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[八年级上学期数学提高系列之三]
【励志故事】
去掉篮筐的底
据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子．每当球投进的时候，就有一个专门的人踩在梯子上把球拿出来．为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少紧张激烈的气
氛．为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想．有一位发明家甚至制造了一种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来．
终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛．小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取
球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，于是才有了今天我们看到的篮筐样式．
启示：去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到．听来让人费解，然而这个简单的“难题”却困扰了人们多年．可见，无形的思维定势就像那个结实的篮子禁锢
了我们的头脑，使得我们的思维就像被“囚禁”在了篮筐里．于是，我们笨拙地去搬梯子、去制造机器……
生活中许多时候，我们只需动用简便的工具，去弄掉那些妨碍我们的“篮筐底”，生活
原本并没有那么复杂．
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八年级上学期数学提高训练（三）
［知识要点］
1．算术平方根、平方根、立方根(1)算术平方根的定义及性质：
算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，那么这个数叫做的算术平方根，记作：，读作：二次根号a．0的算术平方根是0．
算术平方根的性质：，即当0a时，aa=2，当0
（2）平方根的定义及性质：平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．
记作：a±，读作：正负二次根号a．平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；负数没有平方根．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方．
（3）立方根的定义及性质：立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．
记作：，读作：三次根号a．立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根．
开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方．2．平方根与算术平方根的区别与联系（1）区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而
一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a的平方根表示为a±，正数a的算术平方根表示为a；④取值范围不同：正数的算
术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负．（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的
那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③0的平方根与算术平方根都是0．
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3．与的对比(1)意义不同：表示的算术平方根的平方，而表示的平方的算术平方根；
(2)的取值不同：中的取值是，而中的取值是任意实数；(3)运算顺序不同：是先开算术平方根再平方，是先平方再开算术平方根；
(4)运算结果不同：；．联系：当时，．
4．无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，可以化成分数．一个有理数a与一个无理数b进行四则运算时，
a＋b、a－b都是无理数；
当a≠0时，ab、abba,都是无理数，当a＝0时，ab、ba都是有理数．5．无理数的特征
（1）无理数的小数部分位数无限；（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．
6．无理数的常见类型主要有三类：（1）圆周率及含有的数；（2）看似循环而实质不循环的数，如
0.80808008…（相邻两个8之间0的个数逐次增加）；（3）开方开不尽的数，如3．7．实数的定义：有理数和无理数统称实数．
8．实数的分类
9．实数与数轴上的点一一对应即数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个
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点与之对应．(1)实数可比较大小，在数轴上“左＜右”；
(2)实数继承有理数中的绝对值、相反数等概念；(3)实数继承有理数中的运算法则，并保持运算律．
［同步练习］
一、选择题
1．无理数是（）A．无限循环小数B．开方开不尽的数
C．除有限小数以外的所有实数D．除有理数以外的所有实数2．和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数3．若,xy为实数，在下列式子中，能使xy=成立的是（）
A．xy=B．22xy=C．33xy=D．332xy=4．下列等式正确的是（）
A．864=B．()222=C．()662=D．636±=5．要使()11
33=aa成立,那么a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aD．一切实数
6．下列语句：①的平方根是±9；②±2m是4m2的平方根；③若=3，则x=3；④把49开平方得7．其中正确的个数为（）
A．0B．1C．3D．47．在绝对值不超过10的数中，平方根和立方根都为整数的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题8．在0、、0.01、16、3中，属于无理数的是．
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9．()___6___;243___;641___;12588563====．
10．已知=1.25，则0.0015的平方根是．1．（1）平方根等于它本身的数是；（2）立方根等于它本身的数是．
12．（1）的平方根是；（2）某自然数的算术平方根是a，则与此自然数相邻的下一个自然数的平方根是．
13．已知22390(3)xyxx+=+，则xy的值等于．
三、解答题14．求下列各式中的x：
（1）29360x；（2）3(31)270x+；（3）2120x．
15．已知14x2=49，且y3+8=0，求x＋y的值．
16．若为实数，且，化简．
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17．如图，我们在数轴上以单位线段为边作一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A，则OA的长就是2个单位．动手试一试，你能用
类似的方法在数轴上找出表示3，－5的点吗？矩形对角线的平方等于矩形长的平方与宽的平方的和．（提示：()()222213+，()()222215+）
18．(1)化简；(2)已知数M的平方根为及，求M．
19．已知小数部分为，小数部分为，求．
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20．已知A=是a+2的算术平方根，B=是2－b的立方根，求A＋B的二次方根．
21．观察下列各式：322322=，833833=，15441544=，…（1）请验证以上各式是否成立，并写出验证过程；
（2）用含字母n的式子表示以上规律，并给出证明．（提示：=，a≥0、b≥0）
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