2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径
第一部分（选择题共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、的展开式中的系数是（）
A、B、C、D、
2、复数（）
A、B、C、D、
3、函数在处的极限是（）
A、不存在B、等于C、等于D、等于
4、如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（）
A、B、C、D、
5、函数的图象可能是（）6、下列命题正确的是（）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）
A、B、C、D、且[来
8、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（）
A、B、C、D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）
A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元
10、如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（）
A、B、C、D、
11、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）
A、60条B、62条C、71条D、80条
12、设函数，是公差为的等差数列，，则（）
A、B、C、D、
第二部分（非选择题共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集，集合，，则___________。
14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。
15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。]
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。
18、(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，，，，平面平面。
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小。
20、(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
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