二、隔离法
方法简介
隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。
例1：两个质量相同的物体1和2紧靠在一起放在光滑水平
桌面上，如图2—1所示，如果它们分别受到水平推
力F1和F2作用，且F1>F2，则物体1施于物体2的
作用力的大小为（）
A．F1 B．F2 C．1/2（F1+F2） D．1/2（F1－F2）
解析：要求物体1和2之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。
先以整体为研究对象，根据牛顿第二定律：F1－F2=2ma①
再以物体2为研究对象，有N－F2=ma ②
解①、②两式可得所以应选C
例2：如图2—2在光滑的水平桌面上放一物体A，A上再放一物体B，
A、B间有摩擦。施加一水平力F于B，使它相对于桌面向右运
运，这时物体A相对于桌面（）
A．向左动 B．向右动
C．不动 D．运动，但运动方向不能判断
解析：A的运动有两种可能，可根据隔离法分析
设AB一起运动，则
AB之间的最大静摩擦力
以A为研究对象：若一起向右运动.
若则A向右运动，但比B要慢，所以应选B
例3：如图2—3所示，已知物块A、B的质量分别为m1、m2，A、B间的摩擦因数为μ1，A与地面之间的摩擦因数为μ2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动而B不至下滑，力F至少为多大？
解析：B受到A向前的压力N，要想B
不下滑，需满足的临界条件是：μ1N=m2g.
设B不下滑时，A、B的加速度为a，以B为研究对象，用隔离法分析，B受到重力，A对B的摩擦力、A对B向前的压力N，如图2—3甲所示，要想B不下滑，需满足：μ1N≥m2g,即：μ1m2a≥m2g,所以加速度至少为a=g/μ1
再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有：F—μ2（m1+m2）g=(m1+m2)g=(m1+m2)a,所以推力至少为.
例4：如图2—4所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A与B之间的细绳上有弹力吗？
解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了，应结合物体的运动情况来分析.
隔离A和B，受力分析如图2—4甲所示，设弹力T存在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，所以有：
……①
……②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为、，则
……③
……④
由以上①②③④可解得：
若T=0，应有：
由此可见，当时，绳子上的弹力T为零.
若，绳子上一定有弹力吗？
我们知道绳子只能产生拉力.
当弹力存在时，应有：T>0即
所以只有当时绳子上才有弹力
例5如图2—5所示，物体系由A、B、C三个物体构成，质量分别为mA、mB、mC.用一水平力F作用在小车C上，小车C在F的作用下运动时能使物体A和B相对于小车C处于静止状态.求连接A和B的不可伸长的线的张力T和力F的大小.（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计）
解析在水平力F作用下，若A和B能相对于C静止，则它们对地必有相同的水平加速度.而A在绳的张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F只能水平向右，可用整体法来求，而求张力必须用隔离法.
取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力（mA+mB+mC）g，推力F和地面的弹力N，如图2—5甲所示，设对地的加速度为a，则有：
…………①
隔离B，以地为参考系，受重力mBg、张力T、C对B的弹力NB，应满足：
…………②
隔离A，以地为参考系，受重力mAg,绳的张力T，C的弹力NA，应满足；
NA=mAg…………③
T=mAa…………④
当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度
代入①式可得：
例6如图2—6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L，今向下拉盘，使弹簧再伸长△L后停止.然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（）
A． B．
C． D．
解析确定物体m的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法.选整体为研究对象，在没有向下拉盘时有
KL=（m+m0）g…………①
在向下拉伸△L又放手时有
K△L=（m+m0）a……②
再选m为研究对象FN-mg=ma……③
解得：
应选A.此题也可用假设法、极限法求解.
例7如图2—7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动.细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于。
解析求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解.
以杆为研究对象，受力如图2—7甲所示，根据力矩平衡条件：
根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与F大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力F正交分解，如图2—7—乙，在水平方向有
即挡板对圆柱体的作用力为.
例8如图2—8所示，质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中，盒从h高处（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来.
解析盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起跳时可隔离盒研究。
在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：.
碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x处，小球的速度又减为0，则在此过程中，对小球有：
把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：
例9如图2—9所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度.
解析要想求此瞬间质点D的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于A、B、C、D相关联，所以用隔离法，对B、C、D分别应用动量定理，即可求解.以B、C、D分别为研究对象，根据动量定理：
对B有：IA—IBcos60°=mBu…………①
IAcos60°—IB=mBu1…………②
对C有：IB—IDcos60°=mCu1……③
IBcos60°—ID=mcu2…………④
对D有：ID=mDu2……⑤
由①~⑤式解得D的速度
例10有一个两端开口、粗细均匀的U形玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中，两个竖直支管的高度均为h，水平管的长度为2h，玻璃细管的半径为r,r<
1．如将U形管两个竖直支管的开口分别密封起来，使其管内空气压强均等于大气压强，问当U形管向右做匀加速移动时，加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为（5/3）h？
2．如将其中一个竖直支管的开口密封起来，使其管内气体压强为1个大气压.问当U形管绕以另一个竖直支管（开口的）为轴做匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为（5/3）h（U形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）
解析如图2—10—甲所示，U形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运动，所以A管内气体体积减小、压强增大，B管内气体体积增大、压强减小，水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度.若U形管以A管为轴匀速转动时，水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度.
1．当U形管以加速度a向右运动时，对水平管中水银柱有F1—F2=ma
即……①
……②
……③2—10—乙
将②、③式代入①式可得
2．如图2—10—乙，若U形管以A管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有F2—F1=ma.若转轴为n，则有：
……①
对B中气体有解得：……②
将②式代入①式可解得转速
例11如图2—11所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，内部横截面的面积S=0.01m2，中间用两个活塞A与B封住一定质量的理想气体，A、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A的质量可不计，B的质量为M，并与一倔强系数k=5×103N/m的较长的弹簧相连.已知大气压强p0=1×105Pa，平衡时，两活塞间的距离l0=0.6m.现用力压A使之缓慢向下移动一定距离后，保持平衡，此时，用于压A的力F=5×102N.求活塞A向下移动的距离.（假定气体温度保持不变.）
解析活塞A下移的距离应为B下降的距离与气体长度的减小量之和，B下降的距离可用整体法求解.气体长度的变化可隔离气体来求解.
选A、B活塞及气体为研究对象，设用力F向下压A时，活塞B下降的距离为x，
则有：F=kx…………①
选气体为研究对象，据玻意耳定律有…………②
解①②两式可得x=0.1ml=0.4m则活塞A下移的距离为：左=0.1+0.6—0.4=0.3m
例12一个密闭的气缸，被活塞分成体积相等的左右两室，气缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等，如图2—12所示，现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来体积的3/4，气体的温度T1=300K.求右室中气体的温度.
解析可隔离出A、B两部分气体，用理想气体状态方程求解.
设原来两室中气体的压强都为p，温度都为T，体积都为V，
对左边气体有……①对右边气体有②
①、②两式相比，可得右室中气体温度
例13如图2—13所示，封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着，气缸内密封一定质量的气体，当温度为27℃时，弹簧的长度为30cm，此时缸内气体的压强为缸外大气压的1.2倍，当气温升到123℃时，弹簧的长度为36cm，求弹簧的原长.
解析本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体，气体所处的初态为：
T1=300K、V1=SL1、（S为气缸横截面积，L1为弹簧长度）p1=p0+F1/S=1.2P0末态为T2=396K、V2=SL2p2=p0+F2/S（p0为大气压强，F1、F2为弹簧的弹力）.气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解：
将上述各状态参量代入状态方程：
解得：由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差，
所以：①
②
联立①、②式得：
解得弹簧的原长为L0=20cm
例14一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道，其半径为R，此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q.已知在轨道平面内A点（OA=r
解析小珠P虽沿轨道做匀速圆周运动，但受力情况并不清楚，因此不能从力的角度来解决，可以从电势的角度来考虑，因为小珠P沿轨道做匀速圆周运动，说明小珠只受法向的电场力.由此可知，电场力对小珠P做功为零，根据W=qU可知，圆轨道上各点电势相等，根据题意作图如图2—14，设A1点距圆形轨道的圆心O为r1，A点放的电荷q距圆心为r
由此得：
解①、②两式可得：A1点的位置距圆心O的距离为，所带电量
例15如图2—15所示，两个电池组的电动势每节电池的内阻均为0.5Ω,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=1.8Ω，求通过R1、R2、R3的电流及两个电池组的端电压各是多少？
解析解此题时，可采用与力学隔离法相似
的解法，即采用电路隔离法.
气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解.
先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则有：
UAB=ε1—I1（R1+2r）……①
UAB=ε2—I2（R2+2r）………………②
UAB=I3R3……………………③
I1+I2=I3………………④
联立①②③④四式解得：I1=0.6A,I2=0.4A,I3=1A,电池组ε的端电压U1=2.4V，电池组ε2的端电压U2=2.6V.
例16如图2—16所示，两根相互平行的间距L=0.4m的金属导轨水平放在B=0.2T的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，导轨上的滑杆ab、cd所受摩擦力均为0.2N，两杆电阻均为0.1Ω，导轨电阻不计.当ab受到恒力F作用时,ab以v1做匀速运动，cd以v2做匀速运动，求通过ab杆的电流强度的大小和方向.
解析要求通过ab杆的电流强度，应通过ab杆受的安培力求解，这就需要隔离出ab杆进行受力分析.
以ab杆为研究对象，因右手定则确定电流的方向为b→a，受力如图2—6—甲所示.因为ab杆匀速运动处于平衡状态，故有
F=f+BIL.
再以滑杆ab、cd整体作为研究对象，受力如图2—16—乙所示，因为ab、cd均做匀速运动，受力平衡，故有
代入上式，解得通过ab杆的电流为
所以通过ab杆的电流的大小为2.5A，方向b→a.
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