初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析
知识要点梳理
知识点一：反比例函数的应用知识点二：反比例函数在应用时的注意事项知识点三：综合性题目的类型
经典例题透析
类型一：反比例函数与一次函数相结合与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。（2）由消去，得。即,∴或。∴或。∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。举一反三：【变式】如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【答案】（1）∵M、N在反比例函数上设一次函数解析式为则，解得故一次函数的解析式为（2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值．类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题与一次函数的图象相交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。思路点拨：（1）问联立解析式求解（2）问把△AOB的面积分成与之和来解决。解析：（1）解方程组得所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）（2）因为与y轴交点D的坐标是（0，2），所以，所以总结升华：三角形面积不方便直接求解的时候可以考虑“割”或者“补”的方法，原则是割，补后的三角形易于找底和高。举一反三：【变式】如图4，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为，求与有什么关系？【答案】：设点A的坐标为（），则在，所以同理可得。所以。类型三：反比例函数与实际问题相结合思路点拨:（1）y与x之间的函数关系式分成和两段分别求解。（2）令的解析式等于200，可以求出经过几个月，利润达到200万元；（3）找出两段函数等于100的x的值，月份只差就是资金紧张的月份。解析：（1）当时，设，把（1,200）代入，得k=200,即，当x=5时，y=40,当时，.（2）当y=200时，，所以治污改造工程顺利完工后经过8个月，该厂利润达到200万元。（3）对于，当y=100时，x=2；对于，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月。总结升华：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.举一反三：【变式1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？（4）画出相应的函数图象．解析：随着木板面积变小（大），压强p（Pa）将变大（小）．（1），所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．（2），所以面积为时，压强是．（3）若压强，解得，故木板面积至少要.（4）函数图象如下图6所示：【变式2】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图.（1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?解析：（1）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为cm，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．所以，，．（2）根据题意把代入中，得．．所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．
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