初一数学科总复习
第一章有理数
一、?知识要点
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。
基础知识：
1、正数（positionnumber）：大于0的数叫做正数。
2、负数（negationnumber）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数（rationalnumber）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
5、数轴（numberaxis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）；
选取适当的长度为单位长度。
6、相反数（oppositenumber）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值（absolutevalue）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做|a|。
|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。
0的绝对值是0.
0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
8、有理数加法法则
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.
3）一个数同0相加，仍得这个数。
a+b=b+a。
表达式：（a+b）+c=a+（b+c）
9、有理数减法法则
a-b=a+（-b）
10、有理数乘法法则
任何数同0相乘，都得0.
ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。表达式：（ab）c=a（bc）
表达式：a（b+c）=ab+ac
11、倒数
1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。
12、有理数除法法则：两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.
13、有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。ana叫做底数（basenumber），n叫做指数（exponent）。
0的任何正整数次幂都是0。
14、有理数的混合运算顺序
1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；
2）同级运算，从左到右进行；
3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、科学技术法：把一个大于10的数表示成a﹡10na是整数数位只有一位的数（即0
16、近似数（approximatenumber）：
17、有理数可以写成m/n（m、n是整数，n≠0）的形式。另一方面，形如m/n（m、n是整数，n≠0）的数都是有理数。所以有理数可以用m/n（m、n是整数，n≠0）表示。
??数集：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。
所有有理数组成的数集叫做有理数集；
所有的整数组成的数集叫做整数集。
??任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体现了数形结合的数学思想。
??根据绝对值的几何意义知道：|a|≥0，即对任何有理数a，它的绝对值是非负数。
??
根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
做差法：a-b>0?a>b;
做商法：a/b>1，b>0?a>b.
二、基础训练
选择题
1、下列运算中正确的是（?????）.
A.a2·a3=a6????????B.=2C.|（3-π）|=－π－3??D.32=-9
2、下列各判断句中错误的是（
A.数轴上原点的位置可以任意选定
B.数轴上与原点的距离等于
C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示
D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。
3、是有理数，若＞且，下列说法正确的是（）
A.一定是正数B.一定是负数
C.一定是正数D.一定是负数
4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（
A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数D.0和一个负数
5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）
A.0B.-1C.+1D.不能确定
6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（
A.1B.-1C.±1D.±1和0
7、如果|a|=-a，下列成立的是（
A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0
8、（-2）11+（-2）10）
A.-2B.（-2）21C.0D.-210
9、4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（????）
A.?3瓶????????B.?4瓶??????????????C.?5瓶????????????D.??6瓶
10、）
⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数
⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数
⑷每个有理数都有相反数
A、1B、2C、3D、4
11、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（
A、正数 B、负数
C、整数 D、不等于零的有理数
12、下列说法正确的是（
A、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；
B、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
C、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
D、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；
1、在有理数-7，-（-1.43），0，-1.7321中，是整数的有_____________是负分数的有_______________。
2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度。
3、如果一个数是6位整数，用科学记数法表示它时，10的指数是_____；用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是___________.
4、实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a－b|+|b－c|-|c－a|.
5、绝对值大于1而小于4的整数有_____________________________________，其和为___________.
6、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则（a+b）3-3（cd）4=________.
7、1-2+3-4+5-6+……+2001-2002的值是____________.
8、若（a-1）2+|b+2|=0，那么a+b=_____________________.
9、平方等于它本身的有理数是___________,立方等于它本身的有理数是_____________.
10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是302400，应记为,近似数3.0×
11、正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________
12、甲乙两数的和为-23.4，乙数为-8.1，甲比乙大
的数总比的大。（用“左边”“右边”填空）
14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________。
15、温度由－５℃下降３℃后，结果可记为＿＿＿＿＿．
16、－1/3的相反数是_______，绝对值是_______,倒数是_______.
三、强化训练
1、计算：1+2+3+…+2002+2003=__________.
2、已知：（a,b均为整数）则a+b=
，，，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来
4、已知___________
5、已知是一个偶数，则a是
6、已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。
7、在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答。
、如果规定符号“”的意义是ab=ab/（a+b），求2（-3）4的值。
、已知|x+1|=4，（y+2）2=4，求x+y的值。
1、投资股票是一种很重要的投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。
500股，每股60元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）：
一 二 三 四 五 每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 （1）?
（2）?
?已知买进股票是付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易费，如果在星期五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？
4）?0点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。【知识点定义】1、单项式对数字和若干个字母施行有限次乘法运算，所得的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也是单项式．2、系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．3、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．4、多项式几个单项式的和叫做多项式．5、多项式的项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．－6是常数项．6、常数项多项式中，不含字母的项叫做常数项．7、多项式的次数多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．8、降幂排列把一个多项式，按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．9、升幂排列把一个多项式，按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．10、整式单项式和多项式统称整式。11、同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项．常数项都是同类项．12、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．13、去括号法则括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．例：a+(b-2c)-(e-2d)=a+b-2c-e+2d14、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．例：m+2x－y+z－5=m+(2x－y)－(－z+5)15、整式的加减整式加减的一般步骤：1.如果遇到括号，按去括号法则先去括号；2.合并同类项．16、代数式的恒等变形一个代数式用另一个与它恒等的表达式去代换，叫做恒等变形．含有未知数的等式就叫做方程.一元一次方程只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：，等都一元一次方程.3．方程的解使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.等式的性质
????等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c
(2)等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc如果a=b(c≠0)，那么=移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
去括号法则
括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
解方程的一般步骤
去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
去括号(按去括号法则和分配律)
移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解).
六、用方程思想解决实际问题的一般步骤
审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
设：设未知数(可分直接设法，间接设法)
列：根据题意列方程．
解：解出所列方程．
检：检验所求的解是否符合题意．
答：写出答案(有单位要注明答案)1、和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2、等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积.
3、劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
4、数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
5、工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
6、行程问题：
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.
（2）基本类型有
①相遇问题；
②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.
7、商品销售问题
有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
8、储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
【典型例题】
一、一元一次方程的有关概念
例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程.
分析与解：这是一道开放性试题，答案不唯一.如x=1，x-2=0等等.
【点拨】解答这类开放性问题时要敢于大胆猜想，然后利用一元一次方程的定义与解来完成.
二、一元一次方程的解
例2.若关于的一元一次方程的解是,则的值是（）
A．B．1C．D．0
分析：根据方程解的定义，一元一次方程的解能使方程左、右两边的值相等，把x=-1代入原方程得到一个关于k的一元一次方程，解这个方程即可得到k的值.
解：把x=-1代入中得，-=1，解得：k=1.答案为B.
【点拨】根据方程解的概念，直接把方程的解代入即可.
三、一元一次方程的解法
例3.如果,那么等于（）
(A)1814.55(B)1824.55(C)1774.45(D)1784.45
分析与解：移项，得2005-200.5+20.05=x，解得：x=1824.55.答案为A.
【点拨】由于一元一次方程的形式、结构多种多样，所以在解一元一次方程时除了要灵活运用解一元一次方程的步骤外，还要根据方程的特定结构运用适当的解题技巧，只有这样才能降低解题难度.
例4.{[(x-1)-3]-3}=3
分析：观察本题中各个系数的特点，可以选择由外到内去括号的方法，从而可以一次性去掉大括号和中括号，既简化了解题过程，又能避开一些常见解题错误的发生.
解：去大括号，得(x-1)-3]-2=3
????去中括号，得
????去小括号，得-3-2=3
????移项，得+3+2+3
????合并，得
????系数化为1，得：x=17
名学生就餐，这样的话，2个小餐厅就可供2y个学生就餐，因此大餐厅就可共（1680-2y）名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2（1680-2y）+y=2280
解：（1）设1个小餐厅可供名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得
2（1680-2y）+y=2280
解得：y=360（名）
所以1680-2y=960（名）
答：（略）．
（2）因为，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．
【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可.
例6.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
分析：根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，就可以列出一元一次方程.
解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x
解得：x=155（元）
所以45+x=200（元）
答：（略）.
【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：
商品售价=商品标价×折扣率
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价
商品利润率=×100%
例7.（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
分析：这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元，同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费（100-5）=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.
解：设笔记本每本x元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得
10（x+2）+15x=100-5
解得，x=3（元）
所以x+2=5（元）
答：（略）.
【点拨】在情景问题应用中，捕捉等量关系是关键.
第四章图形认识初步
【知识点归纳】
多姿多彩的图形
从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
点、线、面、体
点：线和线相交的地方。
线：面和面相交的地方，线可分为直线、射线、线段
体：正方体、长方体、圆柱、球等都是几何体，几何体简称体。
面：包围着体的是面，面可分为平的面、曲的面。
直线、射线、线段
1.两点确定一条直线
2.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，
这个公共点叫做它们的交点。
两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
角
1.有且只有一个角
2.把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记做1°﹔把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′﹔把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
3.角的运算：1周角=360°，1平角=180°,1°=60′,1′=60″
4.角的平分线：A.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线上的一点到角的两边距离相等。线段、射线和直线的联系与区别联系：线段、射线、直线是部分与整体的关系.线段向一方无限延长形成了射线,向两个方向无限延长得到了直线.直线上的两点和它们之间的部分组成线段,直线上的一点及其一旁的部分是射线,射线反向延长得直线.
区别：
名称 延伸情况
有无长短 图示 表示法 端点个数 作图描述 备注 线段 不可延伸,有长短 ? 线段a或线段AB（BA） 2个 连结AB A、B两点无序 射线 向一个方向延伸,无长短 ? 射线AB 1个 以A为端点作射线AB A、B两点有序,端点在前,射线上一点在后 直线 向两个方向延伸 ? 直线l或直线AB（BA） 无端点 过A、B两点作直线AB A、B两点无序 1.下列说法中，错误的有（???）
射线是直线的一部分?画一条射线，使它的长度为3cm?线段AB和线段BA是同一条线段?射线AB和射线BA是同一条射线?直线AB和直线BA是同一条直线
A.1个???????????????????B.2个????????????????C.3个??????????????D.4个
【解析】B?线段与直线用两个大写字母表示时，两个字母的先后顺序可前可后，而射线必须是端点字母在前.
2.在同一平面内有A，B，C，D，E五点，任三点不在同一直线上，能画________条直线.
【答案】10.（1）田径运动中百米比赛的跑道是线段，起点与终点是它的两个端点.
（2）我们在晴朗的夜空中，有时能发现流星，它的运行轨迹可以近似看成直线.
【解析】（1）线段有两个端点.
（2）直线没有端点.
.下列说法中,错误的有（）
射线是直线的一部分画一条射线,使它的长度为3cm线段AB和线段BA是同一条线段射线AB和射线BA是同一条射线直线AB和直线BA是同一条直线
A.1个B.2个C.3个D.4个.平面内三点，可确定的直线的条数为（???）
A.3????B.0或1????C.1或3?????D.0
6.两点之间，____________最短.经过____________点有且只有一条直线.两点间的距离是指连接两点的____________..作下面线段：
（1）有不在同一直线上的三点，每两点连一条线段，问可以连几条线段；
（2）有四个点，且每三点都不在同一直线上，每两点连一条线段，问可以连几条线段；
（3）用这个图形中的原理解决一个实际问题.
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