§9-6动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式
，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解
决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：二、对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定
理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。一、能根据问题的已知条件和
待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。例1
1两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰
C到达地面时的速度。讨论?动量守恒定理＋动能定理求解。?计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解：由于不
求系统的内力，可以不拆开。代入动能定理：PP研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。
例12均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角?，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止
。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得例13重150N的均质圆盘与重6
0N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B''点时的速度及支座A的约束反力。
解：（1）取圆盘为研究对象，圆盘平动。（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0，
最低位置时：代入数据，得（3）用动量矩定理求杆的角加速度?。由于所以?＝0。杆质心C的加速度：
盘质心加速度：（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。代入数据，得相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运
动定理。?可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。例14基本量计算(动量,动量矩
,动能)例15质量为m的杆置于两个半径为r，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加
速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。解：(1)用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体
作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度系统的动能主动力的元功之和：由动能定理的微分形式：两
边除以，并求导数，得(2)用动量矩定理求解取系统为研究对象根据动量矩定理：，得解：取杆为研究对象
由质心运动定理：例16均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。由动量矩定理：
例17均质细杆AB长为l，质量为m，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小干扰，杆绕B点倾倒，如图所示。不计摩擦，求：（1）B端未
脱离墙壁时AB杆的角速度、角加速度及B处的约束力；（2）B端脱离墙壁时的θ1角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。解题分析：
本题中杆的运动分两个阶段，即绕定轴转动和平面运动。1、杆离开墙的条件是水平分力为零；
2、分两个阶段分别运用动能定理；3、杆离开墙后水平方向质心运动守恒；4、运用运动学知识
进行运动分析，补充运动学条件。解：（1）B端未脱离墙时，杆作定轴转动，当转过任意角度θ时，由动能定理得质心C的速度为
其中将aC投影到水平与铅直轴上，得根据质心运动定理解得（2）当B端脱离墙时，有代入
（2）式，得此时杆的角速度为（3）B端脱离墙后，杆作平面运动，且水平方向动量守恒。杆在脱离墙的瞬时，质心速度的水平分量为
：在此后的任意瞬时总有投影到铅直方向，得当杆着地时，AB杆处于水平位置。在杆由铅直位置运动到水平位置过程中，只有重力
作功。由动能定理由得从而例18质量m，长l的均质杆平放在水平桌上，其质心C至桌边缘的距离为d，如图所示。该杆从
水平位置静止释放，开始围绕桌子边缘转动。若杆与桌边缘的静摩擦系数为f，求开始滑动时杆与水平面的夹角。解：本题要确定杆处于绕O转
动和滑动临界状态时的位置，关键在于求出杆在转动状态时的摩擦力F的值应小于最大静摩擦力Fmax，即为此，需先求出质心C的
加速度及杆的角加速度。应用动能定理，杆绕桌边缘棱角O作定轴转动，动能方程为求导解得角加速度质心C的加速度为应用质心
运动定理求F,N，即(1)(2)得(3)由(1)式解得这就是为保证杆绕O点转动，杆与桌之间应提供的摩擦力的大小。
杆与桌之间应提供的最大摩擦力为(4)F=Fmax即为杆处于开始滑动的临界状态，由(3),(4)式得到化简后，得故
这就是杆处于开始滑动的临界状态时，杆与水平面的夹角。理论力学§9-1质点系的动能对于任一质点系：（
为第i个质点相对质心的速度）柯尼希定理二．质点系的动能一．质点的动能例1坦克以速度v0向右运动，其履带的
质量为m，车轮的半径为R，两车轮轴间的距离为πR。试计算履带的动能。解：将履带看成由四部分组成：1-2、2-3、3-4
、4-1。（P为速度瞬心）1．平动刚体2．定轴转动刚体3．平面运动刚体三．刚体的动能例2已知小圆环B的质
量为m，OA=r，直角弯杆OAB的角速度为ω，试求小圆环B的动能。例2已知小圆环B的质量为m，OA=r，直角弯杆OA
B的角速度为ω，试求小圆环B的动能。解:例4已知均质轮Ⅱ由OA杆带动在固定的轮Ⅰ上只滚不滑。轮Ⅱ的质量为2m，O
A杆的质量为m，转动的角速度为ω0。试求系统的动能。设R=2r。ω0于是得系统的动能解:轮Ⅱ作平面运动，其中vc=vA
=3rω0，Jc＝JA＝(2m)r2/2=mr2,因(R+r)ω0=rω，故ω=(R+r)ω0／r=3ω0杆OA绕定轴转动，
§9-2力的功一．常力的功二．变力的功（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式）三．合力的功四．常见力的
功1．重力的功2．弹性力的功3．万有引力的功4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功例如，铁链长l，
展开放在光滑桌面上，由桌边垂下一段长度a开始运动，开始时质心坐标为到铁链全部离开桌面时，质心坐标为
，则重力做的功为(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功(1)动滑
动摩擦力的功N=常量时,W=–f′NS,与质点的路径有关。若m=常量则6．摩擦力的功5．平面运动刚体上力系的功
质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式将上式沿路径积分，可得上式中为作用在质
点系的全部力（包括内力和外力）在这段过程中所作功的和。必须注意：作用在质点系的力既有外力，也有内力；在某些情形下，内力虽然等值
而反向，但所作的功并不等于零。§9-3动能定理3.质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就
等于零。刚体所有内力作功的和等于零。4．理想约束的约束力约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。在理想约束的条件下
，质点系的动能定理可写成以下的形式将作用在质点系的外力分为主动力和约束力，则动能定理为例5机构处于铅垂平面内，杆与
偏心轮始终接触。已知：M、k。当从动杆件在极左位置时，机构静止，此时弹簧已有压缩变形。设偏心轮质量为m，半径为r，偏心距e=r/2
，不计从动杆件的质量，求从动杆件运动到极右位置时，偏心轮的角速度ω。解：系统的初动能从动杆件运动到极右位置时，系统的动能
在此运动过程中弹簧的最大压缩量由动能定理解得例6图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心
线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动
，初始时系统静止)解：取系统为研究对象上式求导得：习题课1.行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重
P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角?的函数
表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象根据动能定理，得?将?式对t求导数，得2.图示的均质杆OA的质量
为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA''，在铅直位置时的角
速度至少应为多大？解：研究OA杆由3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不
计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。解：取整个系统为研究对象4.如图所示
，均质杆AB的质量为M，长为l，一端靠墙，一端沿地面滑下。设开始时，杆在铅垂位置，初速为零。试求杆AB运动到图示位置时的角速度、角
加速度。不计摩擦。αω解：应用质点系动能定理的积分形式求解。当杆AB在铅垂位置时，其动能为αω取杆AB为研究，其受
力如图所示，其中只有重力Mg作功，即当杆AB在图示位置时，其动能对t求导，得§9-4功率·功率方程一．功率：力
的功率：力矩的功率：二．功率方程：例7车床电动机的功率，当稳定运转时主轴的转速为
，设转动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，工件的直径，求此转速
下的切削力。解：车床稳定运转时，—机械能守恒定律这样的系统成为保守系统。例9长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时
直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角?和质心的位置表达）。四．机械能守恒定律解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得初瞬时：任一瞬时：例10重为m、半径为r的圆柱体在一个半径为R的大圆槽内作纯滚动。如不计滚动摩擦力偶，求圆柱在平衡位置附近作摆动的方程。解：运用机械能守恒定律求解根据机械能守恒定律两边对时间求导微幅摆动时 |
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