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[八年级上学期数学提高系列之一]
【励志故事】
白龙马和骡子
自从白龙马和唐僧西天取经归来，他就成了佛，放在寺庙里供大家敬拜．
有一天，一只骡子路过那座庙，被白龙马的故事感动了，就决定要像白龙马学习，勤奋
自强．于是每天不停的绕着寺庙磨磨，希望有一天也能立地成佛．可是很多年过去了，生活依然没有任何改变．终于有一天，骡子忍不住去问白龙马：“为什么你去了一趟西天就能成
佛，而我每天辛勤劳作就始终不能成佛呢？”白龙马笑着看着骡子，说：“其实你走的路程加起来，与我去西天取经的路程差不多，唯一的差别就是——我是朝着一个方向不停的走，
而你却始终在原地打转．”
其实在生活中，很多人就像骡子一样，不停的劳作，并且抱怨声声．很多年以后，还是那副老样子，没有多大的改变，甚至还不如从前．为什么？儿时语文老师总会布置一篇作文，
题目是“我的理想”，那时候，我们有很多理想，也许是科学家，也许是飞行员，也许······为什么长大了反而模糊了我们的理想与目标？我们的理想被谁偷走了吗？没
有人偷走我们的理想，我们的理想只是在不停的原地打转时磨灭了．
人类的伟大，在于他有理想．有理想有热情的人才能成就人生．朝着那个理想，坚定不移的走下去，成功一定属于我们每一个人．
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八年级上学期数学提高训练（一）
［知识要点］
1．全等图形：在实际生活中，存在着许多图形，若将它们叠在一起，能够完全重合，亦即它们的形状、大小相同，我们就称这种能够完全重合的图形为全等图形．
2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．3．全等三角形性质、符号：（1）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）符号：“≌”读做“全等于”，如△ABC和△A’B’C’全等，记作△ABC≌△A’B’C’．4．结合图形用符号语言写出全等三角形性质
如图，∵△ABC≌△A’B’C’，∴∠A＝∠A’、∠B＝∠B’、∠C＝∠C’，AB＝A’B’、AC＝A’C’、BC＝B’C’（全等三角形对应角相等，对应边相等）
书写全等三角形时，应注意把对应顶点写在对应的位置．5．三角形全等判定
（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等，简写“边边边”或“SS”（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”
（3）角角边：两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AS”注意：（2）、（3）中必须是“两角夹一边”或“两角及其中一角的对边”对应相等，
不能理解为“两角和任意一边”．（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写“边角边”或“SAS”
（5）斜边、直角边（HL）：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．6．证明三角形全等的基本思路
(1)已知两边：①找夹角→SAS，②找另一边→SS；(2)已知两角：①找夹边→ASA，②找任一边→AS或ASA；
(3)已知一边一角：①边为角的对边：找任一角→AS或ASA，②边为角的邻边：找夹角的另一边→SAS，
找另一角→AS或ASA．7．角平分线定理
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CED
B
O
A
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
8．常见的构造全等辅助线的作法（1）延长中线构造全等；（2）沿角平分线翻折构造全等；
（3）作平行线构造全等；（4）作垂线构造全等；（5）沿高线翻折构造全等；（6）绕点旋转构造全等.
［同步练习］
一、选择题
1．下列条件中，不能判定三角形全等的是（）A．三条边对应相等B．两边和一角对应相等
C．两角和其中一角的对边对应相等D．两角和它们的夹边对应相等2．图中全等的三角形是（）
A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ
3．如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED=（）
A．70°B．85°C．65°D．以上都不对4．下列说法中不正确的是（）
A．全等三角形的对应高相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等D．面积相等的两个三角形全等
5．在△ABC中，∠A=∠C，若与△ABC全等的三角形有一个角为96°，那么这个角在△ABC中对应的角是（）
A．∠AB．∠BC．∠CD．∠A或∠C6．到三角形三条边距离相等的点是（）
A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
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AD
E
BC
321
DE
CBA
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，则斜边AB的长为（）
A．8cmB．10cmC．12cmD．20cm
8．如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋
转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）A．AE=CDB．AE＞CDC．AE＜CDD．无法确定
二、填空题9．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，
那么图中全等三角形共有______对．
10．如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配
一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带____去配．1．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则α＝度．12．AD为△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是______．
三、解答题13．如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：B=C．
③①②
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BAF
ECD
14．如图，B、F、E、D在一条直线上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：（1）△DFC≌△BEA；（2）△AFE≌△CEF．
15．已知：在中，，AD平分交BC于D点，
求证：AC=AB+BD．（用两种方法证明）
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BC
DE
A
21
16．求证：三角形一边的两端到这边的中线或中线的延长线的距离相等．
17．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2．求证：BD＝2CE．
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L3
L2
L1
DCB
A
18．如图，有三条高速公路321,,LLL两两相交，（1）若在三条公路所夹的内部建造一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，
问如何确定加油站的位置？（2）若在三条公路的周边建造满足上述条件的加油站，有几种方案？
19．如图,已知△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD.求证：DC⊥AC.
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ONM
FE
CB
A
20．如图,在△ABC的AB、AC边的外侧作等边三角形ABF和ACE,连接BE、CF相交于O点.求证：AO为∠EOF的平分线.
21．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD
的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：(1)∠ADC＝∠BDE；（用两种方法证明）
（2）CE+DE=AD．
AB
CD
E
F
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2．如图，在中，是的中点，过点D作射线交AB于E，交CA的延长线于F．若要的结论成立，请写出必须满足的条件，并加以证明．
23．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF
＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为____．
(2)如图②，若AB＝BC，在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．
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