初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
写出结果．
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=
=每组之间还有公因式！
=
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解：原式=原式=
==
==
练习：分解因式1、2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=
=
=
例4、分解因式：
解：原式=
=
=
注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、4、
综合练习：（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12
解：=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式=1-1
=1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式(1)(2)(3)
练习6、分解因式(1)(2)(3)
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例7、分解因式：
分析：1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：=
练习7、分解因式：（1）（2）
（3）（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解：=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解：原式=解：原式=
练习9、分解因式：（1）（2）
综合练习10、（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：分解因式：
五、主元法.
例11、分解因式：5-2
解法一：以为主元2-1
解：原式=(-5)+(-4)=-9
=1-(5y-2)
=1(2y-1)
=-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)
解法二：以为主元1-1
解：原式=12
=-1+2=1
=2(x-1)
=5-(x+2)
=5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1)(2)
(3)(4)
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。
条件：（1），，
（2），，
即：
，，
则
例12、分解因式（1）
（2）
解：（1）
应用双十字相乘法：
，，
∴原式=
（2）
应用双十字相乘法：
，，
∴原式=
练习12、分解因式（1）
（2）
七、换元法。
例13、分解因式（1）
（2）
解：（1）设2005=，则原式=
=
=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式（1）
（2）（3）
例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则
∴原式==
==
==
=
（2）
解：原式==
设，则
∴原式==
==
练习14、（1）（2）
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
解法1——拆项。解法2——添项。
原式=原式=
==
==
==
==
（2）
解：原式=
=
=
=
练习15、分解因式（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
九、待定系数法。
例16、分解因式
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为
解：设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得，解得
∴原式=
例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为
解：设=
则=
比较对应的系数可得：，解得：或
∴当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解：设=
则=
∴，解得，
∴=21
练习17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。
（4）为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
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