第五届国际中学生物理奥林匹克竞赛试题(理论部分)(1982年联邦德国基尔)
题1如图13-1所示，荧光灯接在50的交流电压上；测出的数据如下：总电压(电网电压)U=228.5电流强度I=0.6荧光灯管两端电压U′=84串联镇流器的欧姆电阻Rd=26.3Ω计算时，可把荧光灯管当作是欧姆电阻器。试问：
(a)串联镇流器的电感量L是多大(b)电压和电流之间的相移角φ等于多少(c)这个装置的有功功率w等于多少(d)串联镇流器除限流作用外，还有另一个重要功能。写出这个功能并加以说明。提示：启动器—S—的触头在接通电源后马上闭合，随即断开，并保持开路状态。(e)试在定量时间标度图上，画出灯管发出的光通量随时间变化的图像。(f)虽然所加交变电压每隔一定时间间隔都要通过零值，为什么灯管只需启动一次(g)根据厂家说明，对这种类型的荧光灯管，可配用电容量为4.7μ的电容器同串联镇流器串联。这样做对灯管的工作有什么影响，其目的又是什么(h)试用附带的分光镜对演示用的荧光灯的两半段进行观察。解释两种光谱之间的差别。你可以走近荧光灯，并在实验后把分光镜留作纪念。〔解〕(a)这个装置的总阻抗为Z==380.8(欧姆)灯管的欧姆阻值是RR==140(欧姆)因此总欧姆阻值为R=140+26.3=166.3(欧姆)串联镇流器的感抗为ωL==342.6(欧姆)从而L==1.09亨利(b)阻抗角可从下式得到：tgφ==2.06于是φ=64.1°(c)用不同的方法可以求出有功功率1)Pω=UIcosφ=228.5×0.6×cos64.1°=59.88(瓦特)2)Pω=RI2=166.3×0.62=59.87(瓦特)(d)启动器触头断开时，将使串联镇流器两端产生很高的感应电动势(假定触头不是刚好在电流值为0时断开)。由此产生的电压足能使灯管启动。而电网电压要比荧光灯管的启动电压低。(e)图13-2是光通量随时间变化的图象。
(f)气体放电中的离子和电子的复合时间是足够长的。(g)4.7微法电容器的容抗是=(100π×4.7×10-6)-1欧姆=677.33(欧姆)两个电抗相减，其差为334.7呈电容性。改装后的总阻抗为Z1=欧姆=373.7欧姆这同不加电容器时的总阻抗非常接近(假设电容器没有损耗的话；参见(a)。这样一来，荧光灯的工作特性不变，照样能启动，唯一的区别是阻抗角φ跟φ不同了，φ跟(b)中计算出来的角φ反向：tgφ==-2.01φ=-63.6°这种附加电容器用于大量使用荧光灯的场合，以便对无功电流进行补偿，通常由电力公司规定使用。这就是说，所占比例过高的无功电流是不受欢迎的，因为发电机容量因此不得不设计得比真正需要的大得多，而且，如果用户只安装有功电度表的话，不由用户支付的线路传输损失也会增大。(h)演示荧光灯未涂荧光粉的部分将显示汞的光谱线，涂有荧光粉的部分则在连续光谱背景上显示与上面相同的光谱线。连续光谱线是汞光的紫外部分被荧光物质吸收后，以较低的频率(光子能量损失)或较长的波长重新发射的结果。〔评分标准〕(a)2分(b)1分(c)1分(d)1分(e)1分(f)1分(g)2分(h)1分共计10分
题2形状适宜的金属丝衣架能在如图13-3所示的平面里的几个平衡位置附近作小振幅摆动。在位置(a)和(b)里，长边是水平的。其他两边等长。三种情况下的振动周期都相等。试问衣架的质心位于何处摆动周期是多少除尺寸外，图形没有给出别的信息，就是说，有关质量分布的细节完全是未知的。
〔解〕第一种解法刚体在平面内的运动，同用无质量刚性棒连接起来的两个等质量质点的运动相当。两质点间的距离决定于转动惯量。从平衡位置(a)可知质心必位于衣架长边的垂直平分线上。如果在各种情况里都把等价质心和支点P想象成位于一条直线上，P只有位于图13-4所示的两个位置上，才能产生相等的振动周期。要理解这一点，可考虑极限情况：(1)两个支点都位于上一个质点上；(2)一个质点位于质心上，另一个位于上边无穷远处。在这两个极端情况之间，振动周期逐渐连续增大。当支点位于(c)情况中的长边的角上时，它同质心的距离最大，因而必位于两个质点以外。这样一来，(a)情况下和(b)情况下的支点就必须对称地分布在两个质点之间的质心两侧，也就是说，质心必平分生某些平分线。对可倾摆来说，这种物理摆的每一个支点，只要旋转180°，就能找到另一个支点，两者的振动周期相等，但同质心的距离却不一样。两支点之间的距离等于相当的数学摆的长度。因此，可通过相对应的摆长Sb+Sc求得振动周期。其中Sb=5厘米，Sc=厘米，从而得到T=1.03秒。
第二种解法设支点同质心的距离为S，衣架的质量为m，衣架对支点的转动惯量为I。则振动周期T=2π(1)式中g是重力加速度，g=9.81米/秒2。转动惯量为I=I0+mS2(2)I0为对质心的转动惯量。从(a)情况的对称性，可以看出质心一定位于长边的垂直平分线上。从(1)和(2)有I0+mS2=mgS(3)其中S=Sa,Sb,Sc(图13-5)，因为它们的振动周期都相等，这个二次方程最多只有两个不同的解，因此三个距离Sa,Sb,Sc中至少有两个相等。由于Sc＞21厘米＞Sa+Sb，所以只有Sa和Sb可以相等，故有Sa=5厘米又Sc,Sa均满足(3)式，将其代入再将I0消去可得m(Sc2-Sa2)=mg(Sc-Sa)于是有T=2π=1.03秒第三种解法本解法的开头部分跟第二种解法的(1)式和(2)式相同。根据(1)式和(2)式，对相等的振动周期T1=T2,我们一般有于是S2.(I0+mS12)=S1.(I0+mS22)或(S2-S1)(I0-mS1S2)=0(3)(3)的解有两种可能性S1=S2，或S1S2=设长边的长度为2a，衣架的高度为b，由于Tb=Tc，于是有Sb=Sc或SbSc=式中Sc=这就排除了第一种可能，因而必有SbSc=(4)由于Ta=Tb，从(4)可以看出，SaSb=这一情况可以排除，因为SaSb＜ScSb=于是有Sa=Sb=b,Sc=和T=2π=2π=1.03秒【评分标准】
第一种解法 10分 或第二种解法： (1) 1.5分 (2) 1.5分 附图 1分 (3)和(4) 3分 T表达式 2分 T的数值 1分 ______ 共计10分 或第三种解法： 同第二种解法(1)和(2) 4分 (3)和(4) 3分 T表达式 2分 T的数值 1分 ______ 共计10分
题3设热气球具有不变的容积VB=1.13。气球蒙皮体积同VB相比可略去不计，其质mH=0.187。在外界气温t1=20℃、正常外界气压p0=1.013的条件下，气球开始升空。此时外界空气的密度ρ1=1.2/m3。
(a)气球内部的热空气的温度t2应为多少才能使气球恰好浮起(b)先把气球系牢在地上，并把内部的空气加热到稳定温度，t3=110℃。它被释放升空时的初始速度a等于多少(不考虑空气的阻力)。
(c)设气球下端被系住(气球内部空气密度保持不变)。在内部空气保持稳定温度t3=110℃的情况下，气球升入地面压强p0=1.013的20℃的等温大气层中。在这些条件下，气球能上升到的高度h是多少?
(d)在上升到问题(c)中的高度h时，把气球拉离平衡位置10，然后再予以释放。试定性地推理气球将作何种运动。
〔解〕(a)气球恰好浮起的条件为：气球总质量(包括气球蒙皮质量mH和温度t2的内部空气质量)必须等于被排开的温度为t1=20℃的空气的质量：
mt2+mH=mt1(1)
又m=ρV(2)
将(2)代入(1)，有
VBρ2+mH=VBρ1(3)
和ρ2=ρ1-mH/VB(3a)
代入数据，得ρ2=1.03千克/米3(3b)再应用公式
=(4)
有T2=.T1(4a)
代入数据得
T2=×293.15=341.53(K)(4b)
即t2=68.38℃(4c)
(b)绳所受拉力FB等于浮力FA同重力FG之差：
FB=FA-FG(1)
浮力的计算式是
FA=m1g(2)
其中m1=ρ1VB(3)为被排开的密度为ρ1的空气的质量，g为重力加速度。对于重力，有
FG=m2g(4)
式中的m2是温度t3=110℃时密度为ρ3的气球内部空气质量与蒙皮质量mH之和：
m2=ρ3VB+mH(5)
把(2)和(4)代入(1)，并考虑(3)和(5)有
FB=(VBρ1)g-(VBρ3+mH)g
或FB=〔(ρ1-ρ3)VB-mH〕g(6)
由=得
ρ3=ρ1=1.2×=0.918千克/米3(7a)
将ρ3及其它数据代入(1)，得到所求的作用在绳上的力
F绳=1.2牛顿(7b)
则初始加速度
a==1.002(米/秒2)
(C)气球升至高度h时，外部空气的密度ρh与有效密度ρ有效相等。
可以从气球内部温度t3=110℃的空气的有效质量和蒙皮质量mH，用问题(b)的式(5)求出ρ有效：
ρ3VR+mH=m2
由此得到
ρ有效==1.088(千克/米3)(1a)
我们必须有
ρ有效=ρh(1b)
要求出高度h同密度ρh(以及别的已知量)之间的关系，可以应用气压测高公式ρh=ρ1.exp(-gh)(2)
从(2)对h求解，有
h=In(3)
将已知及已求出的各数值代入上式，得
h=In=843.14米(3a)
关于气压测高公式的注释：这个公式的一般形式是
p0(h)=p0e-ρ0gh/p0
由于关系式
很容易得到方程(2)的形式。如果不熟悉这个公式，也可推导如下(图13-6)：
｜｜-｜｜=ρ.A.△h.g｜△p｜==ρ.g.△h△p=-ρ.g.△h=-ρ.g
且由于
我们有p′(h)=-g.p(h)这个微分方程的解是
p(h)=p0e-ρ0gh/p0
(d)当高度变化甚小(10米相对于834米来说)时，随高度的增大而按
指数规律变化的压强下降，可近似地看成是高度的线性函数。因此驱动力同偏离平衡位置的位移成正比。于是，在这种条件下，将产生简谐振动的结果。当然，振动将受到空气阻力的阻尼作用。
〔评分标准〕
(a) (3) 1分 (3b) 1/4分 (4) 1.5分 (4b) 1/4分 共3分 (b) (1) 0.5分 (7) 0.5分 (8a) 0.5分 (8b) 0.5分 共2分
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