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九章算術之開立方法
TheCalculationoftheCubeRootofaNumber
inthe‘Nine-ChapterMathematics’inHàn
Dynasty
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:Thisarticleshowshowthecuberootofanumberwascalculatedin
ancientChina.
提要：本文指出《九章算術》中一數之立方根算出之法。
關鍵詞：《九章算術》、開立方、積、實、廉、隅、借算。
《九章算術》九卷，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。此書應經歷
代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。
《九章算術》中談及一數之“開方”﹝開平方﹞，可參閱筆者之〈《九章算
術》之開方法〉一文。但該書亦談“開立方”，即現代數學所言之開立方根。“開
方”與“開立方”出現於該書之第四章“少廣”。所謂“少廣”，以“御積冪方
圓”也。“御積冪方圓”即是計算方與圓之面積、立方之體積；反之，以方之面
積及體積計算一邊之長，此即開平方及開立方。
筆者深信該書之“開立方”術乃“開方”術之延伸，換言之，若要了解《九
章算術》中之“開立方”術，則必須明白其“開方”術。其實兩術之源分別為
正方形及正立方體之分拆。
“開方”之步驟較簡單，此乃初中學生之數學題，開立方則完全不同，其原
理與開方相若，唯深奧得多。
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若要了解《九章算術》中有之“開立方”術，則須要了解以下之代數展式﹝一
兩位數之立方，即一邊長為a+b之立方體，此大立方體可分解成8個立方體，
其中兩個為正立方體，邊長分別為a與b，及6個長立方體，即3個a2b與3個
ab2﹞：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+(3a2+3ab+b2)b
=a3+[3a(a+b)+b2]b，移項得：
(a+b)3–a3=[3a(a+b)+b2]b。
以上代數式代表兩位數之立方。故求一數之立方乃先以試算法求a，求得a
後，算出(a+b)3–a3，設其值為D，即[3a(a+b)+b2]b≤D，因a與D為已知
數，故亦可從試算法求b，若能開盡，則a+b即為(a+b)3之根。
若有一數為17576，試求其立方根。先從右至左每3位數作一組，餘下之一
位或兩位數則自成一組；即得17與576。先求一數a使a3≤17，顯然a為2。
必須留意a為20方為正確，因為203=8000≤17576。
17576–8000=9576，即(3a2+3ab+b2)b≤9576，將a=20代入左方，得：
(3×202+3×20b+b2)b≤9576
(1200+60b+b2)b≤9576。
以試算法求b，先作粗略試算，即先從不等式求b：1200b≤9576，b得7，
代入(1200+60b+b2)b，結果大於9576，試之以6，得：
(1200+60b+b2)b=(1200+60×6+62)6=1596×6=9576。故b=6，立方
根為20+6=26。經驗算後可知正確。
若果立方根為三位數，其情況與兩位數相若。
其法其實與現代數學所言之開平方法相若。因《九章算術》中注文中有“開
方圖”，其圖表示一三位數之自乘。此相當於一正方形之一邊長a+b+c，繪成
正方形後可見大正方形由三個小正方形及四個長方形組成，此圖可見本文第8
頁。
先看以下之立方展開式：
設N=(a+b+c)3=[(a+b)+c]3
=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
=a3+3a2b+3ab2+b3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
=a3+3ab(a+b)+b3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3。
先估算a之值，再從N減去a3，得以下等式：
N–a3=3ab(a+b)+b3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3，
即3ab(a+b)+b3≤N–a3，因a為已知數，右方之不等式只有b為未知數，
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故可估算出b。又從以下等式：
N–[a3+3ab(a+b)+b3]=3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3可估算出c。因為N
為已知數，a與b已估算出，故等式左方為已知數，等式右方只有c為未知數，
解方程式即可。
故a、b、c算出後，N之立方根為a+b+c。
《九章算術》所述之開立方步驟如下﹝設一立方為N=(a+b+c)3，則其一
邊長為a+b+c，以a為百位，b為十位及c為個位﹞：
開立方〔注曰：立方適等，求其一面也。〕
求立方根，即求立方體之一邊。
術曰：
置積爲實。借一算，步之，超二等。
〔注曰：言千之面十，言百萬之面百。〕
若一立方為1000，則其一邊長為10；若一立方為1000000，則其一邊長為
100。即其冪數加2，例如一立方邊長為10，則其體積為101+2；一立方邊長為
100，則其體積為1001+2，其餘類推。
以下為籌算法圖﹝即所有數目字以籌表示﹞：
商3
商2b
商1aa
實NN–a3N–a3–[3ab(a+b)+b3]
算法a33ab(a+b)+b3
借算111
(1)(2)(3)
置借算1於百位，借算有表示開立方後所得數所在之位置﹝由最高位數開
始﹞，此乃“借一算”之義，又置實N於實之列，如圖(1)。
議所得，以再乘所借一算爲法，而除之。
〔注曰：再乘者，亦求爲方冪。以上議命而除之，則立方等也。〕
議，估算也。估算立方根之百位數為a，置a於算法及商1之列。“再乘”
即乘一次再乘一次，即a3。除之，即從實減去之，見圖(2)之實列。
除已，三之爲定法。
〔注曰：爲當復除，故豫張三面，以定方冪爲定法也。〕
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“除已”，即“減去後”，即N–a3，“三之爲定法”即3乘以各長立方數。
“定法”，主要之構成數。原文過於簡略，相隔年代又久遠，今人難以明白，估
計指以下之式，即：
3ab(a+b)+b3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3。
復除，折而下。
〔注曰：復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。開平
冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪，
故復除當以千爲百，折下一等也。〕
“開平冪”，指開平方根；“開立冪”，指開立方根。三面方冪指(a+b)2c
及(a+b)c2，“除”與“折”乃兩種不同之運算步驟。“除”減也；“折”則有
“調整”意義，其意指調整各數而求下一數。估計指下式：
3ab(a+b)+b3≤N–a3。
以三乘所得數，置中行。〔注曰：設三廉之定長。〕
即置3ab(a+b)+b3於中行，即算法之位，見圖(3)。
復借一算，置下行。
〔注曰：欲以爲隅方。立方等未有定數，且置一算定其位。〕
置借算1於十位，見圖(3)。
步之，中超一，下超二等。
〔注曰：上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，故降一等；下隅法，無
面長，故又降一等也。〕
“上方法”指a3，“長自乘”指a2，“一折”指再乘a；“中廉法”指
3ab(a+b)、3(a+b)2c、3(a+b)c2各項皆含a2，故曰“降一等”；下隅b3及c3
不含a，故曰又降一等也。
從前文可知解不等式3ab(a+b)+b3≤N–a3可得b。
商3cc
商2bb
商1aa
實N–[a3+3ab(a+b)+b3]減算法0
算法3(a+b)2c+3(a+b)c2+c33(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
借算11
(4)(5)
注意第(5)表之0為第(4)表之實減算法，如下式所示：
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N–[a3+3ab(a+b)+b3]–[3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3]=0
復置議，以一乘中〔注曰：爲三廉備冪也。〕
再乘下〔注曰：令隅自乘，爲方冪也。〕
由b與c所形成之正方形稱為“隅”。見下頁之〈開方圖〉。若將以下之圖
加上第三維﹝垂直紙面﹞，即成a+b+c之立方圖。
開方圖
皆副以加定法。以定法除。
〔注曰：三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。〕
除已，倍下，並中，從定法。
〔注曰：凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連于兩方之面，
一隅連于三廉之端，以待復除也。言不盡意，解此要當以棊，乃得
明耳。〕
劉徽亦自知其注文“言不盡意，解此要當以棊，乃得明耳。”即須要安排大
量棋盤中之棋子作詳細說明，方能令人明白。劉徽知其注文當時人已不易明白，
今人更難明白也。無論如何，以上之說法，可參看籌算圖(4)。
復除，折下如前。開之不盡者，亦爲不可開。
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〔注曰：術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數爲分也。〕[1]
以上之說法，即從N–[a3+3ab(a+b)+b3]=3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3估算
出c。估算出a、b與c後，若能開盡，則N之立方根為a+b+c。
最後《九章算術》說明所開立方之數並非一定為整數，有可能開不盡，開不
盡則現分數。以下三題為《九章算術》中之開立方根題，所用之a、b與c皆依
上文所說之定義。
《九章算術?卷四》其中一問曰：
今有積一百八十六萬八百六十七尺，問為立方幾何？答一百二十三尺。
解：
上題指有一正立方體體積為1860867立方尺。“立方幾何”即問該正立方體
一邊長幾何。
求正立方體一邊長即將1860867開立方。從觀察可知其立方根為百位數。又
從估算可知a為100，因a3=1000000<1860867，故a為100正確。
積數減a3得1860867–1000000=860867，是為第二積。
解不等式3ab(a+b)+b3≤(a+b+c)3–a3，即300b(100+b)+b3≤860867。
從試算可知b=20，代入前式得6000×120+8000=728000<860867。
第二積減之得860867–728000=132867。
再解不等式3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3≤132867。因a+b=100+20=120，
得：
3×1202c+3×120c2+c3≤132867
43200c+360c2+c3≤132867
從43200c≤132867估算，可知c=3。若c=3，則：
43200×3+360×32+33=129600+3240+27=132867。
故立方根為a+b+c=100+20+3=123﹝單位為尺﹞。
筆者深信以上之算法乃《九章算術》所採用之算法，而劉徽之注文亦難以以
當時之語法表達複雜之算式。
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以下為籌算法圖：
商3
商220
商1100100
實1860867860867132867
算法1000000728000
借算111
(1)(2)(3)
商333
商22020
商1100100
實132867–1328670
算法132867132867
借算11
(4)(5)
以上各籌算表各列之數字來源可參考解說。筆者一向認為以上各籌算表其實
是紀錄結果，應該有其他計算公式作說明，其他之計算須清楚表達數字之來源。
因籌算表之作用不大，以下兩題略去。
《九章算術?卷四》其中一問曰：
又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問為立方幾何？答
曰三十九尺八分尺之七。
解：
本題之單位亦為立方尺。求一邊長即求3
51244763401
，化成假分數即求
351232461759，分子與分母各自開立方即可得答案。
現先開32461759之立方根。
從觀察可知分子之立方根為百位數。又從估算可知a為300，因a3=27000000
<32461759。
積數減a3得32461759–27000000=5461759，是為第二積。求十位數即求b，
解不等式3ab(a+b)+b3≤(a+b+c)3–a3，即900b(300+b)+b3≤5461759。
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從試算可知b=10，代入前式得9000×310+1000=2791000<5461759。
第二積減之得5461759–2791000=2670759，是為第三積。最後求c。
再解不等式3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3≤2670759。因a+b=300+10=310，
得：
3×3102c+3×310c2+c3≤2670759
288300c+930c2+c3≤2670759
從288300c≤2670759估算，c=9，若c=9，則：
288300×9+930×92+93=2594700+75330+729=2670759。即等號成立。
故分子立方根為a+b+c=300+10+9=319。
顯然分母512之立方根為8，故3
51232461759
=8319=3987﹝單位為尺﹞，
即原題所示之答案。
《九章算術?卷四》另一問曰：
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，問為立方幾
何？答曰一百二十四尺太半尺。
解：
本題之單位為立方尺。求一邊長即求3
27171937541
，化成假分數即求
32752313624，同上題，分子與分母各自開立方即可得答案。
現先開52313624之立方根。
從觀察可知分子之立方根為百位數。又從估算可知a為300，因a3=27000000
<52313624。
積數減a3得52313624–27000000=25313624，是為第二積。求十位數即求
b，解不等式3ab(a+b)+b3≤(a+b+c)3–a3=25313624，即
900b(300+b)+b3≤25313624。從試算可知b=70，而300+70=370，代入
前式得63000×370+343000=23653000<25313624。
第二積減之得25313624–23653000=1660624。是為第三積。最後求c。
再解不等式3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3≤1660624。因a+b=300+70=370，
代入不等式得：
3×3702c+3×370c2+c3≤1660624
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410700c+1110c2+c3≤1660624
從410700c≤1660624估算，c=4，若c=4，則：
410700×4+1110×42+43=1642800+17760+64=1660624。即等號成立。
故分子立方根為a+b+c=300+70+4=374。
分母27之立方根為3，故3
2752313624
=3374=12432﹝單位為尺﹞。
注意32為“太半”，即比一半多。
若最後之值c代入不等式等於第三積，即表示原數為一完全立方數；若小於
第三積，則表示原數非完全立方數。
當今之世，求一數之立方根，已不用筆算法，多採用計算機而為之。縱使不
用計算機，亦以對數法計算，蓋省時也。至於筆算法，懂之者鮮矣。
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