连续进化金融模型与全局渐进化稳定策略

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连续进化金融模型与全局渐进化稳定策略3

杨招军秦国文

内容提要:本文运用达尔文生物进化论思想研究连续交易金融市场选择的动态变化

及一般均衡规律。本文发现并证明了:金融资产“赢利”的充要条件是该资产相对股息大

于相对股价;投资比例等于股息分发比例的简单混合策略是全局渐近进化稳定策略;在均

衡条件下,对应的金融资产价格等于该资产股息占总股息的比例的数学期望;市场变异或

金融创新是有效市场形成的动力;全局渐近进化稳定策略业绩可能在某些时候不是最好

的,但只要其初始财富大于零,最终将控制市场上的所有财富,而简单混合策略,可能在某

个时候业绩优良,然而,在市场存在全局渐近进化稳定策略的条件下,只要其初始财富份

额小于1,最终控制的财富趋向于零,从而被市场所淘汰。

关键词:进化金融市场选择全局渐近进化稳定策略金融创新资产定价

3杨招军,湖南大学经济与贸易学院,邮政编码:410082,电子信箱:[e-mail]。秦国文,湖南大学经贸学院,邮政

编码:410079;湖南社会科学院,邮政编码:410003,电子信箱:[e-mail]。本文是湖南大学“985工程”哲学社会科学创新基地

“经济开放与贸易发展”项目、湖南省自然科学基金资助项目(No104JJ3009)、湖南社会科学基金资助项目(No104YB062)的成果。本

文第一作者感谢英国利兹大学商学院KlausReinerSchenk2Hoppé教授在他访问期间给予的帮助。文中部分思想来自与Schenk2

Hoppé教授的讨论。作者感谢匿名审稿人的宝贵意见。

一、引言

现代经济学与金融学的一个核心思想是假设投资者为理性的,并以最大化期望收益为目标寻

求最优的投资决策。这一著名假设的依据来自Alchian(1950)、Friedman(1953)、Fama(1965)等人的

“市场或自然选择最终导致有效市场”的著名猜想,这一猜想的主要含义就是:如果投资者不以“期

望收益最大化”为目标进行理性决策,从长远来说,就会最终被市场所淘汰,就像“劣等生物”最终被

自然界所淘汰一样。需要强调的是,这里的理性决策要求投资者对未来有正确的预期,或者说对未

来可能出现的收益的概率分布有正确的估计,由此得到的一个基本结论是:金融资产(股票)的公平

价格等于未来股息收益流的贴现值的数学期望。然而,这一著名结论与Shiller(1981)经验检验相违

背,并引发最近的行为金融学对现代金融理论的的挑战。在行为金融学与现代金融学争论不休的

时候,最近,EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)通过建立离散时间进化金融动态模型,论证了

股票市场是进化稳定的充分必要条件为股票(相对)价格等于未来(相对)股息收益流的贴现值的数

学期望,从而为现代金融理论提供了新的理论依据。

金融模型可以简单地分为离散时间模型和连续时间模型两类,离散时间模型简单直观、易于分

析理解,然而,连续时间模型更符合金融交易的实际情形,并且往往可以更为充分地应用现代分析

工具,得到比离散时间模型更深刻的结果。事实上,现代数理金融模型一般是连续时间模型。

本文特色表现在:在EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)的离散时间进化金融动态模型基

础上,通过适当的极限运算,建立连续时间进化金融动态模型,更重要地,根据这一模型发现并证明

了:金融资产“赢利”的充要条件是该资产相对股息与相对股价的商大于1;投资比例等于股息分发

14

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比例的简单混合策略是全局渐近进化稳定策略;在均衡条件下,对应的金融资产价格等于该资产股

息占总股息的比例的数学期望;市场变异或金融创新是有效市场形成的动力,如果没有金融创新,

所有投资者都采用任意一个相同的简单混合策略,金融资产的价格就可能被扭曲成任何可能的价

位;全局渐近进化稳定策略业绩可能在某些时候不是最好的,但只要其初始财富大于零,最终将控

制市场上的所有财富,而对于其他任何不同的简单混合策略,可能在某个时候业绩优良,然而,在市

场存在全局渐近进化稳定策略的条件下,只要其初始财富份额小于1,最终控制的财富趋向于零,

从而被市场所淘汰。

相比EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)得到的局部渐近进化稳定策略,本文得到的全局

渐近进化稳定策略有着深远得多的意义,这些结论严格地说明了Alchian(1950)、Friedman(1953)、

Fama(1965)等的“市场或自然选择导致有效市场”的著名猜想成立的条件,在一定程度上,可以看成

是对现代金融学与行为金融理论争论的这一问题的一个折中回答。

二、连续交易资产配置动态模型

为了引出本文的连续模型,本节首先在EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)基础上,通过

非实质性的变动,建立一个离散的资产配置模型,然后,令交易时间间隔Δt趋向零,通过取极限导

出本节的连续交易资产配置动态模型。

假设市场中有K种不同的资产,每种资产的总量是固定的(不失一般性假设为1),资产价格完

全由供求唯一决定,每种资产在每个交易时刻前支付一定数量的股息(消费品),记为Dkt,k=1,Λ,

K,这里t是交易时刻,消费品的价格记为p0t,然后投资者消费,再将剩余的用来投资。所有投资者

根据策略不同分成I类,每一类投资者采用相同的策略,策略与投资者分类一一对应,故以后以策

略来代替对不同类型投资者的称呼。为了公平地比较不同策略的投资效果,假设每个策略在单位

时间内消费相同的财富比例,其值为确定的常数c>0。所有策略的投资比例固定且大于零(即简

单混合策略)。更具体地说,每个策略在每个资产都有投资(投资额大于零),投资额占财富比例是

非随机的,而且不随时间变化,为给出数学描述,记矩阵Λ=(λik)K×I,其中

∑

K

k=1

λik=1,0<λik<1,i=1,…,I(1)

则对应的简单混合策略可用矩阵Λ(1-cΔt)表示,其中

λik(Δt)≡λik(1-cΔt)(2)

表示策略i投资于资产k的比例。由此可知,在每个交易时刻,策略i用于消费的财富比例为1-

∑kk=1λik(Δt)=cΔt,即每个策略都是一样的。

假设每个策略控制的财富(对应的投资者类具有的财富)初值大于零,其财富收益来源是股息

和资本增益,所有策略选择的目的就是使其控制的财富比例最大化,如果这个比例数趋于零,就意

味着该策略被市场所淘汰,如果比例数趋于1,就表明控制了市场所有财富或资产,也就是说,所有

投资者都采用该策略进行投资,此时,相应的投资比例惟一决定了各资产的价格。

记策略在时刻t控制的财富为wit,向量wt≡(w1t,Λ,wIt),这里符号“′”表示矩阵转置运算,向

量λk(Δt)≡(λ1k(Δt),Λ,λIk(Δt))′,向量λk≡(λ1k,Λ,λIk)′。又记策略i在时刻t占有资产k的份额

为θit,k,显然有

θit,k=λ

i

k(Δt)w

i

t

λ′k(Δt)wt=

λikwit

λ′kwt(3)

于是,根据EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)的结果,我们得到如下离散时间财富配置的动

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态方程:

wit+Δt=∑

K

k=1

(p0t+ΔtDkt+Δt+λ′k(Δt)wt+Δt)θit,k,i=1,…,I(4)

假设作为股息的消费品是不能储存的(perishable),因此每个时期的消费总量等于作为股息的消费

品总量,于是有如下市场结清条件

∑

I

i=1∑

K

k=1

p0t+ΔtDkt+Δtθit,k=∑

I

i=1

cΔtwit+Δt3(5)

因为对每种资产,各策略占有的份额之和等于1,即

∑

I

i=1

θit,k=1(6)

于是,市场结清条件成为

p0t+ΔtDt+Δt=cΔtWt+Δt(7)

其中Dt+Δt、Wt+Δt分别表示在时刻t+Δt分发的消费品总量以及分发股息后且为消费前市场财富总

量,即

Dt+Δt≡∑

K

k=1

Dkt+Δt,Wt+Δt≡∑

I

i=1

wit+Δt3(8)

可以把每个资产看成是生产消费品的“机器”,购买资产是因为“机器”能带来消费品,市场财富

总量就是这些“机器”的价值总和Wt+Δt,应该是固定的(不随时间变化),但模型(4)并不具有这一

特点,原因是由供求决定的价格必然随供求变化而发生改变。

特别指出,策略绩效评价不宜光看财富总量多少,更要看决定于策略控制的相对财富的变化。

为此,记rit表示策略i在时刻t控制的相对财富,即rit≡witPWt,以及dkt+Δt表示资产k在时刻t+Δt

支付的消费品占总消费品的比例,即dkt+Δt≡Dkt+ΔtPDt+Δt,则由(4)、(7)式得到各策略控制的财富比

例变化的动态方程

rit+Δt=∑

K

k=1

(cΔtdkt+Δt+λ′k(Δt)rt+Δt)θit,k,i=1,…,I(9)

其中向量rt+Δt=(r1t+Δt,Λ,rIt+Δt)表示各策略在时刻t+Δt控制的财富比例。

引入矩阵Θt≡(θit,k)I×k,向量,则可以得到(9)的矩阵形式

rt+Δt=cΔt[Id-(1-cΔt)ΘtΛ]-1(Θtdt+Δt)(10)

其中Id表示I阶单位矩阵。

因Δt>0,仿照EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)命题1的证明,易证,逆矩阵[Id-(1-

cΔt)ΘtΛ]-1存在,所以,由股息、策略及当前财富比例可以惟一决定下一个时刻的财富比例。

为简化叙述,记矩阵A≡(ai,j)I×I≡ΘtΛ,向量zΔt≡(ziΔt)I×1≡Θtdt+Δt,不难证明

∑

I

i=1

ai,j=1,j=1,…,I,∑

I

i=1

ziΔt=1(11)

由于一般情况(I>2)不能集中凸现问题的要点,而且,策略的优劣可以通过两两比较体现出来,所

以,以下假设市场上仅有两个不同的简单混合策略,即I=2。于是,根据(10)式得到

定理1假设市场上仅有两个不同的简单混合策略,则策略控制的财富比例满足

r1t+Δt=1-r2t+Δt

r2t+Δt=cΔtz

3

Δt-(cΔt-1)a2,1

(a1,2+a2,1)+cΔt(a2,2-a2,1)

(12)

以及

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limΔ

t→0+

r1t+Δt=r1t,limΔ

t→0+

r2t+Δt=1-r1t=r2t3(13)

从经济意义角度(13)式是显然应该成立的,但仍然有必要通过离散模型(19)证明这一点。本

文把繁琐的数学证明都放在附录部分,此外,涉及到随机过程的条件与结论都是指几乎处处成立。

下面列出本节的主要结果,即连续交易资产配置动态模型:

定理2假设相对股息过程(dkt)t>0,k=1,Λ,K是外生的轨道连续的随机过程,则策略1、策略

2控制的财富比例过程r1t,r2t分别是如下具有随机系数的随机微分方程的解:

dr1t

dt=

cz10-cr1t

a1,2+a2,1=c

∑Kk=1λ1kr1td

k

t

λ1kr1t+λ2k(1-r1t)-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1kr1t+λ2k(1-r1t)

(14)

以及

dr2t

dt=

dr1t

dt=

cz20-cr2t

a1,2+a2,1=c

∑Kk=1λ2kr2td

k

t

λ1k(1-r2t)+λ2kr2t-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-r2t)+λ2kr2t

(15)

参与市场竞争的策略1与策略2的地位是对称的,所以连续模型(14)与(15)本质上是一样的,

不失一般性,这里主要给出模型(15)蕴含的经济意义。

首先注意到,不同于离散模型,连续模型(14)、(15)中λik表示策略i投资于资产k的财富比例,

因此,在时刻t投资于资产k的相对总量就是λ1k(1-r2t)+λ2kr2t,由于每个资产的总量都规范化为

1,故相对总量λ1k(1-r2t)+λ2kr2t实际上就是资产k的相对价格,以后将其记为pkt,从(14)或(15)容

易得到如果相对股息dkt小于相对价格pkt,则该资产导致投资者的总财富份额减少;反之,则出现完

全相反的情形。

所以,如果给出如下定义:

定义1所谓“赢利”投资就是指使投资者财富占有比例增加的投资。

则模型(15)从理论上论证了如下直观结论的正确性:

推论1评价一个金融资产投资是否“赢利”的标准是该资产相对股息与相对股价的商;“赢

利”的充要条件是相对股息与相对股价的商大于1,等价地说,“赢利”的充要条件是相对股息大于

相对股价。

模型(15)还表明,策略2的组合投资λ2k,k=1,…,K导致的财富比例是增加还是减少决定于

所有资产的相对股息与相对股价的商的加权和是否大于零,而与消费速率c的大小无关,但消费速

率越大,财富比例增加或减少的速度就会越快。

三、全局渐近进化稳定策略

本节首先证明,对任意外生的相对股息过程和任意给定的简单混合策略,连续模型(14)、(15)

惟一地确定了对应的的财富比例变化过程,同时指出财富比例变化的动态性质,然后导出全局稳定

进化策略,确定资产一般均衡价格。首先给出

定理3对于任何初始条件r10,r20∈[0,1],r10+r20=1、外生给定的连续相对股息过程以及简单

混合策略0<λ1k<1,0<λ2k<1,k=1,…,K,具有随机系数的微分方程(14)、(15)具有惟一的解过程

{r1t,r2t}t≥0。对应的解分别表示为:

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r1t=r10+c∫

t

0

∑Kk=1d

k

uλ

1

k

λ1kr1u+λ2k(1-r1u)-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1kr1u+λ2k(1-r1u)

r1udu(16)

以及

r2t=r20+c∫

t

0

∑Kk=1d

k

uλ

2

k

λ1k(1-r1u)+λ2kr2u-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-r2u)+λ2kr2u

r2udu(17)

容易验证,对应(16)、(17)的解满足r1t+r2t=1。此外,容易看出,(14)、(15)有两个显然的固定

解(稳定点):对所有的t,r1t=0,r2t=1或者r1t=1,r2t=0。根据解的唯一性,对任何初始条件r10,r20

∈(0,1),r10+r20=1,对应的解必然满足00,出现r1t=1,r2t

=0,这表明通过相空间的点(1,0)有两个轨道,另一个就是稳定点:对所有的t,r1t=1,r2t=0。这与

定理3关于解的唯一性结论相矛盾。于是,我们得到:

推论2对于初值条件ri0=0(1),i=1,2,对所有t>0,相应的解恒有rit=0(1)(稳定点);对于

初值条件00,相应的解恒有0
该推论同时表明,对于简单混合策略永远也不会出现破产,更不会出现负债现象。但是,我们

将看到,若其中有一个是最优的策略,即全局渐近进化稳定策略,而另一个策略是与其不同的任何

其他简单混合策略,则该策略占有的财富比例将无限趋向于零。我们给出全局渐近进化稳定策略

定义如下:

定义2如果策略i,即λik,k=1,…K,满足:对任何与策略i不完全相同的策略j,以及策略i

控制的任何大于零的初始财富比例,即ri0>0,策略i控制的财富比例随着时间的推移最终趋向于

1,即有limt→∞rit=1。则称策略i是全局渐近进化稳定的。

注3在离散时间交易条件下,EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)得到了局部渐近进化

稳定策略,但是,局部渐近进化稳定与全局渐近进化稳定有着重大的区别,前者要求初值ri0充分靠

近1,而本文讲到的全局渐近进化稳定策略只要初值ri0>0即可。因此,本文的结论比Evstigineev

HensandSchenk2Hoppé(2006)要深刻得多。此外,Evstigineev,HensandSchenk2Hoppé(2005)同样得到

了一个全局渐近进化稳定策略,与本文有一些相似之处。但是,该文研究的是离散模型,且其全局

渐近进化稳定策略的推导很复杂。本文研究的是连续模型,采用了完全不同的推导方法,通过求解

一个数学规划问题,巧妙而又简单地得到了全局渐近进化稳定策略。

为了导出本文的全局渐近进化稳定策略,假设相对股息是均值平稳的独立过程,满足E=

(dkt)≡珔dk,k=1,Λ,K,显然∑Kk=1珔dk=1,0<珔dk<1。记λ3≡(λ31,…,λ3K)′,其中λ31≡珔d1,…,

λ3K≡珔dK,容易看出λ3是一个简单混合策略,不仅如此,我们将证明λ3就是全局渐近进化稳定策

略。为此,定义函数

G(λ1,λ2,x)≡c

∑Kk=1珔dkλ

2

k

λ1k(1-x)+λ2kx-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-x)+λ2kx

x(18)

先给出如下引理:

引理1假设向量λ2=(λ21,…,λ2K)是任意一个与λ3不同的简单混合策略,则对每个x∈(0,

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1),恒有G(λ3,λ2,x)<0。

注意到(15)可以等价地写成

dr2t

dt=G(λ

3,λ2,r2

t)+c

∑Kk=1(d

k

t-珔dk)λ

2

k

λ1k(1-r2t)+λ2kr2t

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-r2t)+λ2kr2t

r2t(19)

对于任何初始条件0
边第2项是均值为零的随机波动,因此,对于充分大的时间t,r2t必将充分靠近零。我们得到如下

结论:

定理4假设外生的相对股息过程dkt,k=1,…,K是均值平稳过程,且相对股息独立于当前财

富水平(rit),i=1,2。取简单混合策略λ1=λ3,λ2≠λ1,初始条件满足0
即简单混合策略λ3是全局渐近进化稳定的策略,其控制的财富比例趋向于1,策略2控制的财富

比例趋向于零,从而最终策略2被市场所淘汰。具体地有

lim

t→∞r

1

t=1(m.s.),limt→∞r

2

t=0(m.s.)(20)

其中m.s.表示均方收敛。

要说明的几点是:(i)很明显,该定理实际上也表明了:全局渐近进化稳定策略是惟一的,对应

的稳定点是全局渐近进化稳定的,是不可侵入的,同时,任何其他的简单混合策略都是可以被侵入

的,从而对应的稳定点是进化不稳定的;(ii)通过计算机仿真计算表明,只要相对股息是均值平稳

的随机过程,定理结论依然成立,但我们目前还不能从数学上证明这一点;(iii)“侵入”就是变异,

相当于金融学的金融创新。

因为金融资产的相对价格由供求关系通过等式pkt=λ1kr1t+λ2kr2t(k=1,…,K)而惟一确定,于

是,在所有投资者都采用相同的策略以及一般均衡条件下,分别得到如下金融资产的定价公式:

推论3如果所有投资者都采用相同的简单混合策略:λ=(λ1,…,λK)′,则金融资产的价格

恒等于相应的投资比例,即pkt=λk,k=1,…,K;如果市场中有一个策略是λ3,即投资比例等于相

对股息的平均值:λ31=珔d1,…,λ3K=珔dK,则在均衡条件下,只要另外的策略是简单混合策略,金融

资产的价格等于相对股息的平均值,即有pkt=珔dK=E(dkt),k=1,…,K。

推论中所有投资者采用相同的投资策略,实际上就是市场上只有一个策略,即该策略控制的财

富比例等于1。由于这种极端策略惟一地决定了各资产的价格,所以不同的极端策略就会形成许

多不同的价位,包括各种价格扭曲。实际上,只要某个策略控制的财富比例很大(接近1),也会产

生类似的现象。因此,该推论从理论上说明了为什么大的机构投资者可以操纵某只股票的价格走

势,同时,该理论也说明了“噪声”交易者有可能比“理性投资者”在某个短时期内获得更多的利润。

但是,只要这种极端策略不是本文中的λ3,即根据相对股息分配投资比例,那么它就是进化

不稳定的,就会被侵入。如果这个侵入为λ3,那么,根据定理4,不管侵入λ3控制的初始财富比例

多么小,它总是会由小到大,最终趋向于1。因此,变异或金融创新是有效市场形成的原动力,如果

没有变异,任何极端策略将始终存在,从而不可能形成有效市场,金融资产可形成各种可能的扭曲

价格。总之,从长远来看,以平均股息作为作为投资比例的理性投资者是不可战胜的,在一般均衡

条件下,金融资产的相对价格等于相对股息的平均值。

四、总结与进一步研究建议

本文运用达尔文生物进化论思想研究连续交易金融市场的财富配置动态变化及一般均衡规

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律,作为随机模型的惟一随机信息源是金融资产的相对股息。不同于一般的金融模型,本文的金融

资产价格是内生决定的,投资者的决策本身会影响到价格的变化。同时,本文不是讨论单个投资者

如何投资决策,而是将投资者根据决策分类,同一类投资者采用相同的决策或策略,策略的绩效以

其控制的财富的增减来刻画。

本文的创新表现在:建立了与EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)离散模型对应的连续交

易资产配置动态模型,得到了EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)相应的结论。除此之外,本

文从理论上论证了金融资产“赢利”的充要条件是该资产相对股息大于相对股价。特别是,不同于

EvstigineevHensandSchenk2Hoppé(2006)得到的局部渐近进化稳定策略,本文得到了比其意义深远

得多的全局渐近进化稳定策略。这些结论丰富了Alchian(1950)、Friedman(1953)、Fama(1965)等的

“市场或自然选择导致有效市场”的著名猜想,并对这一猜想提供了严格的理论依据。

最后指出,当前金融文献论述单个投资者的最优决策问题最为常见,例如Merton(1990),Yang

andMa(2001),杨招军(2005)。但是单个投资者控制的资金微不足道,他们的任何交易对金融资产

的价格影响可以忽略不计。所以,本文的结论对单个投资者决策的指导意义不大。与此不同,机构

投资者控制着巨大的资金,他们的交易对股票价格的变化可能产生很大的影响,所有认为价格与决

策无关的金融模型都是欠妥的,必须象本文一样将价格看成是模型内生的变量。因此,本文结论对

机构投资者有着直接的指导意义。

附录

定理1的证明矩阵Id-(1-cΔt)ΘtΛ各列的和恒等于cΔt。从而运用线性代数的Grammer法则,并注意到

I=2,根据(10)式得到

r1t+Δt=

z1Δt(cΔt-1)a1,2

z2Δt1+(cΔt-1)a2,2

11

(cΔt-1)a2,11+(cΔt-1)a2,2

r2t+Δt=

1+(cΔt-1)a1,1z1Δt

(cΔt-1)a2,1z2Δt

11

(cΔt-1)a2,11+(cΔt-1)a2,2

于是利用(11)式的z1Δt+z2Δt=1,(12)式得证。

下证(13)式,由(12)式,显然有

limΔ

t→0+

r1t+Δt=a1,2a

1,2+a2,1

注意到

a1,2=∑

K

k=1

λ1kλ2k

λ′krtr

1

t,a2,1=∑

K

k=1

λ1kλ2k

λ′krt(1-r

1

t)

我们得到

a1,2+a2,1=∑

K

k=1

λ1kλ2k

λ′krt=

a1,2

r1t

从而(13)式得证。

定理2的证明由(12)式,利用L’Hopital定理,立即得到

limΔ

t→0

r1t+Δt-r1t

Δt=

cz10-cr1t

a1,2+a2,1

根据(11)式前面的zΔt的定义及定理1的证明(14)式得证。最后,注意到t1t+r2t=1,(15)式显然成立。

定理3的证明若(14)式、(15)式的解存在,则(16)式、(17)式显然成立,又由于(14)式、(15)式的类似性,所以

只证(15)式存在惟一解。为此,定义函数

f(X)≡c

∑Kk=1d

k

tλ

2

k

λ1k(1-X)+λ2kX-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-X)+λ2kX

X(A.1)

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于是随机微分方程(15)式可以表示为

dX

dt=f(X),X0=r

2

0∈[0,1](A.2)

不难看出,函数f(·)在区间[0,1]上连续可微,而且f(0)=f(1)=0,所以对每个ω∈Ω及每个初值r20∈[0,1],

随机微分方程(A12)的相空间是区间[0,1]的子空间。所以,根据Soong(1973)的定理51112,只需证明函数f:Ξ→L2

满足如下均方Lipschitz条件:

‖f(X)-f(Y)‖≤α‖X-Y‖,α>0(A.3)

这里Ξ与L2分别表示取值于[0,1]的随机变量集合与具有范数‖X‖≡(E[X2])1P2的L2空间,参见Soong

(1973)。事实上,因为对任何X,Y∈Ξ,

0
以及

0
1

kλ

2

k

λ1k(1-X)+λ2kX≤max(λ

1

k,λ

2

k),k=1,…,K(A.5)

所以

|f(X)-f(Y)|≤cX

∑Kk=1d

k

tλ

2

k

λ1k(1-X)+λ2kX-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-X)+λ2kX

-

∑Kk=1d

k

tλ

2

k

λ1k(1-Y)+λ2kY-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-Y)+λ2kY

+c

∑Kk=1d

k

tλ

2

k

λ1k(1-Y)+λ2kY-1

∑Kk=1λ

1

kλ

2

k

λ1k(1-Y)+λ2kY

(X-Y)

(A.6)

定义

λm≡min{λ1k,λ2k|k=1,…,K},λM≡max{λ1k,λ2k|k=1,…,K}(A.7)

则根据(1)式得到0<λm≤λM<1于是,经过亢长的计算,由(A16)式得到

|f(X)-f(Y)|≤2cλmλM+cλ

2

M

Kλ4m|X-Y|

因此,取

α=2cλmλM+cλ

2

M

Kλ4m

则由范数的性质(A13)式成立。

引理1的证明显然只要证:对任何向量λ2≠λ3以及每个x∈(0,1),恒有

H(λ3,λ2,x)≡∑

K

k=1

珔dkλ2k

珔dk(1-x)+λ2kx

-1<0

为此,考虑如下非线性规划问题

max

λ21,…,λ2K

H(λ3,λ2,x)

s.t.∑

K

k=1λ

2

k=1

0<λ2k<1,k=1,…,K

(A.8)

不难证明,该多元规划问题的目标函数是决策变量的严格凹函数,约束条件是决策变量的凸函数,所以非线性

规划问题(A18)式有惟一的全局最优解,我们将证明,这个全局最优解就是λ2=λ3。

容易算出,相应的最优目标函数值H(λ3,λ3,x)=0。从而,对任何向量λ2≠λ3以及每个x∈(0,1),恒有H(λ3,

λ2,x)
L(λ2,μ)≡H(λ3,λ2,x)-μ∑

K

k=1

λ2k-1

84

杨招军、秦国文:连续进化金融模型与全局渐进化稳定策略

?1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net

于是

9L(λ2,μ)

9λk=

珔d2k(1-x)

[珔dk(1-x)+λ2kx]2

-μ=0

注意到显然有μ>0,从而得到

珔dk=珔dk(1-x)μ1-x+λ2kx,k=1,…,K(A.9)

两边关于k求和得到

μ=1-x(A.10)

将(A110)式代入(A19)式立即得到

λ2k=珔dk,k=1,…,K

即λ2=λ3。容易验证λ2=λ3满足(A18)式的约束条件。至此,引理1得证。

定理4的证明根据定理的假设,由(19)式得到

9(Er2t)

9t=E[G(λ

3,λ2,r2

t)]

由于初值条件0
9E(r2t)

9t=E[G(λ

3,λ2,r2

t)]<0

所以E(r2t)是单调减少的,而且显然有E(r2t)>0,从而limt→∞E(r2t)=0。同时由推论2知r2t>0恒成立。

所以

lim

t→∞r

2

t=0(m.s.)

最后,注意到r1t+r2t≡1,于是立即得到

lim

t→∞r

1

t=1(m.s.)

定理证毕。

参考文献

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(下转第61页)

94

2006年第5期

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TeohS.H,WelchIandWongT.J.,1998,“EarningManagementandtheLong2runMarketPerformanceofInitialPublicOfferings”,Journal

ofFinance,53.

EvolvementofMarketizationandImprovement

ofCapitalAllocationEfficiency

FangJunxiong

(AccountingDepartment,ManagementSchool,FudanUniversity)

Abstract:Sincethereformandopening2up,China’seconomyhasbecomemoreandmoremarketorientated.Weconcernwhat

effectthemarketizationhasbroughttooureconomicdevelopment,andwhetheritimprovedthecapitalallocationefficiencyand

facilitatedeconomicdevelopment.Thisarticlestudiedtheinfluenceofmarketizationoncapitalallocationefficiencybasedon

Wurgler(2000)model.AndwefoundthatChinesecapitalallocationefficiencyhasimprovedwiththedeepnessofmarketization.

KeyWords:Marketization;CapitalAllocationEfficiency;TransitionalEconomy

JELClassification:L330,P200

(责任编辑:松木)(校对:子璇)

(上接第49页)

ContinuousTimeEvolutionaryFinancialModelandGlobally

AsymptoticallyEvolutionaryStableStrategies

YangZhaojun

(SchoolofEconomicsandTrade,Hu’nanUniversity)

QinGuowen

(Hu’nanAcademyofSocialSciences;SchoolofEconomicsandTrade,Hu’nanUniversity)

Abstract:ThispaperanalysesdynamicsandgeneralequilibriumproblemofcontinuoustradingmarketselectionbymeansofDarwin

evolutionaryideas.Inthissettingtherearelotsofassets,eachofwhichgeneratesrelativedividendexogenouslyandindependently

onpresentamountofwealth.Expectedrelativedividendsareconstantallthetimeandtheassetpricesareendogenously

determinedbysupplyanddemand.Thereexistonlytwokindsofinvestorswhoinvestaccordingtofix2mixstrategies.Thispaper

showsthatanassetgainsprofitifandonlyifitsrelativedividendismorethanitsrelativeprice.Thefix2mitinaccordwith

expectedrelativedividendsisgloballyasymptoticallyevolutionarystableandassetpricesequaltoexpectedrelativedividendsina

equilibrium.Itisfinancialinnovationthatmakesmarketseffective.Withoutfinancialinnovation,theassetpricescanbetwisted

intoanythingavailable.TheseconclusionscontributetonaturalselectionhypothesisbelievedbyAlchian(1950),Friedman(1953)

andFama(1965)andprovidearigorousanalysistothehypothesisaswell.

KeyWords:EvolutionaryFinance;MarketSelection;GloballyAsymptoticallyEvolutionaryStableStrategies;Financial

Innovation;AssetPricing

JELClassification:G11,D52,D81

(责任编辑:唐寿宁)(校对:子璇)

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2006年第5期