只)，
每个小朋友可分得桔子:10836=3(只)，
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只。
7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块。
答案：56。
解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公约数。
因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公约数是6。这样,最大正方形的边长是6厘米。由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片。
8．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？
答案：三组。
解析：三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组。
9．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
答案：四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数。将1111作质因数分解,得
1111=11101
最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11。现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
101(1+2+3+5)=10111=1111,
它们的最大公约数为101，所以101为所求。
10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
答案：黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了=11次掉进陷井。
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是9=40.5(米)。
五带余数除法
（一）填空题
1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____。
答案：48,44。
解析：依题意得：被除数=7854+8=4220，而4220=8748+44,所以正确的商是48,余数是44。
2.a24=121……b,要使余数最大，被除数应该等于_____。
答案：2927。
解析：因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有，
被除数=24121+23=2927。
3.一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是_____。
答案：831
解析：这个三位数可以写成：
37商+17=36商+(商+17)。
根据“被36除余3”。(商+17)被36除要余3。商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合)。
因此,这个三位数是3722+17=831。
4.393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有_____个,它们是_____。
答案：11,35,55,77。
解析：393减8,那么差一定能被两位数整除。
∵393-8=385，
385=5711=(57)11=(511)7=(711)5，
∴385能被两位数11，35，55，77整除。本题的答案是4个:11,35,55,77。
5.3145368765987657的积,除以4的余数是_____。
答案：1。
解析：∵314534=7863…1
687654=17191…1
9876574=246914…1
111=1
∴3145368765987657的积除以4余数是1。
6.888……8乘以666……6的积，除以7余数是_____。
50个850个6
答案：5。
解析：因为111111能被7整除,所以888888和666666均能被7整除。而50=68+2,故得被乘数与88被7除的余数相同,乘数与66被7除的余数相同,进而得:被乘数被7除余4,乘数被7除余3。所以乘积与(43=)12被7整除的余数相同。因此得乘积被7除的余数是5。
7.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是_____点钟。
答案：16。
解析：因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈,时针旋转2圈.若以现时18点整为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上。
由199024=82…余22，可知那时时钟表示的时间应是16点整。
（二）解答题
8．幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多12颗，如果再增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有多少个学生？原有多少颗弹子？
答案：依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余12颗，则学生人数大于12.同时由增加12颗后每个学生正好分得12颗,即12+12=24(颗),24能被班级人数整除,又24能分解为
24=124=212=38=46
由班级人数大于12,可知符合题意的是24人。所以,共有弹子数1224-12=276(颗)。
9．已知：a=199119911991……1991,问：a除以13,余数是几？
1991个1991
答案：用试除的方法可知:199119911991可以被13除尽。原数a有1991个1991.因为1991除以3余2,所以a与19911991除以13所得余数相同。又19911991除以13余8,所以a除以13的余数也是8。
10．100个7组成的一百位数,被13除后,问：
(1)余数是多少？
(2)商数中各位数字之和是多少？
答案：因为77777713=59829,即777777能被13整除,把这100个7,从第一个起,每6个分成一组,1006=16…4，共16组还多4个。
每一组除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余数是3。
所以,100个7组成一百位数除以13后,余数是3,商数中各位数字之和是
(5+9+8+2+9)16+(5+9+8)=550。
六中国剩余定理
（一）填空题
1.有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____。
答案：7。
解析：因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31…
所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7。
2.一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_____。
答案：14。
解析：用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,73-3=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.
2567084
7283542
456
由可可见,56、70、84的两位数公约数是27=14，可见这个两位数是14。
3.学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_____人。
答案：41
解析：根据题意得：
319-261=练习本单价第二、一组人数之差，
348-319=练习本单价第四、二组人数之差。即
练习本单价第二、一组人数之差=58,
练习本单价第四、二组人数之差=29，
所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分,即0.29元。
因此,全班人数是
(2.612+3.19+3.48)0.29
=11.890.29
=41(人)。
[注]这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件,将小数化成整数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。
4.五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_____人。
答案：91
解析：如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有910+1=91(人)。
5.一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是____。
答案：210。
解析：一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次为:105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个最小数是210。
6.同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人，参加队列训练的学生最少有_____人。
答案：46人。
解析：如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余。由此可见,人数比10和8的最小公倍数多6人,10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至少有46人。
7.把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.这堆苹果共有_____个。
答案：71。
解析：依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的最小公倍数是98=72,所以这堆苹果至少有98-1=71(个)。
[注]本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共几十个”决定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在100-200之间”的话，那么这堆苹果共有982-1=141（个）。因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚，尤其要注意“隐含条件”的应用。
（二）解答题
8．有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个。这盒乒乓球至少有多少个?
答案：如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3。
281012
2456
253
故8,10,12的最小公倍数是22253=120。所以这盒乒乓球有123个。
9.求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数。
答案：设所求数为,则+2就能同时被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以=120-2=118。
10.一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?
答案：设有个围棋子,则+1是3,5,7的倍数,+1是[3,5,7]=357=105的倍数,+1=210,=209。
七奇数与偶数
（一）填空题
1.2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是______。
答案：60。
解析：这五个连续偶数的第三个(即中间的那一个)偶数是3205=64。所以，最小的偶数是60。
2.有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是_____。
答案：2,83。
解析：因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是2。小于100的17的奇数倍有17,51和85三个,17,51与2的差都不是质数,所以另一个质数是85-2=83。
3.100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_____个偶数。
答案：48
解析：由于100个自然数的和是10000,即100个自然数中必须有偶数个奇数,又由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有48个。
4.下图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分。
13 5 79
已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____。
答案：甲
解析：由于分数都是奇数,6个奇数之和为偶数,不可能是奇数27,所以说假话的是甲。
5.一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分。考试结束后,小明共得23分。他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题。
答案：3。
解析：小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错1个,则应做对12个才会得122-1=23分,这样小明共做13个题,未做的题的个数7不是偶数；若是做错3个，则应做对13个才能得132-3=23分，这样未答的题是4个，恰为偶数个。此外小明不可能做错5个或5个以上的题.故他做错的题有3个。
7.有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码。那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇。
答案：11。
解析：根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2页,4页,…，14页)，这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码。
然后,编排奇数页的文章(1页,3页,…，15页)，根据奇数+奇数=偶数的性质，这样编排，就又有4篇文章的第一页都是奇数页码。
所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7+4=11(篇)。
7.一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____页,撕掉的是第_____页和第_____页。
答案：48,21,22。
解析：设这本书的页码是从1到n的自然数,正确的和应该是
1+2+…+n=(n+1)
由题意可知，(n+1)>1133
由估算，当n=48时，(n+1)=4849=1176，1176-1133=43。根据书页的页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22。所以,这本书有48页,被撕的一张是第21页和第22页。
（二）解答题
9．如下图，从0点起每隔3米种一棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）。试说明理由。
答案：相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和。如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块木牌的距离是偶数。
13．如图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号.现
答案：顺时针前进10个位置,相当于顺时针前进1个位置；逆时针前进14个位置，相当于顺时针前进18-14=4（个）位置。所以原题相当于:顺时针每天1个位置,4个位置交替前进,直到前进的位置个数是9的倍数为止。
偶数天依次前进的位置个数:
5,10,15,20,25,30,35,40，……
奇数天依次前进的位置个数：
1，6，11，16，21，26，31，36，41，……
第15天前进36个位置，36天是9的倍数，所以第15天又回到1号位置。
八周期性问题
（一）填空题
1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____。
答案：二。
解析：因为74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93(天)。
因为93(7=13…2，所以这年6月1日是星期二。
2.1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____。
答案：日。
解析：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
36510+2=3652（天）。
因为36527=521…5，1989年12月5日是星期二所以再过十年的12月5日是星期日。
3.按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的。
……
答案：39。
解析：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形。
因为806=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（个）。
4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯。
答案：白。
解析：依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4。
由734=18…1,可知第73盏灯是白灯。
5.时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是____。
答案：13时。
解析：分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时。一天24小时,199124=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时。
[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面。钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面。
6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列。
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 … … … … … … … … …
答案：3。
解析：仔细观察题中表格。
12345(奇数排)
第一组
876(偶数排)
1011121314(奇数排)
第二组
18171615(偶数排)
1920212223(奇数排)
第三组
27262524(偶数排)
可发现规律如下:
(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；
(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为。
(3)109=1…1，10在1+1组，第1列
199=2…1，19在2+1组，第1列
因为19929=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上。
7.把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_____。
答案：7。
解析：=0.57142857……
它的循环周期是6，具体地六个数依次是：
5，7，1，4，2，8
1106=18…2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7。
（二）解答题
8.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如89=72,在9后面写2,92=18,在2后面写8,……得到一串数字:
1989286……
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
答案：依照题述规则多写几个数字:1989286884286884……
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)6=330…5，所以所求数字是8。
9.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
答案：1991个1990相乘所得的积末尾两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末尾两位数即可。1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末尾两位数是81,3个1991相乘的积末尾两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10。因为199010=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01。
14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
答案：因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色。
6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示。
由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1。剩余10厘米中有一段。所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:
2[(100-10)30]+1
=23+1
=7(段)。
[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易。
九图形的计数
（一）填空题
1．下图中一共有（）条线段。
答案：30
解析：图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有65=30条线段。
2.如下图,O为三角形A1A6A12的边A1A12上的一点,分别连结OA2,OA3,…OA11，这样图中共有_____个三角形。
答案：37。
解析：将△A1A6A12分解成以OA6为公共边的两个三角形。△OA1A6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形,△OA6A12中共有6+5+4+3+2+1=21(个)三角形。这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形。
3.下图中有_____个三角形。
答案：15。
解析：这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类。含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下:
所以原图有
(3+2+1)+(3+2+1)+3
=15(个)三角形。
4.下图中共有_____个梯形。
答案：18。
解析：梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有63=18(个)梯形。
5.数一数
(1)一共有()个长方形。
(2)一共有()个三角形。
(1)(2)
答案：108,36。
解析：(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数。
因为AB边上有8+7+6+…+2+1==36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有363=108个长方形。
(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有66=36(个)三角形。
6.在下图中,所有长方形的个数是______。
答案：30。
解析：图形中共有12+22+32+42=30个正方形。
7.一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有44个钉(如右图)。以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个。
答案：44。
解析：因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解。
先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个。这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC。同样,其竖直边也分为6类。所以这一类有66=36个长方形。
另一类是没有边平行于BC的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有6个和2个长方形。
所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个。
(二）解答题
8.右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。
答案：白色小三角形个数=1+2+3+…+6==21，
黑色小三角形个数=1+2+3+…+7==28，
所以它们的比==。
12.下图中,AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
答案：解法一：本图中三角形的个数为(1+2+3+4)4=40(个)。下面求梯形的个数，梯形由两底唯一确定.首先在AB,CD,EF,MN中,考虑两底所在的线段,共有(43)2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形。共60个梯形，故所求差为20。
解法二：在图中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个。而在题图中,这种恰有10个。.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为210=20(个)。
13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？
答案：边长2厘米的正方形:
22=4(个)……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)4=12(个)……红色
(4-2)(4-2)=4(个)……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)4=28(个)……红色
(8-2)(8-2)=36(个)……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)4=32(个)……红色
(9-2)(9-2)=49(个)……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)，
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)。
[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解。四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵。因此,涂红色正方形的个数等于4(n-1)。其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵。所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2)(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)(9-2)=49(个)。
十图形与面积
1.如下图,把三角形的一条边延长1倍到,把它的另一边延长2倍到,得到一个较大的三角形,三角形的面积是三角形面积的______倍。
答案：6倍。
解析：过B、D点分别作BG⊥AC，DH⊥AE。
由题意知，E为AD的中点，得到高BG：DH=1∶2，
底边AC∶AE=1∶3，
根据面积公式得出：三角形ADE的面积是三角形ABC面积的6倍。
2.如下图,在三角形中,=8厘米,=6厘米,、分别为和的中点。那么三角形的面积是______平方厘米。
答案：6平方厘米。
解析：由题意知，E、F分别为AB、AC的中点，
我们可得出，，。
BEF的高=。
故，△BEF的面积=
3.有一个等腰梯形,底角为450,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是______平方厘米。
答案：20平方厘米。
解析：我们知道梯形的面积公式=（上底+下底）×高÷2。本题上底和下底已知，我们只要求出高，面积就可得到。由题中给出的条件，底角为45°，可以得出梯形的高为2厘米，代入面积公式得到面积为20平方厘米。
十一观察与归纳
（一）填空题
1.找规律,填得数。
22=2×2=12×4=4；
222=22×22=112×4=484；
2222=222×222=1112×4=49284；
………………
2222222222=()2×____
=______×____
=_________。
答案：111111111,4；12345678987654321,4；49382715950617284。
解析：根据已知等式的观察和分析,可知算式演变规律有两种形式:其一是等积恒变；其二是11×11=121,111×111=12321,……。
2222=222×222=1112×4=49284;
2222222222=1111111112×4
=12345678987654321×4
=49382715950617284。
2.图中第1格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别写着六个字母,其中与与与相对.如果将木块沿着图中方格滚动,当木块滚动到第21个格时,木块向上的面写的字母是______。
答案：A。
解析：木块沿直线滚动4格,与原来的状态相同,所以木块到第5,9,13,17，21格时,与在第1格的状态相同,写的字母是A。
3.下面是三行按不同规律排列的,那么当=32时,+=______。
2 4 6 8 10 …… 1 5 9 13 17 …… 2 5 10 17 26 ……
答案:318。
解析：由数表可知A和B都是等差数列,根据等差数列的通项公式
进行解答。
当32时,=(32-2)×+1=16；
当=16时,=1+(16-1)×4=61。
再由数表可知C数列的相邻两项的差值3,5,7,9,11,…,31组成等差数列,根据等差数列求和公式()××进行解答。
这15个差值的和是(3+31)×15×=255,则当=16时,=2+255=257。
因此,=61+257=318。
4.如图所示,在左上角(第一行第一列)的位置上画上第1个点,然后按箭头方向依次画上第2,3,4,…个点。那么,第1999个点在第______行第______几列。
答案：27，45。
解析：正长形网格内的所有格点数之和必是平方数,如2×2方格网中共有格点32=9(个),3×3方格网中共有格点42=16(个)。
因为1999=442+63=452-26,所以第1999个点必在第45行或第45列上。因为第452点在第1行第45列上,而1999=452-26,从第1行倒退26行,所以第1999个点在第27行第45列上。
5.有一张黑白相间的相间的方格纸,用记号(2,3)表示从上往下数第2行,从左往右数第3列的这一格(如图),那么(19,98)这一格是______色。
答案：白
解析：观察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色,“行数+列数=偶数”时为黑色。
而19+98为奇数,因此(19-98)这一格是白色。
6.如图所示,在正六边形周围画出6个同样的正六边形(阴影部分),围成第1圈；在第1圈外面再画出12个同样的正六边形,围成第2圈;…….按这个方法继续画下去,当画完第9圈时,图中共有______个与A相同的正六边形。
答案：271。
解析：提示:第几圈有6个正六边形,所以共有1+6×(1+2+…+9)=271(个)。
7.下面是按规律列的三角形数阵:
1
11
121
1331
14641
15101051
………………
那么第1999行中左起第三个数是______。
答案：1995003
解析：第三行左起第三个数是1=1；
第四行左起第三个数是3=1+2；
第五行左起第三个数是6=1+2+3；
第六边左起第三个数是10=1+2+3+4；
……
归纳可知,第1999行左起第三个数是1+2+3+…+1997==1995003。
（二）解答题
8.将自然数1,2,3,4…按箭头所指方向顺序排列(如图),依次在2,3,5,7,10…等数的位置处拐弯。
(1)如果2算作第一次拐弯处,那么第45次拐弯的数是什么?
(2)从1978到2010的自然数中,恰好在拐弯处的数是什么?
答案：观察拐弯处的数的规律,可以得到个拐弯处的数,
当为奇数时为
1+(1+3+5+…+)=()2+1；
当为偶数时为
1+2×(1+2+3+…+)=(1+)×+1。
(1)第45次拐弯处的数是()2+1=530。
(2)试算=89时,拐弯处的数是()2+1=2026；
=88时,拐弯处的数是(1+)×+1=1981；
=87时,拐弯处的数是()2+1=1937；
所以1978~2010中,恰在拐弯处的数是1981。
9.下图是一张把自然数按一定顺序排列的数表,用一个有五个空格的十字可以框出不同的五个数字,现在框出的五个数字的四个角上的数字之和是80,如果当框出的五个数字的和是500时,四个角上数字的和是多少?
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
答案：仔细观察十字框中的五个数里,中间一个是这五个数的平均值,也是其余四个数的平均值,所以中间一个数可由500÷5=100得到,且即得四个角上数字这和为100×4=400。
13.如图,在一张方格纸上画折线(用实线表示的部分),图中每个小方格的边长为1,从A点出发依次给每条直线段编号。
(1)编号1994的直线段长是多少?
(2)长度为1994的直线段的编号是多少?
答案：通过观察列出编号与长度的关系表:
编号 (1)(2) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) …… 长度 1 2 3 4 5 …… 从表中看出:长度为的线段编号为2-1和2。
(1)编号为1994的线段长为:
1994÷2=997。
(2)长度为1994的线段有两条,编号分别为:
1994×2-1=3987;
1994×2=3988。
十二数列的求和
（一）填空题
1.1～1991这1991个自然数中,所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是______。
答案：996。
解析：(1+3+…+1991)-(2+4+…+1990)
=1+(3-2)+(5-4)+…+(1991-1990)
=1+1+…+1
=996。
2.计算:
1-3+5-7+9-11+…-1999+2001=_____。
答案：1-3+5-7+9-11+…-1999+2001
=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(2001-1999)
=1+2+2+…+2
=1001。
3.计算:
100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=______。
答案：1130。
解析：100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+…+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1
=100+(99-97)+(98-96)+95+(94-92)+(93-91)+…+10+(9-7)+(8-6)+5+(4
-2)+(3-1)
=(100+95+…+10+5)+2+2+…+2
=
=105×10+80
=1130。
4.计算:
1992+-1+2-3+4-5+…+1990-1991=______。
答案：1162。
解析：1992+-1+2-3+4-5+…+1990-1991
=[(2-1)+(4-3)+…+(1992-1991)]+[(-)+(-)+…+(-)]
=996+996×(-)
=996+996×
=996+166
=1162。
5.100与500之间能被9整除的所有自然数之和是______。
答案：13266。
解析：100到500之间9的倍数有9×12,9×13,…,9×55,共55-12+1=44个,它们的和是
=13266。
6.如左下图,一个堆放铅笔的形架的最下层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支.这个形架上共放了______支铅笔。
答案：7260。
解析：型架上铅笔总数是
1+2+3+…+120==7260(支)。
7.一堆相同的立方体堆积如下图所示.第一层1个,第二层3个,第三层6个,……,第10层有______个立方体。
答案：55。
解析：第一层有1个；第二层有1+2=3个；第三层有1+2+3=6个；……第十层有
1+2+3+…+10==55(个)。
（二）解答题
8.如下图,三角形每边2等分时,顶点向下的小三角形有1个;每边4等分时,顶点向下的小三角形有6个;每边10等分时,顶点向下的小三角形有几个?20等分呢?
答案：三角形每边二、三、四等分后,每排所产生的顶角向下的小三角形的个数是1,2,3。同样,三角形每边10等分时,顶角向下的小三角形有
1+2+3+…+9==45(个)。
三角形每边20等分后,产生的顶角向下的小三角形有
1+2+3+…+19==190(个)。
9.求1991个自然数,其中一个是1991,使它们的倒数之和恰好为1(这些自然数不都相同)。
答案：因为
+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-。
所以
+++…++=1。
1×2,2×3,3×4,…,1990×1991和1991这1991个自然数满足要求。
10.求值:
答案：1+4+7+10+13+16
=(1+4+7+10+13+16)+(+++++)
=+(-+-+…+-)×
=51+(-)×
=51。
十三数列的分组
（一）填空题
1.在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______。
1234,5678,9101112,13141516,……
答案：979899100。
解析：按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数。九位数只能由三个两位数和一个三位数构成,所以这个九位数是979899100。
2.把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______。
1
23
456
78910
1112131415
16×××××
×××××××
答案：101。
解析：由12=8+4,4正好是8所在的行数值,则必须求出88所在行数值。
根据每行尾数的排列规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,
可知88所在行数应是第13行。
因此,在88的正下方的数是88+13=101。
3.计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____。
答案：1996。
提示:从左至右每四个数运算的结果都是4。
4.下面是一列有规律排列的数组:(1,,);(,,),(,,);……;第100个数组内三个分数分母的和是______。
答案：600
提示:第组中间的分数的分母是2,则第组内三个分数分母之和是(2-1)+2+(2+1)=6。
5.把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),
(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______。
答案：1992。
解析：每4个括号为一个大组,前100个括号共25个大组,包含25×(1+2+3+4)=250个数,正好是从3开始的250个连续奇数。因此第100个括号内的最后一个数是2×250+1=501,故第100个括号内的各数之和为501+499+497+495=1992。
6.一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数出现次.那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______。
答案：3。
解析：自然数出现了次,这个中的最后一个数位于这列数中的第(1+2+…+=(+1)个数。
又因为。
因此,这列数中的第1999个数是63,它除以5的余数是3。
7.如数表:
第1行12345……1415
第2行3029282726……1716
第3行3132333435……4445
………………………
第行……………………
第+1行……………………
第行有一个数,它的下一行(第+1行)有一个数,且和在同一竖列.如果+=391,那么=______。
答案：13。
解析：观察数表排列规律知,相邻两行(第行与第+1行)十五组相应两数的和值均相等,其和为30+1。
由30+1=391得=13。
11.假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前个数组之和恒为4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34。
答案：从第一组开始的前19个数组,共包含1+2+3+…+19==190个数,这些数的和为1+2+3+…+190==18145。
其中顺序数为奇数的数组有[]+1=10组,这10个数组所有数的和为104=10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为18145-10000=8145。
今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的和。
12.1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律重复出现,问:
第100个数是什么数?
把第一个数至第52个数全部加起来,和是多少?
从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?
答案：(1)因为100÷6=16……4,所以第100个数与第4个数相同,为2。
(2)因为52÷6=8……4,所以第1个数至第52个数的和为(1+1+2+2+3+3)×8+(1+1+2+2)=102。
(3)因为1+1+2+2+3+3=12,304÷12=25……4,又1+1+2=4,所以从第一个数起,顺次相切,共加到第25×6+3=153个数,其总和才恰为304。
10.数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:
123…100
101102103…200
……………
990199029903…10000
任取其中一数,并划去该数所在的行与列。这样做了100次以后,求所取出的100个数的和。
答案：将第2行的每个数减去100,第3行每个数减去200,…,第100行每个数减去9900,我们就得到一个各行都是1,2,…,100的数表。在后一个数表按规定方法取出的各数之和是1+2+…+100=5050。于是在原表中所求各数之和为:5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050。
十四相遇问题
（一）填空题
1.两列对开的火车途中相遇,甲车上的乘客从看到乙车到乙车从旁边开过去,共用6秒钟。已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行36千米,乙车全长_____米。
答案：135。
解析：根据相向而行问题可知乙车的车长是两车相对交叉6秒钟所行路之和。所以乙车全长
(45000+36000)××6
=81000×
=135(米)。
2.甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地.要使两车在全程的中点相遇,货车必须在上午______点出发。
答案：7。
解析：根据中点相遇的条件,可知两车各行600×=300(千米).
其间客车要行300÷60=5(小时);
货车要行300÷50=6(小时).
所以,要使两车同时到达全程的中点,货车要提前一小时出发,即必须在上午7点出发。
3.甲乙两地相距450千米,快慢两列火车同时从两地相向开出,3小时后两车在距中点12千米处相遇,快车每小时比慢车每小时快______千米。
答案：8。
解析：快车和慢车同时从两地相向开出,3小时后两车距中点12米处相遇,由此可见快车3小时比慢车多行12×2=24(千米)。所以,快车每小时比慢车快24÷3=8(千米)。
4.甲乙两站相距360千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站,客车每小时行60千米,货车每小时行40千米,客车到达乙站后停留0.5小时,又以原速返回甲站,两车对面相遇的地点离乙站______千米。
答案：60。
解析：利用图解法,借助线段图(下图)进行直观分析。
解法一客车从甲站行至乙站需要
360÷60=6(小时)。
客车在乙站停留0.5小时后开始返回甲站时,货车行了
40×(6+0.5)=260(千米)。
货车此时距乙站还有
360-260=100(千米)。
货车继续前行,客车返回甲站(化为相遇问题)“相遇时间”为
100÷(60+40)=1(小时)。
所以,相遇点离乙站60×1=60(千米)。
解法二假设客车到达乙站后不停,而是继续向前行驶(0.5÷2)=0.25小时后返回,那么两车行驶路程之和为
360×2+60×0.5=750(千米)
两车相遇时货车行驶的时间为
750÷(40+60)=7.5(小时)
所以两车相遇时货车的行程为
40×7.5=300(千米)
故两车相遇的地点离乙站
360-300=60(千米)。
5.列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,又知列车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车车身长320米,速度为每秒17米,列车与货车从相遇到离开需______秒。
答案：190。
解析：列车速度为(250-210)÷(25-23)=20(米/秒).列车车身长为20×25-250=
250(米)。列车与货车从相遇到离开需(250+320)÷(20-17)=190(秒)。
6.小冬从甲地向乙地走,小青同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又立刻返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地40米处,第二次相遇在距乙地15米处。甲、乙两地的距离是______米。
答案：105。
解析：根据题意,作线段图如下:
根据相向行程问题的特点,小冬与小青第一次相遇时,两人所行路程之和恰是甲、乙之间的路程。
由第一次相遇到第二次相遇时,两人所行路程是两个甲、乙间的路程.因各自速度不变,故这时两人行的路程都是从出发到第一次相遇所行路的2倍。
根据第一次相遇点离甲地40米,可知小冬行了40米,从第一次到第二次相遇小冬所行路程为40×2=80(米)。
因此,从出发到第二次相遇,小冬共行了40+80=120(米)。由图示可知,甲、乙两地的距离为120-15=105(米)。
7.甲、乙二人分别从两地同时相向而行,乙的速度是甲的速度的,二人相遇后继续行进,甲到地、乙到地后都立即返回.已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米,那么两地相距______千米。
答案：50。
解析：因为乙的速度是甲的速度的,所以第一次相遇时,乙走了两地距离的(甲走了),即相遇点距地个单程。因为第一次相遇两人共走了一个单程,第二次相遇共走了三个单程,所以第二次相遇乙走了×3=(个)单程,即相遇点距地个单程(见下图)。可以看出,两次相遇地点相距1--=(个)单程,所以两地相距20÷=50(千米)。
（二）解答题
8.甲、乙两地相距352千米.甲、乙两汽车从甲、乙两地对开.甲车每小时行36千米,乙车每小时行44千米.乙车因事,在甲车开出32千米后才出发.两车从各自出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米?
答案：相遇问题的特点及基本关系知,在甲车开出32千米后两车相遇时间为
(352-32)÷(36+44)=4(小时)
所以,甲车所行距离为
36×4+32=176(千米)
乙车所行距离为
44×4=176(千米)
故甲、乙两车所行距离相等。
注:这里的巧妙之处在于将不是同时出发的问题,通过将甲车从开出32千米后算起,化为同时出发的问题,从而利用相遇问题的基本关系求出“相遇时间”。
9.甲、乙两车从两城市对开,已知甲车的速度是乙车的。甲车先从城开55千米后,乙车才从城出发。两车相遇时,甲车比乙车多行驶30千米。试求两城市之间的距离。
答案：从乙车出发到两车相遇,甲车比乙车少行55-30=25(千米)。
25千米是乙车行的1-,所以乙车行了25÷=150(千米)。
两城市的距离为
150×2+30=330(千米)。
10.一条单线铁路线上有五个车站,它们之间的路程如下图所示(单位:千米)。两列火车从相向对开,车先开了3分钟,每小时行60千米,车每小时行50千米,两车在车站上才能停车,互相让道、错车.两车应该安排在哪一个车站会车(相遇),才能使停车等候的时间最短,先到的火车至少要停车多长时间?
答案：车先开3分,行3千米.除去这3千米,全程为
45+40+10+70=165(千米)。
若两车都不停车,则将在距站
165(千米)
处相撞,正好位于与的中点.所以,车在站等候,与车在站等候,等候的时间相等,都是,车各行5千米的时间和,
(时)=11分。
十五追及问题
（一）填空题
1．当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先米。
答案：12。
解析：解法一依题意,画出线段图如下:
在同样时间内,甲跑60米,乙跑50米,丙跑40米,也就是在相同单位时间内甲跑6米,乙跑5米,丙跑4米。所以,由上图看出,当乙跑10米到达终点时,丙又跑了8米,此时丙距终点
60-40-8=12(米)。
解法二相同时间内,乙跑50米,丙跑40米,所以丙速是乙速的.因此当乙到达终点时,丙的行程为
60(=48(米)，
此时丙距终点
60-48=12(米)。
解法三由于乙、丙,所以当乙跑完后10米时,丙在第二段时间与乙的路程差为
10(=2(米)
两次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙领先的路程。
2.一只兔子奔跑时,每一步都跑0.5米；一只狗奔跑时,每一步都跑1.5米.狗跑一步时,兔子能跑三步.如果让狗和兔子在100米跑道上赛跑,那么获胜的一定是。
答案：兔子。
解析：从题面上看,狗和兔子的速度是一样的,但因为当狗跑了66步后,狗共跑了99米,剩下1米,这时它也得再花一步的时间,这相当于狗要往反100.5米,而当狗跑了66步后,兔子跑了(3(66)=198步,再花2步的时间,即到达终点。所以狗较慢.兔子一定获胜。
3.骑车人以每分钟300米的速度,从102路电车始发站出发,沿102路电车线前进,骑车人离开出发地2100米时,一辆102路电车开出了始发站,这辆电车每分钟行500米,行5分钟到达一站并停车1分钟。那么需要分钟,电车追上骑车人。
答案：15.5。
解析：电车追及距离为2100米.电车每分钟行500米,骑车人每分钟行300米,1分钟追上(500-300)=200米,追上2100米要用(2100(200)=10.5(分钟).但电车行10.5分钟要停两站,共花(1(2)=2分钟,电车停2分钟,骑车人又要前行(300(2)=600米,电车追上这600米,又要多用(600(200)=3分钟.所以,电车追上骑车人共要用10.5+2+3=15.5(分钟)。
4.亮亮从家步行去学校,每小时走5千米.回家时,骑自行车,每小时走13千米.骑自行车比步行的时间少4小时,亮亮家到学校的距离是。
答案：32.5。
解析：此题可看成同向而行问题:
有两人从亮亮家出发去学校，一人步行,每小时走5千米；一。
解析：设钟面一周的长度为1,则在4点时,分针落后于时针是钟面周长的=；同时分钟和时针的速度之差为钟面周长的
，
由追及问题的基本关系知,两针第一次重合需要
(分钟)。
6.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分时,乙从起点同向跑出,从这时起甲用5分钟赶上乙。乙每分跑米。
答案：280。
解析：甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟,这时甲离乙
400-300(1=100(米)
甲用5分钟比乙多跑100米,则甲每分钟比乙多跑100(5=20(米)
所以,乙每分钟跑300-20=280(米)。
7.一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上爬行的速度分别为每分50厘米、每分20厘米、每分30厘米(如右图).它爬行一周的平均速度是。
答案：厘米/分。
解析：设边长为300厘米,则爬行一周需(分钟),
平均速度为(300(3)(31=(厘米/分)。
（二）解答题
11．在周长为200米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙二人骑自行车分别以6米/秒和5米/秒的速度同时、相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道行驶.问:16分钟内,甲乙相遇多少次?
答案：甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是=100米,所
以需要的时间是秒。
以后,两人每隔秒相遇一次。
所以,16分钟内二人相遇的次数是
+1===52+1=53(次)
这里的中括号[]不是普通的括号,[]表示的整数部分,如,,。
12.如图,A,B,C三个原料加工厂分别停着甲、乙、丙三辆汽车，各车速度依次是60，48，36千米/时，各厂间的距离如图所示(单位:千米),如果甲、丙车按箭头方向行驶，乙车反向行驶，每到一厂甲车停2分，乙车停3分，丙车停5分。那么,三车同时开动后何时何处首次同时相遇。
答案：甲车绕一圈后再到B厂,共用60([(6+8+10+6)(60]+2(3=36(分)；
乙车绕一圈后再到B厂,共用60([(8+10+6)(48]+3(2=36(分)；
丙车从C厂到B厂，共用60([(10+6)(36]+5=(分)。
因为丙车到B厂要停5分,所以三车同时开出后36分在B厂同时相遇。
14.甲、乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒8米,乙的速度为每秒6米。当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少2米,乙的速度每秒减少0.5米.这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加0.5米,直到终点.那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?
答案：甲追乙1圈时,甲跑了8([400((8-6)]=1600(米),
此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒。甲追上乙2圈时,甲跑了
1600+6([400((6-5.5)]=6400(米),
此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒.乙第一次追上甲时,甲跑了
6400+4([400((5-4)]=8000(米),
乙跑了8000-400=7600(米)。此时,甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒.乙跑到终点还需
(10000-7600)(5.5=(秒),
乙到达终点时,甲距终点
(10000-8000)-4.5(=2000-(米)。
十六变换和操作
1.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉9和13,要写上21。经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____。
答案：71。
解析：所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71。
2.口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99。从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____。
答案：50。
解析：每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数等于1~99的和除以100的余数。
(1+2+…+99)100=100
=4950100
=49100+50
故这张纸片上的数是50。
3.用1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置。如此操作直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换。最多要实行_____次交换。
答案：4次；40次。
解析：当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，1时，交换次数最多，需交换40次。
4.5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2。连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____。
答案：20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21或19,19,20,21,21。
解析：5个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2。最终的5个数可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21。
5.在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换:
(15,40)(15,25)(15,10)(5,10)(5,5)。
对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的
20个1
数是_____。
答案：1。
解析：变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最大公约数.因为1024=210,而
11…1
20个1没有质因子2，它们是互质的。所以最后得到的两个相同的数是1。
6.在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字；再删去…，并如此一直删下去，最后删去的数字是_____。
答案：4。
解析：事实上,在第一次删节之后，留下的皆为原数中处于偶数位置上的数；在第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等。于是在第八次删节之后,原数中只留下处于第28k=256k号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256位数。由于256=928+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上。即为4。
7.一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角形的_____。
(1)(2)
答案：
解析：每一次黑三角形个数为整个的,所以5次变换为=。
十八逻辑推理
1.甲、乙、丙三人进行跑步比赛。A、B、C三人对比赛结果进行预测。A说:“甲肯定是第一名。”B说:“甲不是最后一名。”C说:“甲肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的.预测对的是。
答案：C。
解析：A、C的预测截然相反,必一对一错。因为只有一人对,不论A、C谁对,B必错,所以甲是最后一名,C对。
2.A、B、C、D、E和F六人一圆桌坐下，B是坐在A右边的第二人，C是坐在F右边的第二人，D坐在E的正对面,还有F和E不相邻。那么,坐在A和B之间的是。
答案：E。
解析：根据题意画出下图可得出，E坐在A、B之间。
3.甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛。每两人都要比赛一盘,每胜一盘得2分,和一盘得1分,输一盘得0分。到现在为止,甲赛了4盘,共得了2分；乙赛了3盘,得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分。那么小明现在已赛了盘，得了分。
答案：2,3。
解析：由题意可画出比赛图,已赛过的两人之
间用线段引连。由图看出小明赛了2盘。因
为一共赛了六盘,共得12分,所以小明得了
12-(2+4+1+2)=3(分)。
4.曹、钱、刘、洪四个人出差，住在同一个招待所。一天下午,他们分别要找一个单位去办事。甲单位星期一不接待,乙单位星期二不接待,丙单位星期四不接待,丁单位只在星期一、三、五接待，星期日四个单位都不接待.
曹:“两天前,我去误了一次,今天再去一次,还可以与老洪同走一条路。”
钱:“今天我一定得去,要不明天人家就不接待了。”
刘:“这星期的前几天和今天我去都能办事。”
洪:“我今天和明天去,对方都接待。”
那么,这一天是星期,刘要去单位,钱要去单位,曹要去单位,洪要去单位。
答案：三,丙,丁,甲,乙。
解析：由刘的讲话,知这一天是星期三,刘要去丙单位。钱要去丁单位,曹去的是甲单位,洪去的是乙单位。
5.四位外国朋友住在十八层高的饭店里,他们分别来自埃及、法国、朝鲜和墨西哥。
A住的层数比C住的层数高,但比D住的层数低；
B住的层数比朝鲜人住的层数低；
D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；
如果埃及人住的层数增加2层,他与朝鲜人相隔的层数,恰好和他与墨
西哥人相隔的层数一样；
埃及人住的层数是法国人和朝鲜人住的层数的和。
根据上述情况,请你确定A是人,住在层；B是人,住在
层；C是人,住在层；D是人,住在层。
答案：埃及,8；法国，3；朝鲜，5；墨西哥，15。
解析：容易知道,墨西哥人住得最高,埃及人次之,朝鲜人又次之,法国人最低,各层次分别15,8,5和3。由(2)知B是法国人,由(3)和D是墨西哥人,由(1)知A是埃及人,而C是朝鲜人。
6．A、B、C、D四人定期去图书馆，四人中A、B二人每隔8天(中间空7天,下同)、C每隔6天、D每隔4天各去一次，在2月份的最后一天，四人刚好都去了图书馆，那么从3月1日到12月31日只有一个人来图书馆的日子有____天。
答案：51天。
解析：因为[8,6,4]=24,所以四人去图书馆的情况每24天循环一次(见下表):
每24天有4天只有1人去图书馆。3月1日至12月31日有306天,
306(24=12…18，所以所求天数为4(12+3=51(天)。
十八逆推法
1.已知:=,则=_____。
答案：3。
解析：用逆推法解,如设,求出。事实上,依次由等号右边的数取倒数后减1,得；再取倒数后减2，得；再取倒数后减3，得；再取倒数后减4,得；再取倒数后减5,得；再取倒数,求得。
2.将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_____。
答案：11。
解析：从最后的结果往前逆推,结果是691,这是一个数的3倍减5得到的,这个数应该是(691+5)3=232,这是经过3次后的结果；同样可知,经过2次后的结果为(232+5)3=79；经过1次后的结果为(79+5)3=28；因此,原数为(28+5)3==11。
3.小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁。
答案：83。
解析：采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(10010+15)4-17=83(岁)。
4.李老师拿着一批书送给36位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还她一本,最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了_____本书。
答案：2。
解析：最后李老师还剩2本书,因此,他到第36位同学家之前应有(2-1)2=2本书；同样,他到35位同学家之前应有(2-1)2=2本书;…；由上此可知,他到每位同学家之前都有2本书,故李老师原来拿了2本书。
5.从某天起,池塘水面上的浮草,每天增加一倍,50天后整个池塘长满了浮草,第_____天时浮萍所占面积是池塘的。
答案：48。
解析：采用逆推法,第50天后整个池塘长满了浮草,因此,第49天时浮萍所占面积是池塘的,第48天时浮萍所占面积是池塘的。
6.一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的多120个,第二天加工了剩下的少150个,第三天加工了剩下的多80个,第四天加工了剩下的少20个,第五天加工了最后的1800个。这批零件总数有多少个?
答案：第五天加工了最后的1800个,后两天共加工(1800-20)÷(1-)=3560(个),后三天共加工(3560+80)÷(1-)=5460(个),后四天共加工(5460-150)÷(1-)=7080(个),因此,零件总数为(7080+120)÷(1-)=9000(个)。
解析：采用逆推法进行计算。
二十分数问题
1.已知A、B、C、D四与与15.2(与14.8(中最小的,容易求出,与B相乘的最小,所以B最大。
2.所有分子为11,而且不能化成有限小数的假分数共有个。
答案：4。
解析：符合题意的假分数有、、和共4个。
3.在等式中,a,b都是由三个数字1,4,7组成的带分数,这两个带分数的和是。
答案：。
解析：由1,4,7三个数字组成的带分数有,,,经验算,只有a=,b=符合条件.a+b=。
4.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是、、、、，如果这八个分数从小到大排列的第四个分数是，那么按从大到小排列的第三个分数是。
答案：。
提示:已知的五个分数从大到小排列依次为、、、、，因此未知的三个分数都小于。
5.在分母小于15的最简分数中,比大并且最接近的是哪一个?
解析：设所求的分数为,(m,n)=1,n<15。
因为-=，
由题目要求,取m、n使右边式子大于0,且为最小,若5m-2n=1,则m=
当n<15时,使m为整数的最大整数n是12,此时,m=5,差为。
若5m-2n(1,则.故此大并且最接近的是。
12
0
3
6
9
12
15
18
21
24
6
.
1
9
2
8
7
4
3
6
5
.
.
.
.
.
18
24
30
5
10
15
20
25
95
96
100
.
90
B
C
D
B
D
A
A
A
B
B
C
C
D
A
D
C
B
B
C
D
A
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
F
E
D
C
B
7
6
5
4
3
2
1
N
M
F
E
D
C
B
A
O
A
50
A
20
30
·
·
·
·
A
C
B
10
8
6
·
丙
乙
甲
起点
10
20
30
40
50
60
甲
乙
B
A
C
D
F
E
甲
乙
丙
丁
小明
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