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九章算術之開方法
TheCalculationoftheSquareRootofaNumber
inthe‘Nine-ChapterMathematics’inHàn
Dynasty
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:Thisarticleshowshowthesquarerootofanumberwascalculatedin
ancientChina.
提要：本文指出《九章算術》中一數之平方根算出之法。
關鍵詞：《九章算術》、積、實、借算。
《九章算術》九卷，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。此書應經歷
代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。
《九章算術》共九章，分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。
其書負盛名之另一原因為劉徽為其作注。
清?乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。
其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》
引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其
形秘而約；張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同，云云。今考書有“長
安上林”之名，上林苑在武帝時，蒼在漢初，何緣預載？知述是書者，在西
漢中葉後矣。舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏?景元四年，劉徽
注《九章》，然注中所云晉武庫銅斛，則徽入晉之後，又有增損矣。又有注
釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經
十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三
歲，蓋即是時作也。
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有系統之講授《九章算術》及《海島算經》者，可能始自唐，然習者不多﹝只
三十人﹞，故算術在當時難以廣泛為人認識。
劉徽《九章算術》注原序曰：
按周公制禮，而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術
散壞，自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌，皆以善算命世，蒼等
因舊文之遺殘，各稱刪補，故校其目，則與古或異，而所論者多近語也。
依劉徽所云，《九章算術》先由張蒼（前256年至前152年），及耿壽昌二人
先作刪減增補，故多用“近語”，即接近劉徽時代之語調；但張蒼死於漢武帝之
前，故清代遂有“上林苑在武帝時，蒼在漢初，何緣預載？”之懷疑。魏景元四
年合公元263年，距張蒼約460年。耿壽昌乃漢宣帝時人，武帝之後，故“上林
苑”之說法可能由耿壽昌所增添。
《九章算術》中有所謂“開方”，即現代數學所言之開平方﹝求一數之平方
根﹞。
其法其實與現代數學所言之開平方法相若。因《九章算術》中有“開方圖”，
其圖表示一三位數之自乘。此相當於一正方形之一邊長a+b+c，繪成正方形後
可見大正方形由三個小正方形及四個長方形組成。
先看以下之平方展開式：
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+c2+2c(a+b)
=a2+b2+c2+2ab+2c(a+b)。
以上之展式可以以幾何圖表示。下二頁之“開方圖”即表示此法。此圖可
能由唐?李淳風所補。
以下為其基本步驟：
1.大正方形是為實，先估算出a，再從實減去a2，餘下一大曲尺形面積。
即(a+b+c)2–a2=b2+c2+2ab+2c(a+b)。
2.再估算出b，估算b之方法為解不等式：b2+2ab<(a+b+c)2–a2。
3.再從大曲尺形面積減去2ab及b2，最後餘下一小曲尺形面積。
4.再從小曲尺形面積估算出c。估算b之方法為解不等式：
2c(a+b)≤(a+b+c)2–a2–b2–2ab。
其他位數﹝多於三位﹞之數之開方法相若。以下為一般之籌算開方法﹝平方
根為三位數﹞，粗略可分成七步驟，若果平方根為四位數，則步驟增多，位數越
多，則其步驟越多。
古時以下之數目字以算籌代替。以下之商即為平方根之位，商1為百位，商
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2為十位，商3為個位。故所得之平方根應為a+b+c，為避免混淆，分成三列
書寫，在實際之籌算法可不必。
商3
商2b
商1aa
實NN–a2N–a2
算法a2a
借算111
(1)(2)(3)
商3
商2bb
商1aa
實N–a2–(2a+b)bN–a2–(2a+b)b
算法2a+b2a+b+b
借算11
(4)(5)
商3Cc
商2bb
商1aa
實N–a2–(2a+b)bN–a2–(2a+b)b–(2a+2b+c)c
算法2a+2b2a+2b+c
借算11
(6)(7)
以上之步驟可能不易明白，但參考以下之“開方圖”及開方實例則較為清
晰。
籌算開方法之圖(7)之實若果為0，即表示N乃為一完全平方數。若非0，則
非完全平方數，可依現代之列式算法算出所須之小數位。
以下為開方圖﹝平方根為三位數﹞：
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開方圖
設最大之正方形邊長為a+b+c，顯然：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2c(a+b)。等式之右方即為三個小正方形及
兩組長方形，如開方圖所示。
又從以上之開方圖可知，a2為方之黃甲冪，b2為隅之黃乙冪，c2為隅，ab
為廉之朱冪，共兩個，即2ab；c(a+b)為廉之青冪，共兩個，即2c(a+b)。其
總和即為(a+b+c)2。正方形之顏色為黃，第一個為甲，稱之為“方”；第二個
為乙，稱之為“隅”；以後之正方形皆稱之為“隅”，以丙、丁、戊…為識別。
最小之正方形稱為“隅”，不必加上天干。注意“冪”有面積之意。
若a為最大之位，在最右，則最少之位在最左，所形成之正方形則在最大
正方形之從右上角至左下角之對角線上，從大至小排列；最大在右上角，最小在
左下角，如上圖所示。
上圖之長方形，一橫一縱，面積皆相等，例如ab與c(a+b)，稱為“廉”，
以不同之顏色表示，ab為朱而c(a+b)為青。再有其他長方形則以其他顏色代表。
《九章算術》注曰：
注內稱黃甲冪者，即初商所除方冪。稱黃乙冪及兩朱冪者，即次商所除隅冪
及兩廉冪。稱兩青冪者，即三商所除兩廉冪。凡次商以後，皆有隅，有兩廉，
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故倍黃甲之面，為朱冪定袤，併黃甲及黃乙之面，倍之，為青冪定袤。
袤，長度也。青冪之袤，即c(a+b)之長度。
以上之注文若參閱開方圖則清晰。
第一步驟：先求黃甲冪。黃甲冪即最接近但不大於原數之平方數。其平方根
最大位數之數是為第一商。此數可憑觀察而得，設此數為a。
第二步驟：原數減去此平方數後，剩兩隅冪﹝即一黃乙冪及最小隅冪﹞，兩
廉朱冪及兩廉青冪。設原數為N，則N–a2=b2+c2+2ab+2c(a+b)。
第三步驟：求黃乙冪及兩朱冪。即求b，即求最大之整數b，使：
b2+2ab=(2a+b)b
b之值可從觀察或試算而得，於是即可得b2+2ab之值。此即為次商。
第四步驟：求隅及兩青冪，即求c。先算出：
N–a2–b2–2ab=D，即c2+2c(a+b)=D。若a+b=e，求c則：
c2+2c(a+b)=c2+2ce≤D。c之值可從觀察或試算而得。
現以《九章算術?卷四》其中一例以說明以上之情況及步驟。
《九章算術?卷四》其中一問曰：
今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？答二百三十五步。
解：
55225是為積，積，面積也。實，所須要開方之數也。即今求55225。
先求黃甲冪。從觀察可知黃甲之數﹝即a﹞為200，黃甲冪為40000﹝即a2﹞。
又55225–40000=15225。
依前述可知從(2a+b)b<15225不等式中求b，若a為200，
即(2×200+b)b=400b+b2<15225。
從觀察可知b=30，於是400b+b2=12000+900=12900<15225。
餘數15225–12900=2325。此即為隅及兩青冪之和。
再從此式求c：[2×(200+30)+c]c≤2325，
即460c+c2≤2325，粗略之試算法為460c≤2325，可得c=5，故可以以c=
5試算之。
從觀察可知若c=5，則460c+c2=2300+25=2325。
故55225之平方根為200+30+5=235。
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此乃《九章算術》之結果，單位為步。
以下為近代之開方法：
先將55225從右至左每兩位數作一組。求一數使其平方數小於5，此數顯然
為2，此2即為a，是為第一商。將其平方數4置於5之下，相減得1。
列成除數式，令15225為被除數；2倍之a為一兩位數之十位，再補上一最
大之個位數b為除數，又令(2a×10+b)b小於152，經試驗可知此數為3。23與
43之積為129，152減之得23。此法截去十位與個位之25。
將其餘位數補上得2325。又令2325為被除數；2倍之23為一三位數之百位
與十位，再補上一最大之個位數c為除數，即除數為(46×10+c)c，從試驗可
知此數為5。即465×5=2325。
故15225之平方根為235。
以下為籌算法﹝原本應以算籌表示，為方便起見，今改用阿拉伯數目字﹞：
術曰：置積為實，借一算，步之，超一位﹝一作“等”﹞﹝見第(1)圖﹞。
注曰：言百之面十也，言萬之面百也。
其意指若方面積為100，則其邊長為10；若方面積為10000，則其邊長為100。
原數為萬位，則其根為百位，故在百位2之下寫“借算”1。
議所得，以一乘所借一算，為法而以除。注曰：先得黃甲之面上下相命，是
自乘而除也。
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議，估算也。先以估算法算出黃甲面為200，即a為200，亦即商1為200。
又書200於借算列之上一列，是為“上下相命”。然後自乘而除，“除”即減去，
即自乘後得40000，再由實55225減之得15225，是為新之實。見第(2)圖。
除已，倍法為定法。注曰：倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定
法。
55225減去40000後得15225，再將200乘以2，其目的為求兩朱冪，即求
ab。見第(3)圖。
其復除，折法而下。注曰：欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之，為定法，
以折議乘而以除，如是當復步之而止，乃得相命，故使就上折下。
本段文意晦澀。其意為如果要減去朱冪，則先議出黃乙冪之邊，即求b，200
乘以2得400。又(400+b)b必少於新實15225，可估算出b為30。此即為次商，
或稱為商2，書30於商2之位，見第(4)圖。
復置借算，步之如初，以復議一乘之。注曰：欲除朱冪之角，黃乙之冪，其
意如初之所得也。
實減(2a+b)b，即15225–(400+30)×30=15225–12900=2325，此2325
書於實之位。以上步驟為除“朱冪之角，黃乙之冪”，除後所得之實為第三實
2325，見第(5)圖。
所得副以加定法，以除以所得副從定法。注曰：再以黃乙之面加定法者，是
則張兩青冪之袤。
副即b即30，定法為a為200，相加則得230，此即為青冪之長邊。乘2得
460，因有兩青冪。
復除折下如前，若開之不盡者，為不可開，當以面命之。
依前二法，估算商3為5，2×(200+30)+5=465，見第(6)圖。而實2325–
465×5=0，故最後之實為0，即表示原積乃完全平方數。見第(7)圖。而平方根
為200+30+5=235，即商1+商2+商3。以籌法運算時，0可以不寫，可直接
寫成235。
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注意《九章算術》己有“開不盡”之說法，即原數並非一完全平方數，餘數
可視作“面”，即最小正方形之邊長。
《九章算術?卷四》其中另一問曰：
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一，問為方幾何？答七百五十一
步半。
解：
此題之實為56475241，先化成如下之算式：2259009÷4，各自求其平方根
再化簡即可得答案。
《九章算術?卷四》曰：
若實有分者，通分內子為定實，乃開之訖，開其母，報除。
以上之說法即將帶分數化為假分數，分子與分母各自開方後再作除法即可得
答案。不過筆者一向有此看法：將一帶分數化為假分數，只有《九章算術》
方有此說法。
《九章算術?卷四》又曰：
若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之訖，令如母而一。
以上文意指若要開方帶分數d
fe
，則先化成假分數
fedf?
，分子與分母各自
開方，若f不能開方，則分子先乘f，即
2)(ffedf?
=
ffedf)(?
，此即所謂
“母乘定實”，分子開方後再除以f即可得答案。
以下為近代之開方法：
4之開方為2，故答案即1503÷2=75121﹝步﹞。
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現簡述近世之開方及列式法：
先將2259009從右至左每兩位作一組。求一數使其平方數小於2，此數顯然
為1，此2即為a，是為第一商。將其平方數1置於2之下，相減得1。
列成除數式，令1259009為被除數；2倍之a為一兩位數之十位，此數為2；
再補上一最大之個位數b為除數，又令(2a×10+b)b小於125，經試驗可知此數
為5，置5於1之右方。25與5之積為125，152減之得0。注意截位之算法。
在5之右方補上一0。9009為被除數；2倍之150為一四位數之千位、百位
與十位，再補上一最大之個位數c為除數，即除數為(300×10+c)c，從試驗可
知此數為3。即3003×3=9009。
以下為籌算法之步驟：
原為為百萬位，則其根為千位，故在千位9之下寫“借算”1。見圖(1)。
估算a為1000，故商1書1000，又書1000於9009之下，見圖(2)。因10002
小於2259009。
從實減去10002，即2259009–10002=1259009，在圖(3)之實位寫此數，
125009乃新之實數。又將1000之2倍寫於9009之下，借算1向右移一位，
見圖(3)。
估算b之值，使(2000+b)b≤1259009，從試算可知b=500，於是書500
於商2之位。見圖(4)。
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又2500×500=1250000，以實1259009減之得9009。3000之數乃得自2000
+2×500，即倍500後得1000，加於原數之2000，遂得3000，見圖(5)。
借算1向右移一位，即處於10位，在商3書00﹝書00表示十位，其實一0
亦可，在籌算時則空一位﹞，見圖(6)。
估算c之值，使[2(1000+500)+c]c=3000c+c2=9009，從試算可知c=3，
書3於商4之位。見圖(7)。
若c=3，則9009–(3000c+c2)=0，書0於實位，即2259009是一完全平
方數，其根為1000+500+0+3=1503。見圖(8)。
依前所述，4之開方為2，故答案即1503÷2=75121﹝步﹞。
比較古今之開方法及算式，當然以今之列式為勝，因較清楚簡潔。開方乃現
時之初中數學題，不過現時之中學生多只知其算法﹝只要強記其運算步驟即
可﹞，多不知為何作此算法。若以算籌運算，則必須知其運算理由，否則無法排
列出算式，此乃古今算法之大差異。
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