七年级数学下学期期末复习知识归纳总结与典型例题
知识点（1）同一平面两直线的位置关系
知识点（2）三角形的性质
三角形的分类
<1>按边分
<2>按角分
知识点（3）平面直角坐标系
<1>有序实数对
有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做有序实数对，利用有序实数对可以很准确地表示（18）的位置。
<2>平面直角坐标系
在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两坐标轴的交点O为平面直角坐标系的（19）
三、中考考点分析
通常以填空题和选择题的形式考查，其中角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决实际问题是重点；平面直角坐标系的考查重点是在直角坐标系中表示点及直角坐标系中点的特征，分值为3分左右，考查难度不大；三角形是最基本的几何图形，三角形的有关知识是学习其它图形的工具和基础，是中考重点，考查题型主要集中在选择题和解答题。
典型例题
相交线与平行线
例一、如图：直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D
若∠1＝20°，∠2＝65°
则∠3＝＿＿＿
解析：∵a∥b（已知）
∴∠2＝∠DBC＝65°（两直线平行，内错角相等）
∵∠DBC＝∠1＋∠3（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴∠3＝∠DBC－∠1
＝65°－20°
＝45°
本题考查平行线性质和三角形的外角性质的应用
例二．将一副三角板如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是
A．45°B．50°C．60°D．75°
解析：∵AE∥BC（已知）
∴∠C＝∠CAE＝30°（两直线平行，内错角相等）
∵∠AFD＝∠E＋∠CAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
＝45°＋30°=75°故选D
本题解答时应抓住一副三角板各个角的度数
例三．如图，∠1＋∠3＝180°，CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数
解析：∵∠3＝∠5（对顶角相等）∠1＋∠3＝180°（已知）
∴∠1＋∠5＝180°（等量代换）
∴AD∥BE（同旁内角互补，两直线平行）
∵CD⊥AD（已知）
∴∠6＝90°（垂直定义）
又∵AD∥BE（已证）
∴∠6＋∠DCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DCE＝90°
又∵CM平分∠DCE（已知）
∴∠4＝∠MCE＝45°（角平分线定义）
例四．如图，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小
解析：∠x＋∠AEC＝180°，要求∠x，需求∠AEC．观察图形，∠1、∠2、∠AEC没有直接联系，由已知AB∥CD，可以联想到平行线的性质，所以添加EF∥AB，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠x之间的关于就比较明显了
解：过E点作EF∥AB
∴∠1＋∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3＝180°－∠1
＝180°－110°
＝70°
∵AB∥CD（已知），AB∥EF（作图）
∴CD∥EF（两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也平行）
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠4＝180°－∠2
＝180°－125°
＝55°
∴∠x＝180－∠3－∠4
＝180°－70°－55°
＝55°
平面直角坐标系
例五、在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2，到y轴的距离等于3的点的坐标是__________。
解析：到x轴的距离等于2的点的纵坐标有－2、＋2；到y轴的距离等于3的点的横坐标有＋3、－3，因此，满足条件的点的坐标有（3，2）、（3，－2）、（－3，2）、（－3，－2）
例六、如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（1，1）、（3，3）、（－4，1），则顶点C的坐标是＿＿＿
解析：∵A点纵坐标和D点的纵坐标相等
∴AD∥x轴
又∵AD∥BC
∴BC∥x轴
∴B点和C点的纵坐标相等
∴C点纵坐标是3
又∵A点与D点的距离为5〖｜1－（－4）｜横坐标差的绝对值〗
∴B、C两点距离也为5（AD＝BC）
∴C点的横坐标是－2
∴C点的坐标是（－2，3）
例七、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（－2，2），现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点
（1）请画出平移后的图像△A′B′C′（不写画法），并直接写出点B′、C′的坐标：
B′（＿＿＿＿＿）、C′（＿＿＿＿＿＿）
（2）若△ABC内部一点P的坐标是（a，b），则点P的对应点P′的坐标是（＿＿＿＿＿）
解析：（1）图略由A和A′的坐标可知：A点向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到
A′，所以B′坐标是（－4，1）；C′坐标是（－1，－1）
（2）．P′坐标是（a－5，b－2）
例八、若点（9－a，a－3），在一、三象限角平分线上，求a的值
解析：因为点（9－a，a－3）在一、三象限角平分线上，所以9－a＝a－3，解得a＝6
抓住一、三象限角平分线上的点的坐标特征：横、纵坐标相等，可将问题转化为a的一元一次方程
三角形
例九、如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求∠BHC的度数
解析：设∠A＝3x°，则∠B＝4x°，∠C＝5x°
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°（三角形三内角和为180°）
∴3x°＋4x°＋5x°＝180°
即12x°＝180°
∴x°＝15°
∴∠A＝45°
∴∠ABD＝90°－45°＝45°
又∵∠BHC＝∠BEC＋∠ABD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
＝45°＋90°＝135°
数学计算中经常涉及比的问题，用设比例系数的方法来解决，如本题中的比例系数为x
例十、下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边能否组成三角形
①3、5、2；②a、b、a＋b（a＞0，b＞0）；③3、4、5；
④m＋1、2m、m＋1（m＞0）；⑤a＋1、2、a＋5（a＞0）
解析：①∵3＋2＝5，∴以这三条线段为边不能组成三角形
②∵a＋b＝a＋b∴以a、b、a＋b为边的三条线段不能组成三角形
③∵3＋4＞5∴以3、4、5为边的三条线段能组成三角形
④∵（m＋1）＋（m＋1）＝2m＋2＞2m，
且（m＋1）＋2m＝3m＋1＞m＋1
∴以m＋1、2m、m＋1为边的三条线段能组成三角形
⑤∵（a＋1）＋2＝a＋3＜a＋5∴以a＋1、2、a＋5为边的三条线段不能组成三角形
点评：三角形三边关系可以用来判定已知三条线段的长，它们是否可以组成三角形，若能判断出最长的一条时，就只要将较小两边的和与最长的这一边比较；若不能判断哪一条最长，必须任意两边之和都大于第三边才可以
例十一、多边形的一个外角与其内角和的度数总和为600°，求此多边形的边数。
解析：设多边形的边数为n，一个外角为x°
依题意得（n－2）180°＋x°＝600°
即（n－2）180°＝600°－x°
∵（n－2）180°是180°的倍数
∴600°－x也是180°的倍数
∴x°＝60°，n＝5
∴此多边形的边数为5
例十二、如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数
解析：观察图形可知，此图形是由一个△ACE和一个四边形BDFG构成
∵∠A＋∠C＋∠E＝180°（三角形三内角和为180°）
又∵∠B＋∠D＋∠F＋∠G＝360°（四边形内角和为360°）
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°＋360°＝540°
若直接求出每一个角的度数再求其和显然是做不到的，因此，设法整体求值是解题的关键
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：自己将表格补充完整：
不等式组 在数轴上表示的解集 解集 口诀
x＞a 大大取大；
小小取小；
小大大小中间找；
空集 大大小小不见了。 相交线与平行线
【知识点】√
▲平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________
两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是。P3例；P82题；P97题；P352（2）；P353题
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足
做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短；
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）,内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧），同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。
P7例、练习1
平行公理：有且只有一条直线与已知直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//cP174题
平行线的判定。P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
P15练习；P177题；P368题。
平行线的性质。P21练习1，2；P236题
★命题：“如果+题设，那么+结论。”P22练习1
真、假命题P2411题；P3712题
平移的性质P28归纳
三角形和多边形
三角形内角和定理★
【重点题目】P763
例：三角形三个内角之比为2：3：4，则他们的度数分别为_____________
构成三角形满足的条件：三角形两边之和大于第三边。
判断方法：在△ABC中，a、b为两短边，c为长边，如果a+b>c则能构成三角形，否则（a+bc）不能构成三角形（即三角形最短的两边之和大于最长的边）
【重点题目】P64例；P692，6；P707
三角形边的取值范围：三角形的任一边：小于两边之和，大于两边之差（的绝对值）
【重点题目】三角形的两边分别为3和7，则三角形的第三边的取值范围为_____________
等面积法：三角形面积底高,三角形有三条高，也就对应有三条底边，任取其中一组底和高，三角形同一个面积公式就有三个表示方法，任取其中两个写成连等（可两边同时2消去）底高底高，知道其中三条线段就可求出第四条。例如：如图1，在直角△ABC中，ACB=，CD是斜边AB
上的高，则有
【重点题目】P708题
例直角三角形的三边长分别为3、4、5，则斜边上的高为_____________
等高法：高相等，底之间具有一定关系（如成比例或相等）
【例】AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，，则=_____________
三角形的特性：三角形具有_____________
【重点题目】P695题
外角：
【基础知识】什么是外角？外角定理及其推论
【重点题目】P75例2P765、6、8题
n边形的★内角和_____________★外角和_______√对角线条数为_____________
【基础知识】正多边形：各边相等，各角相等；正n边形每个内角的度数为_____________
【重点题目】P83、P84练习1，2，3；P843，4，5，6；P904、5题
√镶嵌：围绕一个拼接点，各图形组成一个周角（不重叠，无空隙）。
单一正多边形的镶嵌：镶嵌图形的每个内角能被整除：只有6个等边三角形（），4个正方形（），3个正六边形（）三种
（两种正多边形的）混合镶嵌：混合镶嵌公式：表示个内角度数为的正多边形与个内角度数为的正多边形围绕一个拼接点组成一个周角，即混合镶嵌。
【例】用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正方形，则m，n的值分别为多少？
平面直角坐标系
▲基本要求：在平面直角坐标系中
给出一点，能够写出该点坐标
给出坐标，能够找到该点
▲建系原则：原点、正方向、横纵轴名称（即x、y）
√语言描述：以…（哪一点）为原点，以…（哪一条直线）为x轴，以…（哪一条直线）为y轴建立直角坐标系
基本概念：有顺序的两个数组成的数对称为（有序数对）
【三大规律】
平移规律★
点的平移规律（P51归纳）
例将向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，则Q点的坐标为_____________
图形的平移规律（P52归纳）
重点题目：P53练习；P543、4题；P557题。
对称规律▲
关于x轴对称，纵坐标取相反数
关于y轴对称，横坐标取相反数
关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数
例：P点的坐标为，则P点
（1.）关于x轴对称的点为_____________
(2.)关于y轴的对称点为_____________
（3.）关于原点的对称点为_____________
3.位置规律★
重点题目：P442题填表▲；P454题求A、B、C、D、E各点坐标★;★P591题；★P4610题；
P468题归纳为√（了解）
二元一次方程组和不等式、不等式组
1.解二元一次方程组，基本的思想是；
2.二元一次方程（组）：含两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。把具有相同未知数的两个二元一次方程组合起来，就组成了二元一次方程组。（具体题目见本单元测试卷填空部分）
3.★解二元一次方程组。常用的方法有和。P96、P100归纳
4.★列二元一次方程组解实际问题。关键：找等量关系
常见的类型有：分配问题P1185题；P1084、5题；P102练习3；P1048题；P1034题；追及问题P1037题、P1186题；顺流逆流P102练习2；P1082题；药物配制P1087题；行程问题P99练习4；P1083，6题顺流逆流公式：
5.不等式的性质（重点是性质三）P1285、7题
6.利用不等式的性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来（课本上的练例、习题）P1342
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一；其中去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
用不等式表示，P1282题，P127练习2；P123练习2
利用数轴或口诀解不等式组（课本上的例、习题）
数轴：P140归纳
口诀（简单不等式）：同大取大，同小取小，大（于）小小（于）大取中间，大（于）大小（于）小，解不见了。
9.列不等式（组）解决实际问题：P12910；P1289题；P133例2；P1355、6、7、8、9，P139例2；P140练习2，P1413、4题
数据的收集整理与描述
【统计调查】
▲统计调查的步骤以及每个步骤所采取的方式（数据处理的一般过程）P177“一、本章知识结构图”
▲会用表格整理数据
▲常见的统计图有哪几种？理解各自的适用范围及画法P1607题；★P1795题；P1809题
【例】某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3
⑴如果来自甲地区的人数为180人，求这个学校的学生总数；
⑵若用扇形图描述数据,求出扇形各圆心角的度数。
★★全面调查与抽样调查的优缺点P158归纳P1593题
▲简单随机抽样的特点
√分层抽样：先将总体分成几个层，然后再在各个层中进行简单随机抽样。分层抽样获得的样本与样本的结构基本相同，与简单随机抽样相比，这种抽样能更好的反映总体。P158练习1；P1608
★抽样调查的几个概念及其应用：总体，个体，样本，样本容量
【重点题目】P1594题
【直方图】
▲用直方图描述数据的步骤（即做直方图的步骤）
计算最大值与最小值的差
决定组距与组数
√原则：当数据在100个以内时，按照数据的多少，分成512组
√组距：把所有的数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）
列频数分布表
√频数：各小组内数据的个数称为频数
画频数分布直方图
小长方形的面积表示频数。纵轴为。等距分组时，通常直接用小长方形的高表示频数，即纵轴为“频数”
频数分布折线图√根据频数分布图画出频数分布折线图:①取每个小长方形的上边的中点，以及x轴上与最左、最右直方相距半个组距的点。②连线
【重点题目】P1693、4题
x＞a
x＞b
b
a
x＜b
x＜a
x＞b
x＜a
x＞a
x＜b
A
CB
A
D
CB
图1
假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）
如果P点在第一象限，有a>0，b>0（横、纵坐标都大于0）
如果P点在第二象限，有a<0，b>0（横坐标小于0，纵坐标大于0）
如果P点在第三象限，有a<0，b<0（横、纵坐标都小于0）
如果P点在第四象限，有a>0，b<0（横坐标大于0，纵坐标小于0）
如果P点在x轴上，有b=0（横轴上点的纵坐标为0）
如果P点在y轴上，有a=0（纵轴上点的横坐标为0）
如果点P位于原点，有a=b=0（原点上点的横、纵坐标都为0）
O
y
第二象限第一象限
X
第三象限第四象限
平行于横轴（x轴）的直线上的点纵坐标相同
平行于纵轴（y轴）的直线上的点横坐标相同
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