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九章算術之句股定理與相似直角三角形
問題
PythagorasTheorem&Right-AngledSimilar
Trianglesinthe‘Nine-ChapterMathematics’in
HànDynasty
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:ThisarticleshowshowthePythagorasTheoremandSimilarTriangles
wereappliedincalculationsinancientChina.
提要：本文指出《九章算術》中句股定理﹝或稱為商高定理﹞及直角相似三
角形在數學題之應用。
關鍵詞：《九章算術》、句股定理、實、直角相似三角形。
《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分
二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及
修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉?劉徽及唐?李淳風。本文分別稱為
“劉注”及“李注”，但本文無用李淳風注文。筆者所採用者乃清?四庫全書本，
負責編纂之清?李潢等，亦加案語。本文亦採用其案語以作說明，本文作“清臣
注”。
清?乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。
其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》
引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名…。今考書有“長
安上林”之名，上林苑在武帝時，蒼在漢初，何緣預載？知述是書者，在西
漢中葉後矣。舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏?景元四年，劉徽
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注《九章》，然注中所云晉武庫銅斛，則徽入晉之後，又有增損矣。又有注
釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經
十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三
歲，蓋即是時作也。
以下數題乃選自該書之“句股”章。《九章算術》之所謂“句股”其實指直
角三角形之兩不等長之直角邊。故句股形可指含兩不等長之直角邊之直角三角
形。
直角三角形之斜邊稱為“弦”，直角之短邊稱為“句”﹝同勾﹞，直角之長
邊稱為“股”。該書將所有有關直角三角形之數學題均列入“句股”章。《九章
算術》曰：
句股以御高、深、廣、遠。
其意指句股用於計算物體之高，例如山；計算物體之深，例如井；計算物體
之廣，例如邑之廣；亦可計算物體之遠近等，故其實“句股”之廣義乃指相似三
角形，句股法即相似三角形法，即以相似三角形法作測量用。
以下為《九章算術》中之“句股”應用題。
今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙東行。甲南行十步而邪東北與乙
會。問甲乙行各幾何？
答曰：乙東行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
術曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以為甲邪行率。邪行率減於七自乘，
餘為南行率。以三乘七為乙東行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，
副置十步，以乙東行率乘之，各自為實。實如南行率而一，各得行數。
解：
“行率”指步行速度，“行率七”即指在某單位時間內行七步，“乙行
率三”，指在相同單位時間內只行三步。“邪”同斜，“邪行”即“斜行”，
甲南行10步後再向東北方向行一段路程，與乙剛好會合，求甲之斜行與乙
之東行步數。以下為《九章算術》提供之算法，先算出：
甲邪行率=21(七自乘+三自乘)=21(49+9)=29。
南行率=72–29=49–29=20。
東行率=3×7=21。
甲邪行率×南行10步=29×10=290。
東行率×南行10步=21×10=210。
故乙東行步數=東行率×南行10步÷南行率=20210=1021。
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甲斜行步數=甲邪行率×南行10步÷南行率=20290=1421。
以下為〈甲乙會東方〉圖：
甲乙會東方圖
設甲與乙同處於A點，甲之行率為7，即在某單位時間內行7步，行10步
須時710﹝單位時間，略去﹞，又設甲向東北斜行x步，須時7x。又設乙向
東行y步，須時3y。因為時間相同才可相遇，顯然710+7x=3y。
又從直角?ABC可知，弦2=句2+股2，即：
x2=y2+102，連同上式，可得二元二次方程式如下：
710+7x=3y----------------(1)
x2=y2+102--------------------(2)
從(1)移項得x=37y–10-----(3)
將(3)代入(2)得：
210
37???????y
=y2+102----(4)
展開(4)得：
949y
2–
3140y+100=y
2+100-----(5)
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949y–3140=y
y=3140×409=20210=221=1021。
求x將y代入(3)。
因為x=37y–10，所以x=37×221–10=2421–10=1421。
答曰：乙東行1021步；甲斜行1421步。
注意式(5)將左右兩端之100約去，遂令運算大為化簡。若不能約去
100，則(5)仍為一元二次方程式，求y顯然較為麻煩，最重要者《九章算
術》所提出之算法未必合用。
細看《九章算術》之算法，其實與現代之算法相近，所不同者《九章算
術》無說明其算法理由。
今有邑方十里，各中開門。甲乙俱從邑中央而出。乙東出；甲南出，出門不
知步數，邪向東北磨邑，適與乙會。率甲行五，乙行三。問甲、乙行各幾何？
答曰：甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半，及乙。乙東行四千
三百一十二步半。
術曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，為邪行率。邪行率減於五自乘者，
餘，為南行率。以三乘五，為乙東行率。置邑方半之，以南行率乘之，
如東行率而一，即得出南門步數。以增邑方半，即南行。置南行步求
弦者，以邪行率乘之，求東者以東行率乘之，各自為實。實如南行率
得一步。
解：
BADC為邑方，O為邑之中央，G與F為邑方之中門。乙東出，即循
OFE方向；甲南出，即循OGS方向。甲至S後，轉東北方，即走SDE線
與乙會合於E。邑方邊長10里，1里為300步，即邑方邊長3000步，邑方
一邊之半長如DG及FO則為1500步。設甲南出行y步，即OS為y；乙東
行x步，即OE為x，如下圖所示：
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甲乙會邑方之東方圖
以下為《九章算術》所提供之算法。先算出：
52+32=25+9=34，取其半得邪行率，即邪行率為17。
南行率為25–17=8。
乙東行率為3×5=15。
方邑之半為1500，以南行率乘之得8×1500=12000，此數除以東行率15
得：
8×1500÷15=800，此即為出南門步數。此數再加邑方之半邊長1500即得
2300，即甲之南行總步數。
南行總步數除以南行率得2300÷8=287.5，得平均步數﹝《九章算術》缺
此步驟，如缺此數，則不能算出斜行及東行之步數﹞。
此數乘以邪行率17得弦之步數，即斜行步數，即：287.5×17=4887.5。
又以此數乘以東行率15得乙之東行步數，即：287.5×15=4312.5。
注意甲出南門800步，即指GS之長，不包括OG之長。乙東行步數則包括
邑方之半長1500步。
《九章算術》之算法正確，唯今人難以明瞭。
以現代代數學解之如下：
設甲南出行y步，即OS=y，乙東行x步，即OE=x。
甲之行率為5，即某單位時間行5步；乙之行率為3，即某單位時間行3步，
因為甲從O行至S再由S行至E所須之時間等於乙由O行至E，因此：
(OS+SE)÷5=OE÷3，又根據商高定理可知SE2=x2+y2，代入各數可得：
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5y+5122xy?=3x--------(1)
又?OSE與?GSD相似，對應之句股邊比例相等，即：
15001500?y=xy-------------(2)
解聯立方程式(1)與(2)。
從(1)移項可知：
251(y
2+x2)=(
3x–5y)
2
251y
2+
251x
2=
91x
2+
251y
2–
152xy
251x
2=
91x
2–
152xy，因x非0，可約去並移項得：
152y=91x–251x
x=815y-----------------------------(3)。
又從(2)可知：
xy–1500x=1500y
x(y–1500)=1500y
x=
15001500?yy
------------------------(4)
將(3)代入(4)得：
815y=15001500?yy因y非0，可約去並移項化簡得：
12000=15y–22500
15y=34500
y=2300。
將y=2300代入(3)式可得x=815×2300=431221。
求斜邊，將x與y之值代入下式得：
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三角形斜邊長22xy?=5(3x–5y)
=35x–y
=35×28625–2300
=7187.5–2300
=4887.5。
從現代數學之解法可知《九章算術》之解法亦源自相似三角形對應邊成
比例之法而算出，不過該書無詳細說明耳。
有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，
望木末適與山峰斜平。人目高七尺。問山高幾何？
答曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。
術曰：置木高減人目高七尺，餘，以乘五十六里為實。以人去木三里為法。
實如法而一，所得，加目高即山高。
解：
有山CD位於一樹BE之西，距離53里，樹高9丈5尺。有人AF立於
樹之東方，距離樹3里，該人之目離地7尺，人目F、樹巔E及山巔D成
直線，求山高。
依題意可知其圖如下：
山居木之西圖
《九章算術》之解法如下：
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木高減人目高=95尺–7尺=88尺，為餘數。
餘數88×56=4928﹝尺﹞，為實。
實除以3得4928÷3=164232﹝尺﹞。
山高為以上之數加以人目之高，即164232+7=164932﹝尺﹞。
以下為現代之算法：
從上圖可知山高為CD，樹木高為BE，人目之高為AF。AB為3里，
BC為53里。?GEF與?HDF為相似?，其對應邊之邊長成比例，即
FGEG=HFHD，若HD=x，EG=95–7=88﹝尺﹞，AC=3+53=56
﹝里﹞代數字入比例式可得：
388=56x，x=88×56÷3=164232﹝尺﹞，加上目高即164232+7=164932
﹝尺﹞。化為丈可得164丈932尺，即164丈9尺632寸。32寸是為“太半
寸”。
劉注：此以木高減人目高七尺，餘有八丈八尺，為句率。人去木三里，為股
率，山去木五十三里為見股，以木高為見股，求句，加人目之高
﹝案﹞，故為山高也。
清臣注：案，此二句訛舛，當云：以句率乘見股，如股率而一，得句，加木
之高。
“山去木五十三里為見股，以木高為見股”兩“見股”，必有一誤。率
者，數也。“見股率”應為53+3=56﹝里﹞，即AC之長，非53。以句
率乘見股率，如股率而一，得見句，即?HDF之HD之長。後注文“加木
之高”之“木”字誤，應作“目”，人之目也，以前之注文為合。
今有井徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問
井深幾何？
答曰：五丈七尺五寸。
術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘，以乘立木五尺為實。以入徑四寸
為法。實如法得一寸。
依題意可知如下圖。
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以立木測井深圖
設ABCD為井，井之直徑為5尺。今在井上豎立一木，其長亦為5尺，
自木末E點望井底，入井徑4寸，即BF為4寸，求井之深。
從圖可知?FCD與?BEF相似，於是對應邊之比相等，即：
CFCD=BFBE，若井深CD為x寸，FB為4寸，CF=50–4=46﹝寸﹞，
代入等比式可得：
46x=450，於是x=450×46=575﹝寸﹞，即5丈7尺5寸。
《九章算術》之解法亦相同：
“置井徑五尺，以入徑四寸減之”，得四尺六寸，此即為“餘”，“以
乘立木五尺為實”，於是“實”為四十六寸乘以五十寸，得二千三百方寸。
“以入徑四寸為法”，即以四寸為除數，二千三百方寸為被除數。“實如法
得一寸”，指商為五百七十五寸。
相信《九章算術》亦以相似三角形法解此題。
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《九章算術》中之相似三角形問題算是較為淺易者，只合現代之初中之數學
題，唯年代久遠，題目難解而已。
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