2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何
一、选择题
．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
B． C． D．
【答案】A
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （）
A．若,,,则 B．若,,,则C．若,,,则 D．若,,,则
【答案】D
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为 （）
A． B． C． D．
【答案】C
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 B． C． D．
【答案】A
．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （）
A． B． C． D．
【答案】A
．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （）
A． B． C． D．
【答案】C
．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （）
A． B． C． D．
【答案】C
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
（）
A． B． C． D．
【答案】B
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则 （）
A．,且 B．,且
C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于
【答案】D
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 B． C． D．
【答案】B
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题图所示,则该几何体的体积为 （）
A． B． C． D．
【答案】C
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 B． C． D．
【答案】C
．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为
B． C． D．
【答案】A
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中,不是公理的是平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则 （）
A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为
C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为
【答案】A
．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是
【答案】D
二、填空题
．（2013年高考上海卷（理））在平面上,将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________
【答案】.
．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,,且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于______.
【答案】
．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则____________.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________.
【答案】24
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).
①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为.
【答案】①②③⑤
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________
【答案】
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体中,异面直线与所成角的大小为_______
【答案】
三、解答题
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.
【答案】
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面所成的角为60°.
(Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面;(Ⅱ)求.【答案】解:(Ⅰ).
所以,.(Ⅱ).
.
.
法二:
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点,点在线段上,且.
(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.
【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;
方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以,
在中,,所以在中,,所以在中
;
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积.
【答案】[解]因为.所以为异面直线与.所成的角,即=.在Rt中,,从而,因此该三棱柱的体积为.
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:(1)平面平面;(2).
【答案】证明:(1)∵,∴F分别是SB的中点∵E.F分别是SA.SB的中点∴EF∥AB又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC同理:FG∥平面ABC又∵EFFG=F,EF.FG平面ABC∴平面平面(2)∵平面平面平面平面=BCAF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC又∵BC平面SBC∴AF⊥BC
又∵,ABAF=A,AB.AF平面SAB∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA
．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故,故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得而中,,故所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为.
．（2013年高考湖北卷（理））如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,,分别是,的中点.(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.
【答案】解:(I),,
又(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)在图1中,易得
连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.
【答案】
．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),
设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为
．（2013年高考陕西卷（理））如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.
(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
【答案】解:(Ⅰ);又因为,在正方形ABCD中,.在正方形ABCD中,AO=1..[来源:学_科_网].(证毕)(Ⅱ)建立直角坐标系统,使用向量解题.以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则.
由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为
．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥中,,,连接并延长交于.(1) 求证:;(2) 求平面 与平面的夹角的余弦值.
【答案】解:(1)在中,因为是的中点,所以,
故,
因为,所以,
从而有,
故,又因为所以∥.
又平面,
所以故平面.
(3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则,
(4)
,故
设平面的法向量,则,
解得,即.
设平面的法向量,则,解得,
即.从而平面与平面的夹角的余弦值为.
．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段的中点.[来源:学,科,网](Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值.
【答案】解:如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,
在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,//平面.由已知,,是的中点,所以,,则直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为).设,则由,,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中,;在中,.从而,,,所以.所以.故二面角的余弦值为解法二:设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).
则,.因为为的中点,所以分别为的中点,故,所以,,.设平面的一个法向量为,则即故有
从而取,则,所以.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点(1)求异面直线与所成角的余弦值(2)求平面与所成二面角的正弦值.
【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系,
则,,,,∴,
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为(2)是平面的的一个法向量设平面的法向量为,∵,由∴取,得,∴平面的法向量为设平面与所成二面角为∴,得∴平面与所成二面角的正弦值为
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明:(II)求二面角的大小.
【答案】
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正视图
俯视图
侧视图
第5题图
4
3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
（第12题图）
D1
C1
B1
A1
D
C
A
B
A
B
C
D
P
Q
M
（第20题图）
B1
A1
C1
A
C
B
第19题图
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
C
D
O
B
E
H
C
D
O
x
E
向量法图
y
z
B
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