祖沖之算出π之疏率22÷7及密率355÷113之法﹝附王蕃π = 142÷5及張衡π = 736÷232算出之法

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祖沖之算出π之疏率22/7及密率

355/113之法﹝附王蕃π=142/5及張衡

π=736/232算出之法﹞



TheCalculationsof22/7and355/113bythe

MethodsofZǔChōngZhī

上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112

何世強HoSaiKeung

Abstract:Thisarticleshowshow722and113355werecalculatedbyZǔChōngZhīin

ancientChina.Inmodernmathematics,themethodheusedisknown

as‘ParallelgramLaw’.



提要：祖沖之以“分數逼近法”求出π之“疏率”為22/7及其“密率”為

355/113。亦以此法求王蕃及張衡之π。

關鍵詞：祖沖之、疏率722、密率113355、王蕃、45142、張衡、232736。







第1節“疏率”與“密率”算出之法





π之近似值是722，當圓之直徑已知，乘以π即得圓周之長度；而圓半徑自

乘再乘以π則得圓之面積。π一般稱為“圓周率”，其值為3.141592…。

π是一個超越數，其小數位既不盡，又不循環，又非根號型之無理數，此乃

π奇妙之處。現代用計算機可算出π上億之小數位，不過其實用價值不高。

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我國古代數學家不用小數，為了方便計算圓之周長和面積，π有一個常用之

近似值722。我國古代722稱為“疏率”，另外一個分數113355比722更為精確，稱

為“密率”。“疏率”和“密率”皆由著名數學家祖沖之求得。一般人認識較深

者為722之“疏率”；所謂“疏”，粗疏之意；而“密”則有精密之意。113355之

“密率”較少人採用，而事實上，知者亦不多。

祖沖之，魏晉南北朝時南朝范陽薊人，字文遠。精通算學和曆法，曾造“千

里船”及“水碓磨”。官至長水校尉。其子祖暅亦為數學家。

求π和計算π是一件複雜之事，不過計算π之近似值722則不複雜。

祖沖之先以劉徽之“割圓術”求出π之較為精確值為3.141592﹝本文不討

論割圓術﹞，因古人不用小數，亦無此概念，若3.141592之單位為尺，則可寫

成3尺1寸4分1釐5毫9絲﹝或秒﹞2忽，此概念相當於3.141592尺。其實單

位並不重要，只要知3以下尚有141592，而此數乃按3以下之單位細分即可。

其實“疏率”和“密率”皆可由“分數逼近法”求出，相信祖沖之亦是以此

法求出其疏率與密率。其法是首先要知道π之較為精確值為3.141592，然後以兩

個分數﹝一個比π大，另外一個比π小。如果是整數，則當作是一個分母為1

之分數﹞之分子和分母分別相加後所生成之新分數來逼近，下面說明722算出來

之法。若果符號⊕表示兩個分數之分子和分母分別相加，則

ab⊕cd=cadb??。

因為3.141592介於3與4之間，於是π之第一次逼近可以寫成下列等式：

13⊕14=27=3.5。因為π介於3與27之間，於是π之第二次逼近可以寫

成下列等式：

13⊕27=310=3.3333….。π介於3與310之間，於是π之第三次逼近可

以寫成下列等式：

13⊕310=413=3.25。應用相同之方法，π之第四次逼近為：

13⊕413=516=3.2。第五次逼近為：

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13⊕516=619=3.1667。第六次逼近為：

13⊕619=722=3.142857143。

從上面之結果可以看出，π之近似值由第一次之27而逐漸逼近至第六次之

722。不難發覺，每一次逼近，所形成之新分數會更為接近3.141592。將722化成

小數後可知，此乃頗佳之π近似值，可以稱為“第一近似值”，此乃祖沖之所稱

之“疏率”。注意以上之運算一直以3為下限。

如此以上之運算可否繼續而獲得更精確之分數？答案可以，不過，722後所

得之分數比722更為粗略，須要重新逼近一次才可得出一個更精確之分數，試看

下列之運算便可知原委。因為π介於3與722間，所以第七次逼近為（注意13在

前，722在後。其實⊕運算滿足交換律，其次序本無關，現強調13在前與722在

後表示小之分數在左，大者在右，此乃配合數目之位置及方便理解）：

13⊕722=825=3.1250。可見825比722更不精確。

因為π介於825與722間，所以第八次逼近為：

825⊕722=1547=3.1333。π介於1547與722間，第十次逼近為：

1547⊕722=2269=3.1364。由此類推，第十一次逼近為：

2269⊕722=2991=3.1379。第十二次逼近為：

2991⊕722=36113=3.1389。第十三次逼近為：

36113⊕722=43135=3.1395。第十四次逼近為：

43135⊕722=50157=3.1400。第十五次逼近為：

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50157⊕722=57179=3.1404。第十六次逼近為：

57179⊕722=64201=3.1406。第十七次逼近為：

64201⊕722=71223=3.1408。第十八次逼近為：

71223⊕722=78245=3.1410。第十九次逼近為：

78245⊕722=85267=3.1412。第二十次逼近為：

85267⊕722=92289=3.1413。第二十一次逼近為：

92289⊕722=99311=3.1414。第二十二次逼近為：

99311⊕722=106333=3.1415。第二十三次逼近為：

106333⊕722=113355=3.14159292﹝小數後八位數字﹞。

至此可以看到113355比722更精確，此乃祖沖之所稱之“密率”。注意以

上各式722一直處於上限。第二十四次逼近為：

722⊕113355=120377=3.14166667；顯然此數比113355更不精確，因此祖沖之

算至113355即止，成為π之“第二近似值”。第二十四次逼近時722處於下限。

當然可以進行第二十五、二十六、二十七…等次之逼近，直至找到另外一個

分數比113355更精確為止。這新之分數可以稱為“第三近似值”；亦可以有第四、

第五近似值。此步驟可以不斷重複，每逼近一次就產生一個新之近似值，此法可

準確至小數後多少位均可。

如果明白此逼近法之原理，即可知道祖沖之為何以722為疏率，以113355為密

率。

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其實不獨是π，任何小數（通常是指小數位太多之數）均可以以此方法來逼

近。

相信很多人會問：為何兩個分數之分子與分母各自相加後會逼近某一小數？

現在就談一談“分數逼近法”之原理。

如果明白何謂“矢量加法”或“平行四邊形加法”，即明白“分數逼近

法”。設一矢量OA為ai+bj，另一矢量OB為ci+dj，i與j分別為X軸與Y

軸單位，則：

OA+OB=ai+bj+ci+dj=(a+c)i+(b+d)j=OD。

BD







OA

平行四邊形加法圖

所謂“矢量加法”是指矢量OA與矢量OB分別成為平行四邊形OADB之兩

鄰邊，其和剛好是該平行四邊形OADB之對角線OD。這就是數學上之“矢量加

法”或“平行四邊形加法”﹝ParallelgramLaw﹞。

在“分數逼近法”中其原理也是差不多，若將OA寫成分數ab（即a為分母

而b為分子），而OB亦可寫成cd，則

OD=cadb??；這等價於前面所述之ab⊕cd=cadb??，換言之，“分數逼近

法”其實是“矢量加法”或“平行四邊形加法”之變化。今用第二次逼近“疏

率”之算式來說明這種加法：

13⊕27=310，這種加法等價於矢量加法：

(i+3j)+(2i+7j)=(1+2)i+(3+7)j=3i+10j。

此可用幾何圖表示如下（為方便說明，下圖不合比例，P點是i+πj，是須

要逼近之目標點）：





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D3i+10j



i+πj

P

i+3jB2i+7j

A





O



從圖3.2可看出，OD比OA或OB更為接近OP。又因為OP是介於OA

與OD之間，所以π之第三次逼近就是以OD與OA為鄰邊所生成之平行四邊

形之對角線OE（無顯示）。如果OP是介於OD與OB之間，則π之第三次

逼近就是以OD與OB為鄰邊所生成之平行四邊形之對角線OF，不過OF亦無

在上圖顯示。

若果OP是介於OA與OE之間，則π之第四次逼近就是以OE與OA

為鄰邊所生成之平行四邊形之對角線OG（亦無顯示）。步驟就是如此不斷重覆，

直至逼近OP某一精確值為止。

如此，經過多次逼近後，平行四邊形之對角線所成之矢量與X軸所成之正

切(tangent，即Y坐標除以X坐標)即是π之近似值。筆者再強調本文所說之

“逼近”乃指最終之平行四邊形之對角線與OP所成之角度是否接近，而不是對

角線之長度與OP長度之比較。

以下為分數逼近法之大要：

若不等式ba
不過dbca??可能比x更欠準確，如此則須要作多次逼近。而dbkcak??、dlbcla??及

dlbkclak??亦為x之逼近值，k與l為常數，但須注意結果是否比原數更差。若k與

l為1，即可得以上“疏率”與“密率”算出之法。但須注意x所處之區間。





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第2節東漢王蕃及張衡π算出之法





東漢王蕃以45142為π，此數值如何算出？若要了解此數之來源，現將第1節

分數逼近法之大要重述如下：

若不等式ba
確，從張衡之例即可知。而dbkcak??、dlbcla??及dlbkclak??亦為x之逼近值，k與l為

常數，亦可見之於張衡之例。

其實王蕃與張衡之π均可從第1節疏率及密率π之序列導出，從上節可知：

疏率π之第一次逼近為13⊕14=27=3.5，

第十三次逼近為36113⊕722=43135=3.1395，

若ba=43135及dc=27，k與l為1，則dbca??=2437135??=45142=3.156，此即為

王蕃之π。

因為3.1395<3.156<3.5，所以43135<45142<27。

東漢張衡以232736為π，此數值算出之法如下：

依舊取π之第一次逼近為13⊕14=27=3.5，

π之第五次逼近為：13⊕516=619=3.1667，此數最接近張衡之π，取619，

分子及分母各自乘以38，得228722，因為此分數最接近232736。

因27<π<619，即414<π<228722，故π之逼近值可取：

414⊕228722=228472214??=232736=3.172，此即為張衡之π。可惜232736比619更

欠準確。

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注意逼近值應寫成38622381927??????，以配合dlbkclak??之式。注意求張衡之232736之

法未必唯一﹝即另有他法求此數﹞

或問，如何証明分數逼近法乃祖沖之所用之法？筆者提出以下兩點來說明及

証明：

1.求得密率之法具數學邏輯性。

2.古時一向流行以分數逼近法求一近似值。

筆者舉出另外一例：漢太初曆規定一年為3651539385日﹝即365.25016日﹞，

一月為298143日﹝即29.530864日﹞，故又稱“八十一分律曆”。筆者首先指出，

298143一數與天文學完全無關，此乃數學題，並非天文學測量一月之日數精確題，

因為298143亦是以分數逼近法求出﹝可參閱筆者之〈漢《太初曆》“八十一分”

算出之法〉一文﹞，故可知漢、魏、晉、南北朝時均流行分數逼近法。

有人提出祖沖之以“連分數”法求得其“疏率”，筆者認為須要注意以下之

時代背景：

1.漢時已經難以表達帶分數，更無“連分數”之概念。

2.古人之分數依慣例不寫分母，只寫分子並稱之為“分”。故在特定之情

況下，分數之計算必須假設分母相同，若分母不同，則運算非常困難。

古人無擴分﹝分子與分母乘以相同之數﹞與約分﹝分子與分母除以相同之

數﹞之法，從張衡π之數232736可見一斑，顯然此數可約簡為2992。另一方面，連

分數涉及分數除法，此亦為當時之大難題，故以連分數法求疏率之可能性甚低。

因古人無擴分概念，但筆者計算東漢張衡之232736時涉及擴分，故筆者之計算

法，非張衡之原來計算法，其最大可能性為繼續以逼近法直至得到232736為止。