2013年物理竞赛复赛模拟试题-第二套
命题人蔡子星
题一、（20分）经过测试，发现用如左图的四个力，恰好能把一根长为1.00m的轻质木棒撇
断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子，支撑在一个圆形碗口（俯视图），把一个重
物放挂在P点，求重物的最大质量。
0.25m
0.75m
0m1.00m
20N
20N20N
20N
0m0.50m1.00m0.75m
P
题二、（22分）如图所示，在一个光滑的底面积为21dmS?高为0.2mH?的固定圆柱形容
器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为01.0kgm?，活
塞下方用一根劲度系数为200N/mk?，原长为00.3ml?的轻质弹簧连接到容器底。初始
时刻活塞位于距离底面0.1mh?高的位置，上方盛满方有密度为33110kg/m???的水，
用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水
有作用力。
（1）求释放活塞上升最大位移
（2）求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
题三、（20分）由于潮汐和地球自转的影响，地球上的海水被拉成椭球状，且长轴方向与地
月连线方向略有偏差，这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分量，
从而把月球加速，推动月亮远离地球，同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢，直到月球
公转周期和地球自转周期相同。（事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…）已知月球质
量为227.3510kgMm??，地球质量为245.910kgEm??，地球到月球距离为
83.810mr??，地球半径为66.410mR??。地球转动惯量22
5EImR?，月球半径可以
忽略，9.8N/kgg?。试求最终月亮会离地球多远？
题四、（24分）如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于直面向内随时间均匀增加的
磁场Bkt???。在离圆心O距离为d的位置有一个钉子，钉住了一根长度为l均匀的质量为
m的绝缘棒的中心P，棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电，电
量为Q，下半截均匀带负电，电量为Q?。初始时刻棒子垂直于OP。
（1）计算在P点处钉子受到的压力。
（2）若棒子受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略），求
证此运动是简谐振动，并计算周期。（棒子绕质心的转动惯量为2112Iml?）
x
y
Ol
B
P
题五、（16分）等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成
为数密度分别为0n和02n的正负离子构成，正负电荷电量分别为2q?和q?。正电荷以速度
v运动时受阻力fkv???，负电荷以速度v运动时受阻力fkv???。把等离子体填充进入
一个变长为l的绝热绝缘的立方体内，并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之
间接入0U的直流电源之后，求电流I。（以下不是考题：将上下极板之间接入0cosUt?的
交流电之后，求电流()It）
题六、（20分）如图所示是传统风箱的结构，忽略活塞的摩擦，假设气壁导热良好，环境温
度恒定为0T，向左推动的到左室体积为0V，右气室体积为02V时候开始方向向右推动，向
右推动至右气室体积为0V时，反向向左推动。环境气压为0P，当压差为P?的时候单向阀
门才会打开，当气体流出时保持有P?压强差（相当于阻力）。气体定体摩尔热容量为VC。
在活塞反向运动前，左右两气室均达到稳定压强。
（1）求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。
（2）求一个周期中外力对活塞做功为多少？
提示：ln
b
a
dxb
xa??
题七、（18分）一个质量为m的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3/2u。初始时刻风速
和飞船速度相对惯性系S的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于3u的时
候，飞船发动机推力恒定为F，否则发动机推力恒定为2F。分船可以向任意方向加速，
要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u，方向垂直于风速向上。
（1）以风速为参照系，xv和yv为坐标轴（原风速方向沿xv方向），画出飞船初态、末态
速度的位置，标记出飞船受力为F的范围。
（2）求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
3/2u90???/2u
题八、（20分）在小说《三体》中，人们提出一个“阶梯计划”，用于把01kgm?的物体加
速到0.9倍光速，送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是：物体自带面积为
21000mS?的镜子，在正对镜面方向放置一颗核弹，点爆核弹，光子将在镜面上全部反射，
从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够，于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线，物体
沿着直线被推出，每经过一个核弹附近，就将核弹点爆，于是物体被不断加速。下面我们估
算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000万当量的核弹，假设核弹爆炸前静止，爆
炸瞬间能在100m附近的镜面产生12-211.610JmsJ???的能流密度（以静止的核弹为参照系，
假设能流全部为光子，并垂直于镜面入射），持续时间为01.0st?，此后的爆炸产生的辐射
可以忽略。
（1）当镜面速度为v时，以镜面为参照系，光的能量密度''J为多少？
提示：多普勒效应表明，以速度v远离光源时候，看到的频率和原频率比为cvcv??
（2）当镜面速度为v时，一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少？（假设一次爆炸之后
/vc的变化量很小）
（以上答案用字母表示。以下不是考题：试估算需要多少颗核弹才能加速到0.9c？）
2013年物理竞赛复赛模拟试题—第二套参考解答
题一、（20分）经过测试，发现用如左图的四个力，恰好能把一根长为1.00m的轻质木棒撇
断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子，支撑在一个圆形碗口（俯视图），把一个重
物放挂在P点，求重物的最大质量。
【解答】
木杆之所以会断，是因为杆上部挤压，下部拉伸，所提供的力矩超过极限。
如左图可知，此种木杆所能提供最大力矩：
max200.255MNmNm????（3分）
对右图各点进行标号，对杆○2、○3、○4进行受力分析
易得3451248NNNN???（2分）
对杆1进行受力分析，由力矩平衡
130.50.751NmmgmNm?????（2分）
得到110mgN?，3810Nmg?
（2分）
由受力平衡631NNmgN???
得到6310Nmg?
（2分）
分析杆上提供力矩规律，发现极值只可能出现在受力点处，分析各受力点提供力矩大小，找
到最大值：
280.250.210Mmgmmgm????
同时340.50.210Mmgmmgm????（7分，两式只给出一个扣3分）
此值等于maxM时，杆断。故
0.25mgmNm???（2分）
得2.5mkg?
题二、（22分）如图所示，在一个光滑的底面积为21dmS?高为0.2mH?的固定圆柱形容
器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为01.0kgm?，活
塞下方用一根劲度系数为200N/mk?，原长为00.3ml?的轻质弹簧连接到容器底。初始
时刻活塞位于距离底面0.1mh?高的位置，上方盛满方有密度为33110kg/m???的水，
用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水
有作用力。
（1）求释放活塞上升最大位移
杆④
6
54
杆③
杆②
321杆①
（2）求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
【解答】
以地面为原点，向上为x坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律
注意：水也在加速！
??????000msHxaklxmgsHxg????????????????（3分）
带入数据得到210ams?.为匀加速运动。（2分）
到达瓶口时，活塞速度为12vms?（2分）
经历时间为1210ts?（2分）
后活塞作简谐运动，平衡位置在容器口上''0.05hm?处（2分）
由能量守恒求得其振幅
22''21111222mvkhkA??
得520Am?（3分）
从瓶口上升至最大振幅处，参考圆转过角度
arcsin552????（3分）
故2arcsin550.142mtsk???????????（1分）
综上：（1）上升最大位移
??''350.2620SHhhAmm???????（2分）
（2）经历时间
120.29Ttts???（2分）
题三、（20分）由于潮汐和地球自转的影响，地球上的海水被拉成椭球状，且长轴方向与地
月连线方向略有偏差，这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分
量，从而把月球加速，推动月亮远离地球，同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢，直到
月球公转周期和地球自转周期相同。（事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…）已知月
球质量为227.3510kgMm??，地球质量为245.910kgEm??，地球到月球距离为
83.810mr??，地球半径为66.410mR??。地球转动惯量22
5EImR?，月球半径可以
忽略，9.8N/kgg?。试求最终月亮会离地球多远？
【解答】
设同一地距离用a表示，地球自转角速度?，月球公转角速度?
由月球运动的牛顿第二定律及万有引力公式
2
2
ME
M
Gmmma
a????（3分）
得
1
3EGMa
?
?????
??
或
1
2
3
EGM
a?
?????
??
带入20,EGMgRar??得602.704710/rads????（3分）
写出地球-月球系统角动量表达式（地球质量远大于月球质量）
??
12
233
MMELImaImGM??
?????????（3分）
在整个过程中角动量守恒，而未态=??未未故
????
1122
33
00+MMImgRImgR???
???????
未末（5分）
得到61.410/rads????未（3分）
代入得8=5.810am?未（3分）
题四、（24分）如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于直面向内随时间均匀增加的
磁场Bkt???。在离圆心O距离为d的位置有一个钉子，钉住了一根长度为l均匀的质量为
m的绝缘棒的中心P，棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电，电
量为Q，下半截均匀带负电，电量为Q?。初始时刻棒子垂直于OP。
（1）计算在P点处钉子受到的压力。
（2）若棒子受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略），求
证此运动是简谐振动，并计算周期。（棒子绕质心的转动惯量为2112Iml?）
x
y
Ol
B
P
【解答】
涡旋电场大小为E，则有
22
BErr
t??
??
?
得到
2
rEk??，方向垂直于O连线（3分）
则杆上场强分量为
2
2
x
y
kEy
kEd
????
??
?
???
??
（3分）
（1）由于上下电量相反，y方向地强不变，故钉子y方向不受力。（3分）
x方向受电场力为：
10
2
0/2/22/224l
QkQkQklFdyydyy
ll?
??????????????
????
（3分）
故钉子压力为4Qkl(由于电场和y坐标成正比，因而可以使用平均电场计算)
（2）设棒子转过一微小角度?
y方向电场力会提供力矩(由于力臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小
量，忽略二阶以上小量，因而不必计算电场力改变量产生的力矩。由于电场几乎是均匀的，
所以正电荷受力的合力力臂为4l?)
2424lkQkdlMdQ?????????????（6分）
而MI??
则04QkdlI????是简谐方程（3分）
周期为23mlTQkd??（3分）
题五、（16分）等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成
为数密度分别为0n和02n的正负离子构成，正负电荷电量分别为2q?和q?。正电荷以速度
v运动时受阻力fkv???，负电荷以速度v运动时受阻力fkv???。把等离子体填充进入
一个变长为l的绝热绝缘的立方体内，并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之
间接入0U的直流电源之后，求电流I。（以下不是考题：将上下极板之间接入0cosUt?的
交流电之后，求电流()It）
【解答】
上下极板加上0U后，产生电场强度0EUl?（1分）
其中的正负离子受力大小有2FqEFqE?
?
???
??（2分）
稳定时，正负离子应受力平衡FfkvFfkv????
???
????
????（2分）
由上，可求出
0
0
2qUv
kl
qUv
kl
?
?
??
???
?
??
???
（2分）
由电流inqsv????s为横截面积2l（2分）
得
2
2000
0
2
2000
0
242
22
qUnqUlinql
klk
qUnqUlinql
klk
?
?
?
?
??????
???
?
??????
???
（6分）
总电流??2004/2/IiikknqUl?????????（1分）
注：此题是用来卖萌的
题六、（20分）如图所示是传统风箱的结构，忽略活塞的摩擦，假设气壁导热良好，环境温
度恒定为0T，向左推动的到左室体积为0V，右气室体积为02V时候开始方向向右推动，向
右推动至右气室体积为0V时，反向向左推动。环境气压为0P，当压差为P?的时候单向阀
门才会打开，当气体流出时保持有P?压强差（相当于阻力）。气体定体摩尔热容量为VC。
在活塞反向运动前，左右两气室均达到稳定压强。
（1）求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。
（2）求一个周期中外力对活塞做功为多少？
提示：ln
b
a
dxb
xa??
【解答】
分析活塞从左至右的过程（即半个周期）
设初始时左气室气体数1n，右室2n
此时左气室压强10PPP??,右室2PPP??(2分)
分别有克拉伯龙方程????0010
00202
VPPnRT
VPPnRT
????
????
?
（4分）
（1）活塞至右端时，右室气体数变为1n，右室2n
则半周期鼓出气体??21nn?
一个周期鼓出????0021
0
232VPPNnn
RT
????（2分）
（2）设左侧气室体积1V时，开始吸气.
设右侧气室体积2V时，开始鼓起
有克拉伯龙方程????1010
2020
VPPnRT
VPPnRT
????
????
?
（4分）
左室吸气前，为等温过程，10nRTPv?
故开始至吸气对活塞做功??1
0
100
100
0
lnV
V
nRTPPWdVVPP
VPP
????
??（2分）
吸气过程对活塞做功??????2010023WVVPPPPV???????（1分）
同理，两过程中右室对活塞做功
??
??
0
300
0
400
2ln(3
=3(1
PPWVPP
PP
WPPV
?????
???
?????
分）
分）
一个周期中外力做功：????0123400
0
223lnPPWWWWWVPPPP??????????
题七、（18分）一个质量为m的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3/2u。初始时刻风速
和飞船速度相对惯性系S的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于3u的时
候，飞船发动机推力恒定为F，否则发动机推力恒定为2F。分船可以向任意方向加速，
要求飞船达到末状态为：相对于太阳风，速度为2u，方向垂直于风速向上。
（1）以风速为参照系，xv和yv为坐标轴（原风速方向沿xv方向），画出飞船初态、末态
速度的位置，标记出飞船受力为F的范围。
（2）求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。
【解答】
（1）虚线圆内受力为F（圆心原点半径3u）（5分）
（2）设速度变化量在圆内部分长：1v
设速度变化量在圆外部分长：2v
则初速至末速历时122mvmvtFF??（3分）
若时间类比光学中的光程，v类比光线路径长，mf类比
折射率，由于费马原理则原问题可等效为：
如图，求A点发出的光线中可到达B点的光线的光程及轨迹
（5分）
考察A正上方点P，由几何关系30OPA??，90BPO??
（2分）
11sin=1=1=sin
22BPOnOPAn??????外内（2分）
满足折射定律故折线APB即为所求轨迹
带回原问题，得到12,vuvu??（2分）
故最短用时：32mutF?（1分）
题八、（20分）在小说《三体》中，人们提出一个“阶梯计划”，用于把01kgm?的物体加
速到0.9倍光速，送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是：物体自带面积为
21000mS?的镜子，在正对镜面方向放置一颗核弹，点爆核弹，光子将在镜面上全部反射，
3/2u90???/2u
=vu初
=2vu末
xv
yv
P
An=1
0,2()n=12
R=3
3
2,
1
2??
B
O
从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够，于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线，物体
沿着直线被推出，每经过一个核弹附近，就将核弹点爆，于是物体被不断加速。下面我们估
算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000万当量的核弹，假设核弹爆炸前静止，爆
炸瞬间能在100m附近的镜面产生12-211.610JmsJ???的能流密度（以静止的核弹为参照
系，假设能流全部为光子，并垂直于镜面入射），持续时间为01.0st?，此后的爆炸产生的
辐射可以忽略。
（1）当镜面速度为v时，以镜面为参照系，光的能量密度''J为多少？
提示：多普勒效应表明，以速度v远离光源时候，看到的频率和原频率比为cvcv??
（2）当镜面速度为v时，一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少？（假设一次爆炸之后
/vc的变化量很小）
（以上答案用字母表示。以下不是考题：试估算需要多少颗核弹才能加速到0.9c？）
【解答】
假设核弹产生的光子数密度为0n
则在0t时间内发射的光子数000NJctn????（2分）
（1）在地面参考系中，这些光子被镜面接收需时（参考小学数学追击问题）
0
ctt
cv??（3分）
在镜面参考系中，由于钟慢效应，接收需时
''221tvct??（2分）
即''01/1/vcttvc????
带入
''0
n得镜面系光子数''0cvnncv???（2分）
而镜面系中光子频率''0cvvvcv???（2分）
''''''
00
cvcvJnhvcnhvcJ
cvcv
??????????
??（2分）
（2）地面系中，镜面反射来的光子频率''''?满足
''''''
0
cvcvvv
cvcv?
????
??（2分）
一次核弹爆炸，镜面获动量
''''
0
0
hvhvPN
c
???（3分）
带入00Jnhvc?（1分）
得02JstPcv????（1分）
注：不是考题部分，另第n次核爆后镜子的质量为0nmm??
由质能关系得到201nnPm???
带入（2）结果有：做近似11nn????
220010
2
211
(11)nnn
Jstmm
c
??
???
????
??
带入计算器数值解数列得到91n?
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