判别模型、生成模型与朴素贝叶斯方法
JerryLead
csxulijie@gmail.com
2011年3月5日星期六
1判别模型与生成模型
上篇报告中提到的回归模型是判别模型，也就是根据特征值来求结果的概率。形式化表
示为??(??|??;??)，在参数??确定的情况下，求解条件概率??(??|??)。通俗的解释为在给定特征后
预测结果出现的概率。
比如说要确定一只羊是山羊还是绵羊，用判别模型的方法是先从历史数据中学习到模型，
然后通过提取这只羊的特征来预测出这只羊是山羊的概率，是绵羊的概率。换一种思路，我
们可以根据山羊的特征首先学习出一个山羊模型，然后根据绵羊的特征学习出一个绵羊模型。
然后从这只羊中提取特征，放到山羊模型中看概率是多少，再放到绵羊模型中看概率是多少，
哪个大就是哪个。形式化表示为求??(??|y)（也包括??(??)），y是模型结果，x是特征。
利用贝叶斯公式发现两个模型的统一性：
由于我们关注的是y的离散值结果中哪个概率大（比如山羊概率和绵羊概率哪个大），
而并不是关心具体的概率，因此上式改写为：
其中??(??|y)称为后验概率，??(??)称为先验概率。
由??(??|y)???(??)=??(??,??)，因此有时称判别模型求的是条件概率，生成模型求的是联
合概率。
常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件
随机场、神经网络等。
常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted
BoltzmannMachine等。
这篇博客较为详细地介绍了两个模型：
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=248173&do=blog&id=227964
2高斯判别分析（Gaussiandiscriminantanalysis）
1）多值正态分布
多变量正态分布描述的是n维随机变量的分布情况，这里的μ变成了向量，σ也变成了
矩阵Σ。写作??(??,??)。假设有n个随机变量??1,??2,…,????。μ的第i个分量是E(X??)，而
Σii=Var(????)，Σij=Cov(????,????)。
概率密度函数如下：
其中|Σ|是Σ的行列式，Σ是协方差矩阵，而且是对称半正定的。
当μ是二维的时候可以如下图表示：
其中μ决定中心位置，Σ决定投影椭圆的朝向和大小。
如下图：
对应的Σ都不同。
2）模型分析与应用
如果输入特征x是连续型随机变量，那么可以使用高斯判别分析模型来确定p(x|y)。
模型如下：
输出结果服从伯努利分布，在给定模型下特征符合多值高斯分布。通俗地讲，在山
羊模型下，它的胡须长度，角大小，毛长度等连续型变量符合高斯分布，他们组成
的特征向量符合多值高斯分布。
这样，可以给出概率密度函数：
最大似然估计如下：
注意这里的参数有两个μ，表示在不同的结果模型下，特征均值不同，但我们假设
协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同，但形状相同。这样就可以用
直线来进行分隔判别。
求导后，得到参数估计公式：
Φ是训练样本中结果y=1占有的比例。
μ0是y=0的样本中特征均值。
μ1是y=1的样本中特征均值。
Σ是样本特征方差均值。
如前面所述，在图上表示为：
直线两边的y值不同，但协方差矩阵相同，因此形状相同。μ不同，因此位置不同。
3）高斯判别分析（GDA）与logistic回归的关系
将GDA用条件概率方式来表述的话，如下：
y是x的函数，其中都是参数。
进一步推导出
这里的θ是的函数。
这个形式就是logistic回归的形式。
也就是说如果p(x|y)符合多元高斯分布，那么p(y|x)符合logistic回归模型。反之，
不成立。为什么反过来不成立呢？因为GDA有着更强的假设条件和约束。
如果认定训练数据满足多元高斯分布，那么GDA能够在训练集上是最好的模型。然
而，我们往往事先不知道训练数据满足什么样的分布，不能做很强的假设。Logistic
回归的条件假设要弱于GDA，因此更多的时候采用logistic回归的方法。
例如，训练数据满足泊松分布，
，那么p(y|x)也是logistic回归的。这个时候
如果采用GDA，那么效果会比较差，因为训练数据特征的分布不是多元高斯分布，
而是泊松分布。
这也是logistic回归用的更多的原因。
3朴素贝叶斯模型
在GDA中，我们要求特征向量x是连续实数向量。如果x是离散值的话，可以考虑采
用朴素贝叶斯的分类方法。
假如要分类垃圾邮件和正常邮件。分类邮件是文本分类的一种应用。
假设采用最简单的特征描述方法，首先找一部英语词典，将里面的单词全部列出来。然
后将每封邮件表示成一个向量，向量中每一维都是字典中的一个词的0/1值，1表示该词在
邮件中出现，0表示未出现。
比如一封邮件中出现了“a”和“buy”，没有出现“aardvark”、“aardwolf”和“zygmurgy”，
那么可以形式化表示为：
假设字典中总共有5000个词，那么x是5000维的。这时候如果要建立多项式分布模型
（二项分布的扩展）。
多项式分布（multinomialdistribution）
某随机实验如果有k个可能结局A1，A2，…，Ak，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，
那么在N次采样的总结果中，A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件
的出现概率P有下面公式：（Xi代表出现ni次）
对应到上面的问题上来，把每封邮件当做一次随机试验，那么结果的可能性有25000种。意
味着pi有25000个，参数太多，不可能用来建模。
换种思路，我们要求的是p(y|x)，根据生成模型定义我们可以求p(x|y)和p(y)。假设x
中的特征是条件独立的。这个称作朴素贝叶斯假设。如果一封邮件是垃圾邮件（y=1），且这
封邮件出现词“buy”与这封邮件是否出现“price”无关，那么“buy”和“price”之间是
条件独立的。
形式化表示为，（如果给定Z的情况下，X和Y条件独立）：
??(??|??)=??(??|??,??)
也可以表示为：
??(??,??|??)=??(??|??)??(??|??)
回到问题中
这个与NLP中的n元语法模型有点类似，这里相当于unigram。
这里我们发现朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设，“buy”从通常上讲与“price”是有
关系，我们这里假设的是条件独立。（注意条件独立和独立是不一样的）
建立形式化的模型表示：
??i|y=1=??(????=1|??=1)
??i|y=0=??(????=0|??=1)
??y=??(??=1)
那么我们想要的是模型在训练数据上概率积能够最大，即最大似然估计如下：
注意这里是联合概率分布积最大，说明朴素贝叶斯是生成模型。
求解得：
最后一个式子是表示y=1的样本数占全部样本数的比例，前两个表示在y=1或0的样本
中，特征Xj=1的比例。
然而我们要求的是
实际是求出分子即可，分母对y=1和y=0都一样。
当然，朴素贝叶斯方法可以扩展到x和y都有多个离散值的情况。对于特征是连续值的
情况，我们也可以采用分段的方法来将连续值转化为离散值。具体怎么转化能够最优，
我们可以采用信息增益的度量方法来确定（参见Mitchell的《机器学习》决策树那一章）。
比如房子大小可以如下划分成离散值：
4拉普拉斯平滑
朴素贝叶斯方法有个致命的缺点就是对数据稀疏问题过于敏感。
比如前面提到的邮件分类，现在新来了一封邮件，邮件标题是“NIPScallforpapers”。
我们使用更大的网络词典（词的数目由5000变为35000）来分类，假设NIPS这个词在字典
中的位置是35000。然而NIPS这个词没有在训练数据中出现过，这封邮件第一次出现了NIPS。
那我们算概率的时候如下：
由于NIPS在以前的不管是垃圾邮件还是正常邮件都没出现过，那么结果只能是0了。
显然最终的条件概率也是0。
原因就是我们的特征概率条件独立，使用的是相乘的方式来得到结果。
为了解决这个问题，我们打算给未出现特征值，赋予一个“小”的值而不是0。
具体平滑方法如下：
假设离散型随机变量z有{1,2,…,k}个值，我们用Φ??=p(z=i)来表示每个值的概率。假
设有m个训练样本中，z的观察值是其中每一个观察值对应k个值中的
一个。那么根据原来的估计方法可以得到
说白了就是z=j出现的比例。
拉普拉斯平滑法将每个k值出现次数事先都加1，通俗讲就是假设他们都出现过一次。
那么修改后的表达式为：
每个z=j的分子都加1，分母加k。可见。
这个有点像NLP里面的加一平滑法，当然还有n多平滑法了，这里不再详述。
回到邮件分类的问题，修改后的公式为：
5文本分类的事件模型
回想一下我们刚刚使用的用于文本分类的朴素贝叶斯模型，这个模型称作多值伯努利事
件模型（multi-variateBernoullieventmodel）。在这个模型中，我们首先随机选定了邮件的类
型（垃圾或者普通邮件，也就是p(y)），然后一个人翻阅词典，从第一个词到最后一个词，
随机决定一个词是否要在邮件中出现，出现标示为1，否则标示为0。然后将出现的词组成
一封邮件。决定一个词是否出现依照概率p(xi|y)。那么这封邮件的概率可以标示为
。
让我们换一个思路，这次我们不先从词典入手，而是选择从邮件入手。让i表示邮件中
的第i个词，xi表示这个词在字典中的位置，那么xi取值范围为{1,2,…|V|}，|V|是字典中词
的数目。这样一封邮件可以表示成，n可以变化，因为每封邮件的词的
个数不同。然后我们对于每个xi随机从|V|个值中取一个，这样就形成了一封邮件。这相当
于重复投掷|V|面的骰子，将观察值记录下来就形成了一封邮件。当然每个面的概率服从
p(xi|y)，而且每次试验条件独立。这样我们得到的邮件概率是。居然
跟上面的一样，那么不同点在哪呢？注意第一个的n是字典中的全部的词，下面这个n是邮
件中的词个数。上面xi表示一个词是否出现，只有0和1两个值，两者概率和为1。下面的
xi表示|V|中的一个值，|V|个p(xi|y)相加和为1。是多值二项分布模型。上面的x向量都是
0/1值，下面的x的向量都是字典中的位置。
形式化表示为：
m个训练样本表示为：
表示第i个样本中，共有ni个词，每个词在字典中的编号为。
那么我们仍然按照朴素贝叶斯的方法求得最大似然估计概率为
解得，
与以前的式子相比，分母多了个ni，分子由0/1变成了k。
举个例子：
X1X2X3Y
12-1
21-0
1320
3331
假如邮件中只有a，b，c这三词，他们在词典的位置分别是1,2,3，前两封邮件都只有2
个词，后两封有3个词。
Y=1是垃圾邮件。
那么，
Φ1|??=1=1+02+3=15，Φ2|??=1=15，Φ3|??=1=35
Φ1|y=0=2+02+3=25，Φ2|y=0=25，Φ3|y=0=15
Φ??=1=12，Φ??=0=12
假如新来一封邮件为b，c那么特征表示为{2,3}。
那么
P(y=1|x)=??(??,??=1)??(??)=??(??=2,3+|??=1)??(??=1)??(??=2,3+)
=Φ2|??=1Φ3|??=1Φ??=1Φ
2|??=1Φ3|??=1Φ??=1+Φ2|??=0Φ3|??=0Φ??=0
=0.2?0.6?0.50.2?0.6?0.5+0.4?0.2?0.5=0.6
那么该邮件是垃圾邮件概率是0.6。
注意这个公式与朴素贝叶斯的不同在于这里针对整体样本求的????|??=1，而朴素贝叶斯里
面针对每个特征求的??xj=1|??=1，而且这里的特征值维度是参差不齐的。
这里如果假如拉普拉斯平滑，得到公式为：
表示每个k值至少发生过一次。
另外朴素贝叶斯虽然有时候不是最好的分类方法，但它简单有效，而且速度快。
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