苏锡常镇四市2012届高三数学第二次模拟试卷

苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）

2012.5

数学I（正题）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在相应位置上。

1.设集合，，则.

2.若复数满足（为虚数单位），则.

3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为.

4.已知某人连续次投掷飞镖的环数分别是，，，，，则该组数据的方差.

5.如图，边长为的正方形内有一个半径为的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为.





6.已知张卡片（大小，形状都相同）上分别写有，，，，从中任取张，则这张卡片中最小号码是的概率为.

7.等比数列中，若，，则的值为.

8.已知钝角满足，则的值为.

9.已知函数则的值为.

10.已知点在所在平面内，若，则与的面积的比值为.







11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：

（1）若，，，则；

（2）若，，，则；

（3）若，，，则；

（4）若，，，则.

上面命题中，所有真命题的序号为.

在平面直角坐标系中，已知点在曲线上，点在轴上的射影为.若点在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为.

已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为.

设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为.



二．解答题：本大题共六小题，共计90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.如图，在四边形中，已知，，，，

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的面积.













如图，在三棱锥中，平面分别与，，，交于点，，，，且平面，，

求证：（1）平面；

（2）；

（3）平面.

















如图，已知矩形油画的长为，宽为.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为，上下两边金箔的宽为，壁画的总面积为

用，，，表示；

若为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的，的值.









在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆相交，圆心为，且圆上的点与圆上的点之间的最大距离为

求圆的标准方程；

过定点作动直线与圆，圆都相交，且直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若与的比值总等于同一常数，求点的坐标及的值.

















已知为正实数，函数（为自然对数的底数）.

若，求的取值范围；

当时，解不等式；

求函数的单调区间.













已知数列的前三项分别为，，，且数列的前项和满足，其中，为任意正整数.

求数列的通项公式及前项和；

求满足的所有正整数，.









苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）

数学Ⅱ（附加题）

选做题



.选修：几何证明选讲

如图，自⊙外一点作⊙的切线和割线，点为切点，割线交⊙于，两点，点在上.作，垂足为点

求证：.

















.选修：矩阵与变换

设，，若矩阵把直线变换为直线，求，的值.









.选修：坐标系与参数方程

求椭圆上的点到直线的距离的最小值.









.选修不等式选讲

已知非负实数，，满足，求的最大值.











如图，在长方体中，，，，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）.

当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；

求证：直线不可能与直线垂直.









23.记，其中，为正实数，.给定正实数，满足.用数学归纳法证明：对于任意正整数，





























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