2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合A={x}，B={x}}，则AB=
（A）{x}（B）{x} （C）{x} （D）{x}
（2）为虚数单位，
（A）0 （B）2 （C） （D）4
（3）已知向量，，，则
（A） （B） （C）6 （D）12
（4）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为
（A）n∈N，2n≤1000（B）n∈N，2n＞1000
（C）n∈N，2n≤1000（D）n∈N，2n＜1000
（5）若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为
（A）2（B）4（C）8（D）16（6）若函数为奇函数，则a=
（A）（B）（C）（D）1
（7）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为
（A） （B）1 （C） （D）
（8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是
（A）4（B）（C）2（D）
（9）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是
（A）8
（B）5
（C）3
（D）2
（10）已知球的直径SC=4，．A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为
（A）（B）
（C）（D）
（11）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为
（A）（，1） （B）（，+） （C）（，） （D）（，+）
（12）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则
（A）2+（B）
（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．
（14）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．
（15）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．
（16）已知函数有零点，则的取值范围是___________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a．
（I）求；
（II）若c2=b2+a2，求B．
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
（19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．
（20）（本小题满分12分）
设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.
（I）求a，b的值；
（II）证明：≤2x-2．
（21）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数=|x-2|x-5|．
（I）证明：≤≤3；
（II）求不等式≥x2x+15的解集．
（辽宁卷）参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数，选择题不给中间分.
一、选择题
1—5DADAB6—10ACBCC11—12BB
二、填空题
13．
14．0.254
15．—1
16．
三、解答题
17．解：（I）由正弦定理得，，即
故………………6分
（II）由余弦定理和
由（I）知故
可得…………12分
18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ.………………6分
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，
令事件A=“第一大块地都种品种甲”.
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.
而事件A包含1个基本事件：（1，2）.
所以………………6分
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
20．解：（I）…………2分
由已知条件得
解得………………5分
（II），由（I）知
设则
而………………12分
21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得
………………4分
当表示A，B的纵坐标，可知
………………6分
（II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
解得
因为
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；
当时，存在直线l使得BO//AN.………………12分
22．解：
（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CD//AB.…………5分
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆…………10分
23．解：
（I）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为…………10分
24．解：
（I）
当
所以………………5分
（II）由（I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.
综上，不等式…………10分（辽宁卷）.选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、(2011?辽宁)已知集合A{x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}则A∩B=()
A、{x|﹣1＜x＜2} B、{x|x＞﹣1}
C、{x﹣1＜x＜1} D、{x|1＜x＜2}
考点：交集及其运算。
专题：计算题。
分析：利用交集的定义：由所有的属于两个集合的公共元素组成的集合；求出交集．
解答：解：∵A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B={x|1＜x＜2}
故选D
点评：本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义，求出集合的交集、并集、补集．
2、(2011?辽宁)i为虚数单位，=()
A、0 B、2i
C、﹣2i D、4i
考点：虚数单位i及其性质。
专题：计算题。
分析：直接利用i的幂运算，化简表达式即可得到结果．
解答：解：==0
故选A．
点评：本题是基础题，考查复数的基本运算，i的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型．
3、(2011?辽宁)已知向量=(2，1)，=(﹣1，k)，?(2﹣)=0，则k=()
A、﹣12 B、﹣6
C、6 D、12
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系。
分析：利用向量的数量积个数求出；再利用向量的运算律将已知等式展开，将的值代入，求出k的值．
解答：解：∵
∴
∵
即
10﹣k+2=0
解得k=12
故选D
点评：本题考查向量的坐标形式的数量积公式、考查向量的分配律．
4、(2011?辽宁)已知命题p：?n∈N，2n＞1000，则￢p为()
A、?n∈N，2n≤1000 B、?n∈N，2n＞1000
C、：?n∈N，2n≤1000 D、：?n∈N，2n＜1000
考点：命题的否定。
专题：综合题。
分析：利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．
解答：解：∵命题p：?n∈N，2n＞1000，
则￢p为?n∈N，2n≤1000
故选A
点评：本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可．
5、(2011?辽宁)若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为()
A、2 B、4C、8 D、16
考点：等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2，得到第2项与第3项的积为256，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．
解答：解：当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，
②÷①得：=16，即q2=16，解得q=4或q=﹣4，
当q=﹣4时，由①得：a12×(﹣4)=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，
则公比q=4．
故选B
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．学生在求出q的值后，要经过判断得到满足题意的q的值，即把q=﹣4舍去．
6、(2011?辽宁)若函数为奇函数，则a=()
A、 B、C、 D、1
考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：利用奇函数的定义得到f(﹣1)=﹣f(1)，列出方程求出a．
解答：解：∵f(x)为奇函数
∴f(﹣1)=﹣f(1)
∴=
∴1+a=3(1﹣a)
解得a=
故选A
点评：本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f(﹣x)=﹣f(x)成立．
7、(2011?辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()
A、 B、1
C、 D、
考点：抛物线的定义。
专题：计算题。
分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．
解答：解：∵F是抛物线y2=x的焦点
F()准线方程x=
设A(x1，y1)B(x2，y2)
∴|AF|+|BF|==3
解得
∴线段AB的中点横坐标为
∴线段AB的中点到y轴的距离为
故选C
点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
8、(2011?辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是()
A、4 B、
C、2 D、
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，然后求出左视图矩形的长和宽，即可求出面积．
解答：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，设高为：x，所以，x=2，
左视图的矩形长为：2，宽为：；矩形的面积为：2
故选B
点评：本题是基础题，考查正三棱柱的左视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
9、(2011?辽宁)执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()
A、8 B、5C、3 D、2
考点：循环结构。
专题：图表型。
分析：根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依次类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．
解答：解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3
故选：C
点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
10、(2011?辽宁)己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为()
A、 B、 C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体。
专题：计算题。
分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．
解答：解：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以球心O与AB的平面与SC垂直，则
所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．
故选C．
点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．
11、(2011?辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(﹣1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为()
A、(﹣1，1) B、(﹣1，+∞)
C、(﹣∞，﹣l) D、(﹣∞，+∞)
考点：其他不等式的解法。
专题：函数思想。
分析：把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F(x)构成一个函数，把x=﹣1代入F(x)中，由f(﹣1)=2出F(﹣1)的值，然后求出F(x)的导函数，根据f′(x)＞2，得到导函数大于0即得到F(x)在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
解答：解：设F(x)=f(x)﹣(2x+4)，
则F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0，
又对任意x∈R，f′(x)＞2，所以F′(x)=f′(x)﹣2＞0，
即F(x)在R上单调递增，
则F(x)＞0的解集为(﹣1，+∞)，
即f(x)＞2x+4的解集为(﹣1，+∞)．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．
12、(2011?辽宁)已知函数，y=f(x)的部分图象如图，则=()
A、 B、
C、 D、
考点：由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式。
专题：计算题。
分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据(0.1)确定φ的值，求出函数的解析式，然后求出即可．
解答：解：由题意可知A=1，T=，所以ω=2，函数的解析式为：f(x)=Atan(ωx+φ)(因为函数过(0，1)，所以，1=tanφ，所以φ=，
所以f(x)=tan(2x+)则f()=tan()=
故选B
点评：本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)
13、(2011?辽宁)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上．则C的方程为(x﹣2)2+y2=10．
考点：圆的标准方程。
专题：计算题。
分析：根据题意可知线段AB为圆C的一条弦，根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，又因为圆心在x轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
解答：解：由A(5，1)，B(1，3)，
得到直线AB的方程为：y﹣3=(x﹣1)，即x+2y﹣7=0，
则直线AB的斜率为﹣，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，
又设线段AB的中点为D，则D的坐标为(，)即(3，2)，
所以线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=2(x﹣3)即2x﹣y﹣4=0，
令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为(2，0)，
而圆的半径r=|AC|==，
综上，圆C的方程为：(x﹣2)2+y2=10．
故答案为：(x﹣2)2+y2=10
点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．
14、(2011?辽宁)调查了某地若干户家庭的年收x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
考点：线性回归方程。
专题：计算题。
分析：写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．
解答：解：∵对x的回归直线方程．
∴=0.254(x+1)+0.321，
∴﹣=0.254(x+1)+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254，
故答案为：0.254
点评：本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．
15、(2011?辽宁)Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1则a5=﹣1．
考点：等差数列的性质。
专题：计算题。
分析：由S2=S6，a4=1，先求出首项和公差，然后再求a5的值．
解答：解：由题设知，
∴a1=7，d=﹣2，
a5=7+4×(﹣2)=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
16、(2011?辽宁)已知函数f(x)=ex﹣2x+a有零点，则a的取值范围是(﹣∞，2ln2﹣2]．
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零(或函数的最小值小于或等于零)得出a的取值范围．
解答：解：f/(x)=ex﹣2，可得f/(x)=0的根为x0=ln2
当x＜ln2时，f/(x)＜0，可得函数在区间(﹣∞，ln2)上为减函数；
当x＞ln2时，f/(x)＞0，可得函数在区间(ln2，+∞)上为增函数，
∴函数y=f(x)在x=ln2处取得极小值f(ln2)=2﹣2ln2+a，
并且这个极小值也是函数的最小值，
由题设知函数y=f(x)的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，
故答案为：(﹣∞，2ln2﹣2]．
点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．
三、解答题(共8小题，共70分请在笫22-24三题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题记分)
17、(2011?辽宁)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若C2=b2+a2，求B．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：(Ⅰ)先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．
(Ⅱ)把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把(Ⅰ)中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．
解答：解：(Ⅰ)由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB(sin2A+sin2B)=sinA
∴sinB=sinA，=
(Ⅱ)由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=
由(Ⅰ)知b2=2a2，故c2=(2+)a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
18、(2011?辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD．
(Ⅰ)证明PQ⊥平面DCQ；
(Ⅱ)求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题；证明题。
分析：(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；
(Ⅱ)利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．
解答：解：(I)由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
(Ⅱ)设AB=a，
由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积
由(Ⅰ)知PQ为棱锥P﹣DCQ的高而PQ=．△DCQ的面积为．
所以棱锥P﹣DCQ的体积
故棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l．
点评：本题考查空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几何计算知识．
19、(2011?辽宁)某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中．随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙
(Ⅰ)假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率：
(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块．即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg/hm2)如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2…xn的样本方差S2=[(x1﹣)]2+…+(xn﹣)2]，其中为样本平均数．
考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式。
专题：计算题；综合题。
分析：(I)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个，满足条件的事件是第一大块地都种品种甲，根据古典概型概率公式得到结果．
(II)首先做出两个品种的每公顷产量的样本平均数和样本方差，把两个品种的平均数和方差进行比较，得到乙的平均数大，乙的方差比较小，得到结果．
解答：解：(I)由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是设第一大块地中的两小块地编号为1，2．
第二大块地中的两小块地编号为3，4
令事件A=“第一大块地都种品种甲”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个
(1，2)，(1，3)，(1.4)，(2，3)．(2，4)．(3，4)
而事件A包含l个基本事件：(1，2)
∴P(A)=
(Ⅱ)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为
由以上结果可以看出．品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数．
且两品种的样本方差相等．
故应该选择种植品种乙
点评：本题考查古典概型的概率公式，考查利用列举法得到事件数，考查两组数据的平均数和方差的大小比较，考查平均数和方差的意义，是一个比较简单的综合题目．
20、(2011?辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线，y=f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线率为2．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)证明：f(x)≤2x﹣2．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题：证明题；综合题。
分析：(Ⅰ)救出函数的导数，再利用f(1)=0以及f/(1)=2建立方程组，联解可得a，b的值；
(Ⅱ)转化为证明函数y=f(x)﹣(2x﹣2)的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．
解答：解：
(Ⅰ)，
由已知条件得：，即
解之得：a=﹣1，b=3
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0，+∞)，由(Ⅰ)知f(x)=x﹣x2+3lnx，
设g(x)=f(x)﹣(2x﹣2)=2﹣x﹣x2+3lnx，则
=
当时0＜x＜1，g/(x)＞0；当x＞1时，g/(x)＜0
所以在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
即当x＞0时，函数g(x)≤0
∴f(x)≤2x﹣2在(0，+∞)上恒成立
点评：本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题．
21、(2011?辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．
(Ⅰ)e=，求|BC|与|AD|的比值；
(Ⅱ)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
考点：圆锥曲线的综合。
专题：计算题；综合题。
分析：(Ⅰ)先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；
(Ⅱ)BD∥AN，即是BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．
解答：解：(I)因为C1，C2的离心率相同，
故依题意可设，
设直线l：x=t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，
求得，(4分)
当，，分别用yA，yB表示的A，B的纵坐标，
可知(6分)
(Ⅱ)t=0时的l不符合题意，t≠0时，
BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即
解得
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以，解得
所以当时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当时，存在直线l，使得BO∥AN．
点评：本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．
22、(2011?辽宁)如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
(Ⅰ)证明：CD∥AB；
(Ⅱ)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EH，证明：A、B、G、F四点共圆．
考点：圆內接多边形的性质与判定。
专题：证明题。
分析：(I)根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．
(II)根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．
解答：解：(I)因为EC=ED，
所以∠EDC=∠ECD
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA
故∠ECD=∠EBA，
所以CD∥AB
(Ⅱ)由(I)知，AE=BE，
因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四点共圆
点评：本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．
23、(2011?辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．
(I)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(II)设当a=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
考点：参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合。
分析：(I)有曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)，消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合，求出α及b．
(II)利用C1，C2的普通方程，当a=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．
解答：解：(Ⅰ)C1是圆，C2是椭圆．
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(α，0)，
因为这两点间的距离为2，所以α=3
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)(0，b)，
因为这两点重合
所以b=15．
(Ⅱ)C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，
与C2交点B1的横坐标为．
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，
B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为．
点评：此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．
24、(2011?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|
(Ⅰ)证明：﹣3≤f(x)≤3；
(Ⅱ)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集．
考点：绝对值不等式的解法。
专题：计算题；分类讨论。
分析：(Ⅰ)分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f(x)=，然后即可证明﹣3≤f(x)≤3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f(x)≥x2﹣8x+15的解集．
解答：解：(Ⅰ)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=
当2＜x＜5时，﹣3≤2x﹣7≤3
所以，﹣3≤f(x)≤3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
当x≤2时，f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤5}
当x≥5时，f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}
点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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