蕴秀斋
6、aa,,...是一个正实数数列，s是一个正整数，对于任意正整数n?s都有
12
aM??axaa11?k?n?。证明：存在一个正整数l?s以及正整数N，对于任意
??
nkn?k
n?N都有aa??a。
nln?l
aa
??
ii
证明：令tM??ax1i?s，则对于1?is?都有?()，若()对于所有i?n都成
t
??
ii
??
aa?aaa
nk??n?knr
立，则??t，故对于任意正整数n，均有?t，令tr?,1??s。
??
nk??()nknr
s
令bn??ta，则b?0，由定义可知a可以表示成为pa形式，其中p为非负
nnnn?iii
?1
i
sss
整数，并且ip?n。因此bp??()ita?pb()。
?ini?i?ii
i?1ii??11
对于任意正整数i，bb??rt?a?a??a?a?a?0，
??
i??(1k)ri?krik?(1?)ri?krik?(1?)ri?krr
并且b?0，因此子数列bb,,b,...是不增的非负数列。而由()可知b可以表示成为
nii??ri2rik?r
若干个bb,,...,b的和（可能重复），由于bb?，所以每个b?0在和式中最多出现
??
12sik?rij
??
b
i
次，因此这样的取值是有限种的。故k充分大时，b变成常数。
??
ik?r
b
??
j
??
因此，当n充分大时b的取值只与n除以r的余数相关，所以存在一个正整数N，当
n
nN?时bb?，故nt??()n?rt?a，所以aa???rta?a。
a
nn?rnn?rnn??rnrr
综上所述，结论成立。
（此题IMO平均分0.37，中国队平均4.17分）
上善若水，水善利万物而不争，处众人之所恶，故几于道。 |
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