高考数学经典试题汇编
下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （） （） （） …… …… 7 12 （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… （） （） （） （） （） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数．（1）的值；（2）写出的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．
按第一行依次可读出：，；按第一行依次可读出：，；最后，按第５列就可读出：．
（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：
而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：
……通过递推易知，第i行是首项为，公差为的等差数列，故有
（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得．从而，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而，由此可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
求。
“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是。
函数及其反函数的图象与函数的图象交于A、B两点，若，则实数的值等于_________。
从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的个球有个白球和个黑球，共有种取法。显然，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子：。
某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润（单位：万元）与年数满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（C）
（A）3年（B）4年（C）5年（D）6年
（14分）已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵，∴，即，∵，∴（2），；当，即时，；当时，∵，∴这样的不存在。当，即时，，这样的不存在。综上得，。
（14分）如图，设圆的圆心为C，此圆和
抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交
点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。
求P的取值范围；
求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；
求当S取最大值时，向量的夹角。
解：（1）把代入得
由，得，即
（2）设，的方程：
，即
即，即
点O到AB的距离，又
∴，即
（3）取最大值时，，解方程，得
，
∴向量的夹角的大小为。
（16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？
解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则
即，，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。
数列的第2004项是____________。63
在等比数列中，，公比，若，则达到最大时，的值为____________。8
设函数，且①；②有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对为______________。满足的任一组解均可
已知两条曲线（不同时为0）.则“”是“与有且仅有两个不同交点”的A
(A)充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合
，集合。
（1）求和；
（2）定义与的差集：且。
设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概
率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从
大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{}的通项公式（不必证明）；
（3）若函数中，，
（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应
的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵有最大值，∴。配方得，由。
∴，。
（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。
则。②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则。
③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。。
（3）（理），得。，
∵，当且仅当时等号成立。∴在上单调递增。。
又，故没有最小值。
（文）∵单调递增，∴，又，∴没有最大值。
把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：
第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，
则。
我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，。
（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线或的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。
（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由。
解：（1）建立直角坐标系（如图），，
点M的轨迹为双曲线的一部分，
，
即
点M的轨迹方程为
（2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，
路线的路程较短。
理由：设的延长线与（1）中曲线交于点，
则
已知函数对任意的整数均有，且。
（1）（3分）当，用的代数式表示；
（2）（理）（10分）当，求的解析式；
（文）（6分）当，求的解析式；
（3）如果，且恒成立，
求的取值范围。（理5分；文9分）
解：（1）令
（2）（理）当时，，
上述各式相加，得
当时，
上述各式相加，得，即
综上，得。
（文），
（3）恒成立
令，是减函数
∴
设A（x1，y1），B（x2，y2）是两个互异的点，点P的坐标由公式确定，当R时，则（C）
A．P是直线AB上的所有的点B．P是直线AB上除去A的所有的点
C．P是直线AB上除去B的所有点D．P是直线AB上除去A、B的所有点
设（n∈N）的整数部分和小数部分分别为In和Fn，则Fn(Fn+In)的值为（A）
A．1 B．2 C．4 D．与n有关的数
将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．0795
设x、y、z中有两条直线和一个平面，已知命题为真命题，则x、y、z中一定为直线的是．z
秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）
设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。
由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须△ABC的面积S取最大值。
设AB=x，AC=y，则由余弦定理有
≥，
于是，≤，
从而，S=≤。
当且仅当x=y时，S取最大值。
故当AB=AC时，(Vb)max=。
同理，当a边放在地上时，(Va)max=。
显然，当a＞b时，(Va)max＞(Vb)max；当a＜b时，(Va)max＜(Vb)max；当a=b时，(Va)max=(Vb)max。
故当a＞b时，将a边放地上，且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形；当b＞a时，将b边放地上，且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形；当a=b时，无论将a边还是b边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。
已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．
（Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？
（Ⅱ）求a2004；
（Ⅲ）S2004；
（Ⅳ）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；为第k对，共1+（2k-1）=2k项；…．故前k对共有项数为
2+4+6+…+2k=k(k+1)．
（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为
2003(2003+1)+1=4014013（项）．
（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是
S2004=45+3×1959=5922．
（Ⅳ）前k对所在全部项的和为
Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．
易得，S25(25+1)=3×252+25=1900，S26(26+1)=3×262+26=2054，S651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．
（Ⅰ）设A为动椭圆的中心，BD为过焦点F的弦，M为BD的中点，连接AM并延长交椭圆于点C．求证：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是为定值且值为（其中a为椭圆的半长轴）．
（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论能推广到双曲线吗？为什么？
（Ⅰ）不妨设椭圆方程为(a＞b＞0)，F(c，0)为右焦点，B(x1，y1)，D(x2，y2)，M(x0，y0)，弦BD的方程为x=my+c．
联立两方程得，于是
，x0=my0+c．由椭圆第二定义得，于是．
首先，若四边形ABCD为平行四边形，则C的坐标为(2x0，2y0)，将其代入椭圆方程并化简得，由此可得．
其次，若，则，于是x0，，从而，，也就是点(2x0，2y0)在椭圆上，且M平分AC，故ABCD为平行四边形．
（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD不可能为平行四边形
用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图得，则与
的面积之比为 （B）
A． B． C． D．
（理科）设抛物线为常数）的焦点为F，准线为l.过F任作一条直线与
抛物线相交于A、B两点，O为原点，给出下列四个结论：①|AB|的最小值为2p；②
△AOB的面积为定值；③OA⊥OB；④以线段AB为直径的圆与l相切，其中正确
结论的序号是（注：把你认为正确的结论的序号都填上）①④
（文科）长为4的线段AB的两端点在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到y
轴的距离的最小值为
如图所示的正方体中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则
空间四边形AGFE在该正方体面上的射影不可能是
设A、B两点到平面α的距离分别为2与6，则线段AB的中点到平面α的距离为4或2
（理）设函数f(x)是二次函数，已知，且f(x)=0有两个相等实根，问是否存在一个常数t（O＜t＜1，使得直线x=－t将函数y=f(x)的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若存在，求出此常数t，若不存在，请说明理由.
（文）已知.
（1）求a、k之值；
（2）x为何值时f（log2x）有最小值，并求其最小值
解：（理）设f(x)=ax2+bx+C，则（1分）由(x)=2x+2及f(x)=0可
得a=1，b=2，c=1（2分）即f(x)=x2+2x+1（3分）
假设存在常数t（0＜t＜1满足条件，则（6分）
即（8分）化简得：2t3－6t2+6t=1（10分）
即2(t－1)3=－1解得（12分）
（文）（1）由题设知（3分）由②得log2a=0或log2a=1（4分）
又a≠1，故a=2代入①log2（2+k）=2得k=2（5分）∴a=2，k=2（6分）
（2）（8分）
（10分）
当（12分）
三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524、746等都是凹数.那么，各个数位上无重复数字的三位凹数共有个240
在容量为10的一个样本中，已知S=9，那么 （D）
A、S的值不可能求出 B、S=10
C、S=90 D、S=3
在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得
到的数能被5或2整除的概率是 （Ｂ）
A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2
有一台坏天平，两臂长不相等，其余均精确，现用它称物体的重量，将物体放在左右托
盘各称一次，重量分别为a、b，则该物体的真实重量为 （Ｂ）
A、 B、 C、 D、
设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…Pn，Qn+1…，已知，设
（1）求出过点P0的切线方程；
（2）设求的表达式；
（3）设求
解：（1）∴过点P0的切线段为即（4分）
（2）∴过点Pn的切线方程为（6分）
将的坐标代入方程得：
（8分）
故数列是首项为的等比数列
（10分）
（3）（12分）
（14分）
已知图①中的图象对应的函数，则图②中的图象对应的函数
在下列给出的四式中，只可能是 （Ｃ）
A． B． C． D．
如图，已知多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两
互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，
AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（Ｂ）
A．2 B．4
C．6 D．8
（如图）正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1
及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹
是（A）
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
（理）已知双曲线的离心率，一条
准线方程为，直线l与双曲线右支及双曲线的渐
近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示.
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：|AB|=|CD|；
（Ⅲ）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC的面积为定值.
（文）已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1).
（Ⅰ）试求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）问函数f(x)图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由.
（理）解（Ⅰ）由已知
∴所求双曲线的方程x2－y2=1………………………………………………2分
（Ⅱ）解法一
设l:x=my+b,(m≠±1)由
由
………………………………………………4分
………………………………………………6分
∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分
解法二：
当l倾斜角为90°时，设l:x=m,(m>1).
……3分
当l倾斜角不是90°时，设l:y=kx+b,(k≠±1).
由…………4分
由
…………………………………………………6分
∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分
（Ⅲ）设A(a,a)D(b,－b)a>0,b>0∵|AB|=|BC|=|CD|
即…………………………………………………………………9分
∴点C在双曲线上……………11分
……………13分
∴△OBC的面积为定值.
（文）（Ⅰ）∵f(x)是奇函数∴f(―x)=―f(x)
即……………………2分
，……………………4分
当且仅当，时，等号成立.于是…………………6分
解得
…………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)图象上,并且关于(1,0)的对称点
(、y0)也在y=f(x)图象上，…………………………………………………9分
则…………………………………………11分
（1，0）对称…………………………………………………………………………13分
对于函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）作代换x=g（t），则不改变函数f(x)的值域的代换是
Ｄ
A．g（t）=2t B．g(t)=|t| C．g(t)=sint D．g(t)=log2t
若将离心率为的椭圆绕着它的左焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是3y+14=0，则新椭圆的另一条准线方程是 Ｃ
A． B．
C． D．
数列满足条件：①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零.
则这样的数列最多有项.3
设数列的首项a1=1,前n项和Sn满足关系
.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）设数列的公比是f（t）作数列，使
求bn及
（Ⅲ）求和：
（I）证明：由已知得减去已知式，化得.当n=2时，由已知式及a=1得
数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列.（4分）（II）解：是以1为首项，为公差的等差数列
（III）解：当k为偶数时，
当n为偶数时，将相邻两项配对，则
当n为奇数时，
（14分）
设，若有且仅有两解，则实数的取值范围是：
A
十年真题汇编
2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）
新课程卷·理工农医类
●试题部分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等于（）
A. B.
C. D.
2.已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（）
A. B.－ C. D.－
3.设函数f（x）=若f（x0）>1，则x0的取值范围是（）
A.（－1，1） B.（－1，+∞）
C.（－∞，－2）∪（0，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，+∞）
4.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.函数y=ln，x∈（1，+∞）的反函数为（）
A.y=，x∈（0，+∞） B.y=，x∈（0，+∞）
C.y=，x（－∞，0） D.y=，x∈（－∞，0）
6.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）
A. B. C. D.
7.设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）
A.［0，］ B.［0，］ C.［0，||］ D.［0，||］
8.已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|等于（）
A.1 B. C. D.
9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（）
A. B.
C. D.
10.已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1
A.（，1） B.（）
C.（） D.（）
11.等于（）
A.3 B. C. D.6
12.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A.3π B.4π C.3π D.6π
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.（x2－）9展开式中x9的系数是_____.
14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆.
15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答）
16.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=2sinx·（sinx+cosx）.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间［－］上的图象.
18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
19.（本小题满分12分）设a>0，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.
20.（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.
（Ⅰ）求ξ、η的概率分布；
（Ⅱ）求Eξ，Eη.
21.（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
22.（本小题满分14分）设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）.
（Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.
●答案解析
1.答案：B
解析：
.
2.答案：D
解法一：∵x∈（－，0），cosx=，∴sinx=－，tanx=－，∴tan2x=.
解法二：在单位圆中，用余弦线作出cosx=，x∈（－，0），判断出2x∈Ⅳ且tan2x=AT<－1.
3.答案：D
解法一：因为f（x0）>1，当x≤0时，，∴x0<－1，当x0>0时，>1，∴x0>1.综上，所以x0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.
解法二：首先画出函数y=f（x）与y=1的图象.由图中易得f（x）>1时，所对应的x的取值范围.
4.答案：B
解析:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为∠BAC的角平分线的方向.
又λ∈［0，+∞］，∴λ（）的方向与的方向相同.
而，∴点P在上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
5.答案：B
解法一：y=ln=ly，∴x=，又而x>1，
∴>1，∴ln>0，因此y=ln的反函数为y=（x>0）
解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y=.因此排除A、C，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.
6.答案：C
解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，
而AB2=（）2+（）2=a2，∴V八面体=.
7.答案：B
解析：f（x）的导数为f′（x）=2ax+b，由已知y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］.因此有0≤2ax0+b≤1.而P到曲线y=f（x）的对称轴的距离为.
8.答案：C
解析：设a1=，a2=+d，a3=+2d，a4=+3d，而方程x2－2x+m=0中的两根之和为2，x2－2x+n=0中的两根之和也是2.∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4，∴d=，∴a1=，a4=是一个方程的两个根，a2=，a3=是一个方程的两个根，∴为m或n.∴|m－n|=.
9.答案：D
解法一：设所求双曲线方程为由
得，（7－a2）x2－a2（x－1）2=a2（7－a2）
整理得：（7－2a2）x2+2a2x－8a2+a4=0.又MN中点横坐标为－，
∴x0=即3a2=2（7－2a2），∴a2=2.
故所求双曲线方程为.
解法二：因所求双曲线与直线y=x－1的交点的中点横坐标为－<0，故双曲线的渐近线的斜率（k>0）时，为k>1，因此，排除B、C.经检验的交点的中点横坐标为－.
解法三：由已知MN中点横坐标x0=－，可得中点纵坐标y0=x0－1=－，设MN与双曲线交点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），则有=1①，=1②
则②－①得：，
∴，
∴.
10.答案：C
解析：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，所以tanθ==x，又tanθ==x，
∴CP2=－1，而tanθ=，
∴DP3=x（3－）=3x－1，又tanθ==x，
∴AP4=－3，依题设1
∴4<<5，，∴.
11.答案：B
解析：∵
∴
，
12.答案：A
解法一：
.
∴R2=，∴R=.
∴球的表面积为3π.
解法二：构造棱长为1的正方体，则C1A1BD为棱长为的正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为，因此球的表面积为4π（）2=3π.
13.答案：－
解析：（x2－）9的展开式中，Tr+1=·（x2）9－r（－）r=（－）r，
由题意得18－3r=9，∴r=3，因此x9的系数为（－）3·
.
14.答案：63010
解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按比例抽样分别有6、30、10辆.
15.答案：120
解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法.
图2图3
16.答案：①④⑤
解析：①、④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM=AP=AN，因此，三棱锥A—PMN是正三棱锥.所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法，还可否定③.∵AM≠AP≠AN.也易否定②.
17.解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1－cos2x+sin2x=1+（sin2xcos－cos2xsin）=1+sin（2x－），
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
x y 1 1 1 故函数y=f（x）在区间［－，］上的图象是
18.解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形.
连结DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2=FG·FD=FD2，
∵EF=1，∴FD=.
于是ED=，EG=.
∵FC=ED=，∴AB=2，A1B=2，EB=.
∴sinEBG=.
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin.
（Ⅱ）连结A1D，有.
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，
设A1到平面AED的距离为h，则S△AED·h=·ED.
又.
∴.
即A1到平面AED的距离为.
解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），
A1（2a，0，2），E（a，a，1），G（）.
∴=（0，－2a，1）.
∴，
解得a=1.
∴.
∴cosA1BG=.
A1B与平面ABD所成角是arccos.
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）.
=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，
=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0，
∴ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，
∴平面AED⊥平面AA1E，
又面AED∩面AA1E=AE.∴点A1在平面AED的射影K在AE上.
设=λ，则=（－λ，λ，λ－2）.
由·=0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=.
∴. ∴.
故A1到平面AED的距离为.
19.解：f′（x）=（x>0）.
当a>0，x>0时，f′（x）>0x2+（2a－4）x+a2>0，
f′（x）<0x2+（2a－4）x+a2<0.
（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a－4）x+a2>0，
即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.
（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2>0，
即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.
又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.
（iii）当00，即x2+（2a－4）x+a2>0，
解得x<2－a－2，或x>2－a+2.
因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.
令f′（x）<0，即x2+（2a－4）x+a2<0，
解得2－a－2
因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.
20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
P（ξ=3）=，
P（ξ=2）=，
P（ξ=1）=，
P（ξ=0）=；
根据题意知ξ+η=3，所以
P（η=0）=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=，
P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=.
（Ⅱ）Eξ=；
因为ξ+η=3，所以Eη=3－Eξ=.
21.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y－a=－2λax.
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，
整理得 ①
因为a＞0，所以得：
（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E（）和F（－
）为合乎题意的两个定点；
（iii）当a＞时，方程①也表示椭圆，焦点E和F（0，（a－））为合乎题意的两个定点.
22.（Ⅰ）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0.等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，即ak=［3k+（－1）k－12k］+（－1）k2ka0，
那么ak+1=3k－2ak=3k－［3k+（－1）k－1·2k］－（－1）k2k+1a0=［3k+1+（－1）k2k+1］+（－1）k+12k+1a0，
也就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N+成立.
证法二：如果设an－a3n=－2（an－1－a3n－1），
用an=3n－1－2an－1代入，可解出a=.
所以{an－}是公比为－2，首项为a1－的等比数列，
∴an－=（1－2a0－）（－2）n－1（n∈N+），
即an=+（－1）n2na0.
（Ⅱ）解法一：由an通项公式
an－an－1=+（－1）n3×2n－1a0，
∴an>an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）. ①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，
即为a0<（）2k－3+. ②
②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=.
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1（5a0－1）<（）2k－2，
即为a0>－×（）2k－2+. ③
③式对k=1，2，…都成立，有
a0>－×（）2×1－2+=0.
综上，①式对任意n∈N+成立，有0
故a0的取值范围为（0，）.
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，因此0
下面证明当00.
由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0.
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，
5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0.
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，
5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0.
故a0的取值范围为（0，）.
新课程卷·文史类
（与理工农医类不同的部分）
●试题部分
1.不等式
A.（0，2） B.（2，+∞）
C.（2，4 D.（－∞，0）∪（2，+∞）
2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）
A. B.－ C.8 D.－8
5.等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）
A.48 B.49 C.50 D.51
6.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
11.已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4与P0重合，则tanθ等于（）
A. B. C. D.1
15.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.
16.将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_____种.（以数字作答）
17.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.
（Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离.
18.已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
19.已知数列{an}满足a1=1，an=3n－1+an－1（n≥2）.
（Ⅰ）求a2、a3；
（Ⅱ）证明an=.
20.有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
21.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0，0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0，］上是单调函数，求和ω的值.
22.已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
●答案解析
1.答案：C
解法一：
解法二：由于5不满足4x－x2≥0排除B、D.1不满足
2.答案：B
解析：y=ax2.
5.答案：C
解析：∵a1=设an=a1+（n－1）d=+（n－1）d，a2+a5=a1+d+a1+4d=4，+5d=4，d=，an=a1+（n－1）d=+（n－1）=33，n=50.
6.答案：B
解析：设双曲线为=1，∵△MF1F2为等腰三角形，∠F1MF2=120°，∴∠MF1F2=30°，
∴tan30°=，
∴.
11.答案：C
解析：因为P4与P0重合，∴P1为BC中点，P2为CD中点，P3为AD中点.∴tanθ=.
15.答案：
解析：过A作BC垂线AE与BC交于E，连接DE，则BC⊥DE，∵S△ABC2=AB2·AC2，S△DAB2=AB2·DA2，
S△DAC2=AC2·DA2，S△DBC2=BC2·DE2
=BC2（AE2+DA2）=（AB2+AC2）（AE2+DA2）
=AB2·DA2+AC2·AD2+BC2·AE2，
∴S△DBC2=S△DAB2+S△DAC2+S△ABC2.
16.答案：42
解析：分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田有b或c2种方法.不妨设放入b.第三块田也有2种方法a或c.
（Ⅰ）若第三块田放c：，则第四、五块田分别有2种方法，共2·2种方法.
（Ⅱ）若第三块田放a：，第四块田仍有b或c2种放法.
（i）若第四块田放c：，第五块田仍有2种方法.
（ii）若第四块田放b：，则第五块田只能放c，共有3种方法.
综上，共有3·2（2·2+3）=42种方法.
17.（Ⅰ）证法一：取BD中点M，连结MC、FM.
∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D.
又EC=CC1且EC⊥MC.
∴四边形EFMC是矩形，∴EF⊥CC1.
又CM⊥面DBD1，∴EF⊥面DBD1，∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1.
故EF为BD1与CC1的公垂线.
证法二：建立如图的坐标系，得
B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），
C1（0，0，2），E（0，0，1）.
∴=（，，0），=（0，0，2）.
=（1，－1，2）.
∴·=0，·=0.
即EF⊥CC1，EF⊥BD1.
故EF是CC1与BD1的公垂线.
（Ⅱ）解：连结ED1，有.由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d，
则S△DBE·d=·EF.
∵AA1=2，AB=1.∴BD=BE=ED=，EF=.
∴.
∴.
故点D1到平面BDE的距离为.
18.解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2.
曲线C1在点P（x1，x12+2x1）的切线方程是y－（x12+2x1）=（2x1+2）（x－x1）.
即y=（2x1+2）x－x12 ①
函数y=－x2+a的导数y′=－2x，
曲线C2在点Q（x2，－x22+a）的切线方程是y－（－x22+a）=－2x2（x－x2），
即y=－2x2x+x22+a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
所以
消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－.此时点P与Q重合.
即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线.由①得公切线方程为y=x－.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a<－时C1和C2有两条公切线.
设一条公切线上切点为P（x1，y1），Q（x2，y2）.
其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=－1，
y1+y2=x12+2x1+（－x22+a）=x12+2x1－（x1+1）2+a=－1+a.
线段PQ的中点为（）.
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（）.
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
19.（Ⅰ）解：∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13.
（Ⅱ）证法一：由已知an－an－1=3n－1，故an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1=3n－1+3n－2+…+3+1=.
所以证得an=.
证法二：（1）当n=1时，命题成立.
（2）假设n=k时，命题成立.即ak=，那么n=k+1时，ak+1=3k+ak=3k+
即n=k+1时命题成立.
综合（1）（2），命题对n∈N均成立.
20.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95.P（）=0.10，P（）=P（）=0.05.
因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P（A·B·）+P（A··C）+P（·B·C）=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·
P（）·P（C）+P（）·P（B）·P（C）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176.
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为
P（A··）+P（·B·）+P（··C）+P（··）=0.90×0.052+
2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
解法二：三件产品都合格的概率为
P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.90×0.952=0.812.
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－［P（A·B·C）+0.176］=1－（0.812+0.176）=0.012.
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
21.解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）
即sin（－ωx+）=sin（ωx+）.
所以－cossinωx=cossinωx
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cos=0.
依题设0≤≤π，所以解得=.
由f（x）的图象关于点M对称，得f（－x）=－f（+x）.
取x=0，得f（）=－f（），所以f（）=0.
∵f（）=sin（）=cos，
∴cos=0，又ω＞0，得+kπ，k=0，1，2，….
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，….
当k=0时，ω=，f（x）=sin（）
在［0，］上是减函数；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在［0，］上是减函数；
当k≥2时，ω≥，f（x）=sin（ωx+）在［0，］上不是单调函数.
所以，综合得ω=或ω=2.
22.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y－a=－2λax.
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，
整理得 ①
因为a＞0，所以得：
（ⅰ）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ⅱ）当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E（）和
F（－）为合乎题意的两个定点；
（ⅲ）当a＞时，方程①也表示椭圆，焦点E（0，（a+））和F（0，（a－））为合乎题意的两个定点.
江苏卷（与新课程卷不同的部分）
●试题部分
1.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）
21.已知a>0，n为正整数.
（Ⅰ）设y=（x－a）n，证明y′=n（x－a）n－1；
（Ⅱ）设fn（x）=xn－（x－a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）>（n+1）fn′（n）.
22.设a>0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0
（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a=1，a1≤时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明.
●答案解析
1.答案：C
解析：∵函数的图象与x轴有两个交点.所以有b2－4a2>0.即|b|>2|a|.对a、b的符号分情况讨论.①②③④可得到C选项.
21.证明：（Ⅰ）因为（x－a）n=，
所以y′=.
（Ⅱ）对函数fn（x）=xn－（x－a）n求导数：fn′（x）=nxn－1－n（x－a）n－1，
所以fn′（n）=n［nn－1－（n－a）n－1］.
当x≥a>0时，fn′（x）>0.
∴当x≥a时，fn（x）=xn－（x－a）n是关于x的增函数.
因此，当n≥a时，（n+1）n－（n+1－a）n>nn－（n－a）n.
∴fn+1′（n+1）=（n+1）［（n+1）n－（n+1－a）n］>（n+1）（nn－（n－a）n）>（n+1）（nn－n（n－a）n－1）=（n+1）fn′（n），
即对任意n≥a，fn+1′（n+1）>（n+1）fn′（n）.
22.（Ⅰ）解：∵Qn（an，an2），Pn+1（·an2，an2），Qn+1（·an2，an4），
∴an+1=·an2，
∴an=·an－12=（·an－22）2=（）1+2an－2=（）1+2（·an－32）
=（）an－3=……=（）
∴an=a（）.
（Ⅱ）证明：由a=1知an+1=an2.
∵a1≤，∴a2≤，a3≤.
∵当k≥1时，ak+2≤a3≤，
∴.
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an=.
因此
辽宁卷（与新课程卷不同的部分）
●试题部分
1.与曲线y=关于原点对称的曲线为（）
A.y= B.y=－
C.y= D.y=－
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）
A.λ（），λ∈（0，1） B.λ（），λ∈（0，）
C.λ（），λ∈（0，1） D.λ（），λ∈（0，）
16.对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD
其中真命题的序号是_____.（写出所有真命题的序号）
●答案解析
1.答案：A
解法一：首先画出y=，利用特殊点的对称性，可以“找”到正确选项.令x=0，则y=－1，点（0，－1）在原曲线，其关于原点的对称点（0，1）只满足y=.
解法二：已知曲线y=f（x）=，其关于原点对称的曲线为y=－f（－x）
=－.
4.答案：A
解析：由向量的运算法则.而点P在对角线AC上，所以与同向，且||<||，∴=λ（）λ∈（0，1）.
16.答案：①④
解析：对于命题①，取BC的中点E.连接AE、DE.则BC⊥AE，BC⊥DE.∴BC⊥AD.对于命题④过A向平面BCD做垂线AO.连接BO与CD交于E.则CD⊥BE.同理CF⊥BD.∴O为△BCD垂心.连接DO，则BC⊥DO，BC⊥AO.∴BC⊥AD.
2003年高考数学试题（全国卷、河南卷）
全国卷·理工农医类
（与新课程卷不同的部分）
●试题部分
2.圆锥曲线ρ=的准线方程是（）
A.ρcosθ=－2 B.ρcosθ=2
C.ρsinθ=－2 D.ρsinθ=2
4.函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）
A.1+ B.－1
C. D.2
5.已知圆C：（x－a）2+（y－2）2=4（a>0）及直线l：x－y+3=0，当直线l被C截得的弦长为2时，则a等于（）
A. B.2－
C.－1 D.+1
6.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
A.2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
9.函数f（x）=sinx，x∈［］的反函数f－1（x）等于（）
A.－arcsinx，x∈［－1，1］ B.－π－arcsinx，x∈［－1，1］
C.π+arcsinx，x∈［－1，1］ D.π－arcsinx，x∈［－1，1］
14.使log2（－x）
15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种.（以数字作答）
17.已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.
19.已知c>0，设P：函数y=cx在R上单调递减，
Q：不等式x+|x－2c|>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
20.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南θ（θ=arccos）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21.已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为CE与OF的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22.（Ⅰ）设{an}是集合{2t+2s|0≤s
a6=12，….
将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数：
（ii）求a100.
（Ⅱ）（本小题为附加题）设{bn}是集合{2t+2s+2r|0≤r
●答案解析
2.答案：C
解析：变形后两边同时乘以ρ得：ρ2cos2θ=8ρsinθ，∴y2=8x，其准线方程为x=－2，在极坐标系中方程为ρsinθ=－2.
4.答案：A
解析：y=2sin2x+sin2x=1－cos2x+sin2x=1+sin（2x－），
∴ymax=1+.
5.答案：C
解析：由弦心距性质知，圆心C（a，2）到直线l的距离d=1，即d==1.
∴a=－1，∵a>0，∴a=－－1（舍去）.
6.答案：B
解析：设内接圆柱的半径为r，高为h，则有h=3（R－r）.
∴S全=2S底+S侧=2πr2+2πrh=－4π（r－）2+R2
∴其最大值为R2.
9.答案：D
解法一：∵f－1（1）=，∴将x=1代入A、B、C、D各式中，只有D等于，因此D正确.
解法二：利用函数f（x）的值域为［］，∵arcsinx∈［－，］，∴只有D中式子范围是［］.
14.答案：（－1，0）
解析：由图可知，x的取值范围是（－1，0）.
15.答案：72
解析：先排1区，有4种方法，再排2区，有3种方法，如果3、5两区同色，则4区有2种方法，否则4区只剩一种方法.另外3、5两区本身还有两种选择，故共有4·3（2+1）·2=72.
17.解法一：设z=r（cos60°+isin60°），则复数z的实部为.
∴z+=r，z=r2.
由题设|z－1|2=|z|·|z－2|，
即（z－1）（－1）=|z|，
∴r2－r+1=r，
整理得r2+2r－1=0.
解得r=－1，r=－－1（舍去）.即|z|=－1.
解法二：设z=a+bi，a>0，∵tan60°=，∴b=a.∴z=a+ai（a>0），
∵|z－1|=，|z|==2a，|z－2|=，
又∵|z－1|2=|z|·|z－2|，∴（a－1）2+3a2=2a
4a2－2a+1=2a
16a4+4a2+1－16a3+8a2－4a=16a2（a2－a+1）
化简得4a2=－4a+14a2+4a－1=0（2a+1）2=22a+1=，
∴a=.∴|z|=－1
解法三：设z=r（cos60°+isin60°）=ri
则z－1=（－1）+ri，z－2=（－2）+ri
由题设：|z－1|2=|z|·|z－2|，∴（－1）2+r2=r
∴r2－r+1=r·，整理得：r2+2r－1=0
解得r=－1，r=－－1（舍去）.∴|z|=－1.
19.解：函数y=cx在R上单调递减0
不等式x+|x－2c|>1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.
∵x+|x－2c|=
∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x+|x－2c|>1的解集为R2c>1c>.
如果P正确，且Q不正确，则0
如果P不正确，且Q正确，则c≥1.
所以c的取值范围为（0，］∪［1，+∞）.
20.解法一：设在时刻t（h）台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km）.
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t+60.
由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2－2·PQ·POcosOPQ.
由于PO=300，PQ=20t，
cosOPQ=cos（θ－45°）=cosθcos45°+sinθsin45°
=，
故OQ2=（20t）2+3002－2×20t×300×=202t2－9600t+3002.
因此202t2－9600t+3002≤（10t+60）2，
即t2－36t+288≤0，解得12≤t≤24.
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
解法二：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻t（h）台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是（x－）2+（y－）2≤［r（t）］2，
其中r（t）=10t+60.
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
（0－）2+（0－）2≤（10t+60）2，
即（300×－20×t）2+（－300×+20×t）2≤（10t+60）2，
即t2－36t+288≤0，解得12≤t≤24.
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）.
设=k（0≤k≤1）.
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直线OF的方程为：2ax+（2k－1）y=0， ①
直线GE的方程为：－a（2k－1）x+y－2a=0. ②
从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2－2ay=0，
整理得=1.
当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当a2≠时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当a2<时，点P到椭圆两个焦点（－，a），（，a）的距离之和为定值.
当a2>时，点P到椭圆两个焦点（0，a－），（0，a+）的距离之和为定值2a.
22.（Ⅰ）解：（i）第四行17182024
第五行3334364048
（ii）解法一：设a100=.只须确定正整数t0，s0.
数列{an}中小于的项构成的子集为{2t+2s|0≤s
其元素个数为，
依题意<100
满足上式的最大整数t0为14，所以取t0=14.
因为100－=s0+1，由此解得s0=8.∴a100=214+28=16640.
解法二：n为an的下标
三角形数表第一行第一个元下标为1，
第二行第一个元下标为+1=2，
……
第t行第一个元下标为+1，第t行第s个元下标为+s,该元等于2t+2s－1.
据此判断a100所在的行.
因为，所以a100是三角形数表第14行的第9个元a100=214+29－1=16640.
（Ⅱ）解：bk=1160=210+27+23，
令M={c∈B|c<1160}（其中B={2t+2s+2r|0≤r
因M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210
现在求M的元素个数：{c∈B|c<210}={2t+2s+2r|0≤r
{c∈B|210
{c∈B|210+27
全国卷·文史类
（与新课程卷不同的部分）
●试题部分
1.直线y=2x关于x轴对称的直线方程为（）
A.y=－x B.y=x
C.y=－2x D.y=2x
7.已知f（x5）=lgx，则f（2）等于（）
A.lg2 B.lg32
C.lg D.lg2
8.函数y=sin（x+）（0≤≤π）是R上的偶函数，则等于（）
A.0 B. C. D.π
9.已知点（a，2）（a>0）到直线l：x－y+3=0的距离为1，则a等于（）
A. B.2－
C.－1 D.+1
10.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为（）
A.2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
●答案解析
1.答案：C
解析：直线y=2x经过原点且斜率为2，它关于x轴对称的直线也应经过原点且斜率为－2，故方程为y=－2x.
7.答案：D
解析：令x5=2，∴x=2，∴f（2）=lg2=lg2.
8.答案：C
解析：把函数图象向左平移个单位即可.
9.答案：C
解析：=1，解得a=－1，a=－－1（舍去）.
10.答案：B
解析：设圆柱半径为r，高为h，已知r=.由，∴h=R.
∴S圆柱=2πr2+2πrh=2π（R）2+2π（R）2=πR2.
河南卷（与全国卷不同的部分）
●试题部分
1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
19.已知a>0，a≠1，设
P：函数y=loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；
Q：曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于不同的两点.
如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围.
●答案解析
1.答案：C
解析：当a>0时，A、B、C、D均不成立.当a<0时，只有C成立.
19.解：当0
当a>1时，y=loga（x+1）在（0，+∞）内不是单调递减；
曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于两点等价于（2a－3）2－4>0.
即a<或a>.
情形（i）P正确，且Q不正确，即函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减，曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴不交于两点.因此a∈（0，1）∩［［，1］∪（1，，即a∈［，1］.
情形（ii）P不正确，且Q正确，即函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内不是单调递减，曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于两点，因此a∈（1，+∞）∩［（0，）∪（，+∞）］.即a∈（，+∞）.
综上，a取值范围为［，1］∪（，+∞）.
2003年高考数学试题（北京卷）
理工农医类
●试题部分
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2－1＞0}，B={x|log2x＞0}，则A∩B等于（）
A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}
C.{x|x<－1} D.{x|x＜－1或x＞1}
2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=（）－1.5，则（）
A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2
3.“cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的（）
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
4.已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）
A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B.若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D.若m⊥α，mβ，则α⊥β
5.极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ=1表示的曲线是（）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线
6.若z∈C且|z+2－2i|=1，则|z－2－2i|的最小值是（）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）
A.2π B.π C.π D.π
8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值.不同的种植方法共有（）
A.24种 B.18种 C.12种 D.6种
9.若数列{an}的通项公式是an=，n=1，2，…，则（a1+
a2+…+an）等于（）
A. B. C. D.
10.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k.规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”.令
aij=
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）
A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2k B.a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2
C.a11a12+a21a22+…+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
11.函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=h（x）=tan2x中，____是偶函数.
12.以双曲线=1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是.
13.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.
14.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈［0，］，求f（x）的最大值、最小值.
16.（本小题满分13分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式.
17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.
18.（本小题满分13分）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）.
求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：|OP|=|OQ|.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
19.（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
20.（本小题满分14分）设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：
（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；
（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.
（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤1；
（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x），且使得
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
●答案解析
1.答案：A
解法一：∵x2>1，∴x>1或x<－1，又∵log2x>0，∴log2x>log21得x>1，
∴得x>1.
解法二：排除法，B、C、D不满足log2x>0排除.
2.答案：D
解析：∵y1=40.9=21.8，y2=80.48=（23）0.48=21.44，y3=21.5，∵函数y=2x是单调递增函数.又1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.
3.答案：A
解析：∵cos2α=－，∴2α=2kπ+π或2α=2kπ+π，∴α=kπ+π或α=kπ+π.∴cos2α=－α=kπ+π，而α=kπ+πcos2α=－.
4.答案：B
解析：A、C、D由判定定理较容易判断是正确的.下面举例说明命题B是错误的.
5.答案：D
解析：由原式可得ρ2（cos2θ－sin2θ）－2ρcosθ=1，设x=ρcosθ，y=ρsinθ得
x2－y2－2x=1，∴（x－1）2－y2=2为双曲线.
6.答案：B
解法一：属几何法，即数形结合.关键是把相关的量几何化.
|z+2－2i|=1表示圆心在（－2，2），半径为1的圆，而|z－2－2i|表示圆上的点到点（2，2）的距离，其最小值为3.
解法二：是代数法，关键是把条件最值问题转化为函数的最值.
设z=x+yi，因此有|x+2+（y－2）i|=1,即：（x+2）2+（y－2）2=1，
又|z－2－2i|=.
而|x+2|≤1即－3≤x≤－1.∴在x=－1时，|z－2－2i|取最小值3.
解法三：|z－2－2i|=|z+2－2i－4|≥||z+2－2i|－4|=3.
7.答案：C
解析：设圆台上底半径为r，下底半径为R，母线长为l，则有S轴截面=·h，
S侧=·l.
又母线与下底面成60°角，则l=2·BA′，h=BA′.
∴.
8.答案：B
解析：因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选两种，进行排列，共有种，即有18种.
9.答案：C
解析：当n为奇数时：an=2－n=（）n，a1=，当n为偶数时，an=3－n=（）n.a2=.
将a1+a2+…+an分为两组，分别求得首项和公比计算.
即a1+a2+…+an=（a1+a3+a5+…）+（a2+a4+a6）+…+an.而每组和的极限都存在，因此有：（a1+a2+…+an）=（a1+a3+…+a2n－1）+（a2+a4+…+a2n）=
.
10.答案：C
解析：同意第1号同学当选有如下同学a11，a21，a31，…，ak1，同意第2号同学当选有如下同学a12，a22，a32，…ak2，而同时同意1、2号同学当选应为a11a12，a21a22，…ak1·ak2，而其他值均为0，故同时同意第1、2号同学当选的人数为a11·a12+a21a22+…+ak1ak2.
11.答案：f（x）g（x）
解析：显然f（x）=lg（1+x2）为偶函数，h（x）=tan2x为奇函数，对于g（x）的研究，可以用画函数图象的方法观察；因此g（x）为偶函数.也可用定义来判断：
设x<－1，g（x）=x+2，则－x>1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2；
设x>1，g（x）=－x+2，则－x<－1，∴g（－x）=－x+2.
而－1≤x≤1时g（－x）=g（x）=0.
综上，有g（－x）=g（x），∴g（x）为偶函数.
12.答案：y2=－36（x－4）
解析：如图，抛物线的顶点在（4，0），焦点在（－5，0），因此，所求抛物线方程为y2=－36（x－4）.
13.答案：πr2
解析：如下图，所求几何体的体积为+πr2b=
πr2（+b）=πr2.
14.答案：
解析：设正方形周长为x，则边长为，圆周长为1－x，圆的半径为.（0
依题意，面积之和为+π（）2=
当时，有最小值.
即正方形周长为.
15.（Ⅰ）解：因为f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x
=（cos2x+sin2x）（cos2x－sin2x）－sin2x
=cos2x－sin2x=cos（2x+），
所以f（x）的最小正周期T==π.
（Ⅱ）解：因为0≤x≤，所以≤2π+≤π.
当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；
当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值－1.
所以f（x）在［0，］上的最大值为1，最小值为－.
16.（Ⅰ）解：设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，得d=2.
所以an=2n.
（Ⅱ）解：令Sn=b1+b2+…+bn，则由bn=anxn=2nxn，得
Sn=2x+4x2+…+（2n－2）xn－1+2nxn， ①
xSn=2x2+4x3+…+（2n－2）xn+2nxn+1. ②
当x≠1时，①式减去②式，得（1－x）Sn=2（x+x2+…+xn）－2nxn+1=－2nxn+1，
所以Sn=.
当x=1时，Sn=2+4+…+2n=n（n+1）.
综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；
当x≠1时，Sn=.
17.（Ⅰ）证明：∵CD∥C1B1，又BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1∥DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，
∴直线BC1∥平面AB1D.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1.
∵B1B⊥平面ABD，
∴B1E⊥AD.
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角.
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，
∴.
在Rt△B1BE中，tanB1EB=，∴∠B1EB=60°
即二面角B1—AD—B的大小为60°.
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F.
∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，
且AF=.
∴.
即三棱锥C1—ABB1的体积为.
解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，
∵，
∴，
即三棱锥C1—ABB1的体积为.
18.（Ⅰ）解：椭圆方程为=1.
焦点坐标为，离心率e=.
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得b2x2+a2（k1x－r）2=a2b2，
整理得（b2+a2k12）x2－2k1a2rx+（a2r2－a2b2）=0.
根据韦达定理，得
x1+x2=，x1x2=
所以 ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得. ②
由①，②得.
所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）.
由C，P，H共线，得，解得.
由D，Q，G共线，同理可得.
由变形得
－，
即－.
所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|.
19.（Ⅰ）解：由题设可知，a＞b＞0.记h=，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（b2+y2）+（h－y）2=3（y－）2+h2+2b2，
所以，当y=时，函数f（y）取得最小值.
答：点P的坐标是（0，）.
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=
由≥|h－y|解得y≥，记y=，于是
g（y）=
当y=≥0,即h≥b时,在［y，+∞上是增函数,而|h－y|在（－∞，y）上是减函数.由此可知，当y=y时，函数g（y）取得最小值，当y=＜0，即h＜b时，函数在［y，+∞）上，当y=0时，取得最小值b，而|h－y|在（－∞，y）上为减函数，且|h－y|＞b.
可见，当y=0时，函数g（y）取得最小值.
答：当h≥b时，点P的坐标为（0，）；
当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.
解法二：P至三镇的最远距离为
g（y）=
由≥|h－y|解得y≥，记y=，于是
g（y）=，
当y≥0，即h≥b时，z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y时，函数g（y）取得最小值.
当y＜0，即h＜b时，z=g（y）的图象如图（b），因此，当y=0时，函数g（y）取得最小值.
图（a）图（b）
答：当h≥b时，点P的坐标为（0，）；
当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=a，
所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为（0，），
且AM=BM=CM.
当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.
图(c)???????? 图(d)
若h=≥b（如图c），
则点M在线段AO上.
这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，
所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.
若h=＜b（如图d），则点M在线段AO外.
这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，
所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为b.
答：当≥b时，点P的位置在△ABC的外心（0，）；
当＜b时，点P的位置在原点O.
20.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈［－1，1］时，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x，即x－1≤f（x）≤1－x.
（Ⅱ）证法一：对任意的u，v∈［－1，1］，
当|u－v|≤1时，有|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.
当|u－v|＞1时，u·v＜0.不妨设u＜0，
则v＞0且v－u＞1.
所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）－f（－1）|+|f（v）－f（1）|≤|u+1|+|v－1|
=1+u+1－v=2－（v－u）＜1.
综上可知，对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤1.
证法二：由（Ⅰ）可得，
当x∈［0，1］时，|f（x）|≤1－x.
当x∈［－1，0］时，|f（x）|=|f（x）－f（－1）|≤1+x=1－|x|，
所以，当x∈［－1，1］时，|f（x）|≤1－|x|
因此，对任意的u，v∈［－1，1］，
当|u－v|≤1时，|f（u）－f（v）|≤|u－v|≤1.
当|u－v|＞1时，有u·v＜0且1＜|u－v|=|u|+|v|≤2，
所以，|f（u）－f（v）|≤|f（u）|+|f（v）|≤1－|u|+1－|v|=2－（|u|+|v|）≤1.
综上可知，对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤1.
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在
理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，
则由|f（u）－f（v）|=|u－v|，u，v∈［，1］，得|f（）－f（1）|=|－1|=.
又f（1）=0，所以|f（）|=. ①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0.
由条件|f（u）－f（v）|＜|u－v|，u，v∈［0，］，得
|f（）|=|f（）－f（0）|＜. ②
①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
文史类（与理工农医类不同的部分）
●试题部分
3.“cosα=－”是“α=2kπ+，k∈Z”的（）
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
5.如图，直线l：x－2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B.该椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
8.若数列{an}的通项公式是an=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+an）等于（）
A. B.
C. D.
11.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_____.
12.函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=2－|x|，h（x）=tan2x中，_____是偶函数.
15.已知函数f（x）=cos2x－2sinxcosx－sin2x.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值.
16.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an·3n，求数列{bn}前n项和的公式.
17.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.
（Ⅰ）求证：A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；
（Ⅲ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.
18.如图，A1、A为椭圆的两个顶点，F1、F2为椭圆的两个焦点.
（Ⅰ）写出椭圆的方程及其准线方程；
（2）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M.
求证：点M在双曲线=1上.
19.有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：
（i）f（－1）=f（1）=0；
（ii）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.
（Ⅱ）判断函数g（x）=，是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
●答案解析
3.答案：A
解析：∵cos2α=－，∴2α=2kπ+π或2α=2kπ+π.∴α=kπ+π或α=
kπ+π.∴cos2α=－α=kπ+π，而α=kπ+πcos2α=－.
5.答案：D
解析：∵x－2y+2=0y=x+1，∴，即，
∴，∴，∴.
8.答案：B
解析：当n为奇数时：an=0，当n为偶数时，an=3－n=（）n.
将a1+a2+…+an分为两组：（a1+a3+a5+…）和（a2+a4+a6+…），而（a1+a3+a5+…+a2n－1）=0
a2+a4+a6+…+a2n的首项和公比都为，
∴（a1+a2+…+an）=.
11.答案：3
解析：设球的半径为R，依题意有：πR3=4πR2，解得R=3.
12.答案：f（x）g（x）
解析：由于f（－x）=f（x），g（－x）=g（x），h（－x）=－h（x），所以f（x）、g（x）为偶函数，h（x）为奇函数.
15.（Ⅰ）解：因为f（x）=cos2x－2sinxcosx－sin2x=cos2x－sin2x=cos（2x+），
所以f（x）的最小正周期T==π.
（Ⅱ）解：因为f（x）=cos（2x+），所以f（x）的最大值为，最小值为－.
16.（Ⅱ）解：由bn=an·3n=2n3n，得
Sn=2·3+4·32+…+（2n－2）·3n－1+2n·3n， ①
3Sn=2·32+4·33+…+（2n－2）·3n+2n·3n+1. ②
将①式减去②式，得－2Sn=2（3+32+…+3n）－2n·3n+1=3（3n－1）－2n·3n+1，
所以Sn=+n·3n+1.
17.（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC.
又A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BC，∴BC⊥平面A1AD
∴A1D⊥BC. ∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
证法二：连结A1C，则A1C=A1B.
∵点D是等腰△A1CB的底边BC的中点，∴A1D⊥BC.
∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC.
∴DE⊥平面ACC1于E，
即DE的长为点D到平面ACC1的距离.
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=a，
∴所求距离DE=a.
解法二：设点D到平面ACC1的距离为x.
∵体积
∴，
∴x=a，即点D到平面ACC1的距离为a.
（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1.
证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点.
∵D是BC的中点，∴DF∥A1B.
又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如图2，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，
∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B.
∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.
图1图2
18.（Ⅰ）解：由图可知，a=5，c=4，所以b==3.
该椭圆的方程为=1，准线方程为x=±.
（Ⅱ）证明：设K点坐标为（x0，0）.点P、P1的坐标分别记为（x0，y0），（x0，－y0），其中0
直线A1P、P1A的方程分别为：（x0+5）y=y0（x+5）， ②
（5－x0）y=y0（x－5）. ③
②式除以③式得.
化简上式得x=，代入②式得y=.
于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为（）.
因为，
所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线=1上.
19.（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12－y）2=3（y－4）2+146，
所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值.
答：点P的坐标是（0，4）.
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
g（y）=
由≥|12－y|解得y≥，记y=，于是
g（y）=
因为在［y，+∞）上是增函数，而|12－y|在（－∞，y］上是减函数，
所以，当y=y时，函数g（y）取得最小值.
答：点P的坐标为（0，）.
解法二：P至三镇的最远距离为
g（y）=
由≥|12－y|解得y≥，记y=，于是
g（y）=
函数z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y时，函数g（y）取得最小值.
答：点P的坐标为（0，）；
图(a) 图(b)
解法三：因为△ABC中，AB=AC=13，且=12>5=OC，∠ACB>，如图（b）.所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为（0，），且AM=BM=CM.
当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.
这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，
所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.
答：点P的坐标为（0，）.
20.（Ⅱ）答：函数g（x）满足题设条件.验证如下：g（－1）=0=g（1）.
对任意u，v∈［－1，1］，
当u，v∈［0，1］时，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；
当u，v∈［－1，0］时，同理有|g（u）－g（v）|=|u－v|；
当u·v<0时，不妨设u∈［－1，0），v∈（0，1］，有
|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）|=|u+v|≤|v－u|.
所以，函数g（x）满足题设条件.
（Ⅲ）答：这样的函数不存在.理由如下：
假设存在f（x）满足条件，则由f（－1）=f（1）=0，得
|f（1）－f（－1）|=0. ①
由于对任意u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|，
所以，|f（1）－f（－1）|=|1－（－1）|=2. ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.
2003年高考数学试题（上海卷）
理工农医类
●试题部分
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.函数y=sinxcos（x+）+cosxsin（x+）的最小正周期T=_____.
2.若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_____.
3.在等差数列{an}中，a5=3，a6=－2，则a4+a5+…+a10=_____.
4.在极坐标系中，定点A（1，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_____.
5.在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____.（结果用反三角函数值表示）
6.设集合A={x||x|<4}，B={x|x2－4x+3>0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_____.
7.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则∠ABC=____.（结果用反三角函数值表示）
8.若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=_____.
9.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）
10.方程x3+lgx=18的根x≈_____.（结果精确到0.1）
11.已知点A（0，），B（0，－），C（4+，0），其中n为正整数，设Sn表示
△ABC外接圆的面积，则Sn=.
12.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确结果填在下面空格内.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）
A.y=tg|x| B.y=cos（－x）
C.y=sin（x－） D.y=|ctg|
14.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）
A.α、β都垂直于平面γ
B.α内存在不共线的三点到β的距离相等
C.l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D.l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
15.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
16.f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示.令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）
A.若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B.若a=－1，－2
C.若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根
D.若a≥1，b<2，则方程g（x）=0有三个实根
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1·z2|的最大值和最小值.
18.（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米）
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标；
（2）求圆x2－6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立.
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围.
●答案解析
1.答案：π
解析：∵y=sin［x+（x+）］=sin（2x+）.∴周期T=π.
2.答案：
解析：将x=代入方程，得cos（α+）=，∴α+=+2kπ或2π－+2kπ，k∈Z.
3.答案：－49
解析：∵d=a6－a5=－2－3=－5，∴a4+a5+…+a10=
=7（a5+2d）=7（3－10）=－49.
4.答案：（π）
解析：将直线的极坐标方程化为普通方程为：x+y=0，点A（1，）化为直角坐标为（0，1），而点A（0，1）到直线x+y=0的最短距离为.如图知OB=，∠xOB=.
∴B点的极坐标为（，）.
5.答案：arctan2
解析：如图，∠PAD即为异面直线PA与BC所成的角.∵△PAD≌△PBC，∴∠PBE=∠PAD.设OE=a.则PE=2a，BE=a，∴tanPBE=2.
6.答案：［1，3］
解析：A={x|－43}，∴A∩B={x|－4
7.答案：arccos
解析：由正弦定理及图知：a=2RsinA，b=2RsinB，C=2RsinC.
设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k，∴a=4Rk，b=6Rk，c=8Rk.
∴cosB=.
8.答案：（1，）（注：本题结论不惟一，只要满足a1>0，0
解析：设，其中q≠0，|q|<1.
依题意有，∴a1（1－qn）0，∴a1>0且0
9.答案：
解析：在20人中任取两个人有种不同选法.其中不属于同一国家的有种.因此，两人不属于同一个国家的概率为：
.
10.答案：2.6
解析：因为x3+lgx=18.∴2
11.答案：4π
解析：设∠ACO=θ，tanθ=
sin2θ=
在△ABC中=2R，∴R=
∴Sn=πR2=π（）2=4π.
12.答案：|PF2|=17
解析：因为|F1F2|=12，|PF1|=9.∴|PF2|=17，若|PF2|=1与三角形两边之差小于第三边矛盾.
13.答案：C
解析：通过研究图象可知y=tan|x|在（0，π）不是单调函数，y=cos（－x）=cosx在（0，π）是单调递减函数，y=sin（x－）=－cosx在（0，π）是单调递增函数.
14.答案：D
解析：A选项中α、β的位置不确定.B选项中α、β可能是相交的.C选项中，增加条件l与m相交，则有α∥β.
15.答案：D
解析：如果>0，则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.
∴“”“M=N”；反之若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零.因此，“M=N”“”.因此，既非充分又非必要条件.
16.答案：B
解析：由已知可设f（x）=mx（x－2）（x+2）（m<0），x∈［－c，c］.又g（x）=amx（x－2）（x+2）+b，将原图向上平移b个单位.因此g（x）图象不可能关于原点对称.
当a=－1，－2
其所对应的图象如图1所示.
在［2，c］上与x轴有交点即g（x）=0有大于2的实根.
当a≠0，b=2时，g（x）=amx（x－2）（x+2）+2=a［mx（x－2）（x+2）+］
图1 图2
其图象如图2所示（a>0），可能大于2，此时与x轴只有一个交点，即只有一个实根.
当a≥1，b<2时，g（x）=amx（x－2）（x+2）+b=a［mx（x－2）（x+2）+］.的范围不确定，即与x轴的交点个数不确定.
17.解法一：|z1·z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i|
=.
故|z1·z2|的最大值为，最小值为.
解法二：|z1·z2|=|z1|·|z2|=|cosθ－i|·|sinθ+i|=
.
故|z1z2|的最大值为，最小值为.
18.解：连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.
在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2.
又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=8.
19.解：（1）=a1－2a1q+a1q2=a1（1－q）2，
=a1－3a1q+3a1q2－a1q3=a1（1－q）3.
（2）归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则+…+（－1）nan+1·=a1（1－q）n，n为正整数.
证明：+…+（－1）nan+1
=+…+（－1）na1qn
=a1［+…+（－1）nqn］=a1（1－q）n.
20.（1）解：如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为=1.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，
得a=，此时l=2a=≈33.3.
因此隧道的拱宽约为33.3米.
（2）解法一：由椭圆方程=1，得=1.
因为≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，
所以S=.
当S取最小值时，有，得a=11，b=
此时l=2a=22≈31.1，h=b≈6.4.
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
解法二：由椭圆方程=1，得=1.
于是b2=.
a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121，
即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121=.
得a=11，b=，以下同解法一.
21.解：（1）设={u，v}，则由，即，得，或.
因为={u+4，v－3}，
所以v－3>0，得v=8，故={6，8}.
（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y=x.
由条件可知圆的标准方程为：（x－3）2+（y+1）2=10，
得圆心（3，－1），半径为.
设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则
，
故所求圆的方程为（x－1）2+（y－3）2=10.
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则
.
即x1、x2为方程0的两个相异实根，
于是由Δ=－4·>0，得a>.
故当a>时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
22.解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx.
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=xM.
（2）因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x，
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f（x）=ax，有f（x+T）=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf（x），故f（x）=ax∈M.
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M.
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx.
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈［－1，1］，sin（kx+kT）∈［－1，1］，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1.
当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z.
当T=－1时，sin（kx－k）=－sinkx成立，
即sin（kx－k+π）=sinkx成立，
则－k+π=2mπ，m∈Z，即k=－（2m－1）π，m∈Z.
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}.
文史类（与理工类不同的部分）
●试题部分
4.已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_____.
15.点P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N（）四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）
A.P B.Q C.M D.N
19.（本题满分14分）已知函数f（x）=－log2，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
22.（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：
.
●答案解析
4.答案：（－）
解析：由A点向直线做垂线，垂线段AB是最短距离.
ABO为等腰直角三角形，∠AOB=45°.因此B点坐标为
（－）.
15.答案：D
解析：点P、Q显然是不可能的.因为：loga1=0，不可能得到1、2.下面验证N点正确：设N（）在y=ax图象上
∴，∴即，说明（）在y=logax的图象上.所以N为公共点.
19.解：x须满足，由>0得－1
所以函数f（x）的定义域为（－1，0）∪（0，1）
因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
f（－x）=－－log2=－f（x）.
所以f（x）是奇函数.
研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x1，x2∈（0，1），且设x1
f（x1）－f（x2）=
.
由.
得f（x1）－f（x2）>0，即f（x）在（0，1）内单调递减，
由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（－1，0）内单调递减.
22.解：（3）因为Sn=.
所以
71
A
B
C
x
y
a
b
α
第22题答图
B
ABCD
D
A
E
G
B1
C
A1
F
C1
D1
①②
图1
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