2013-01课堂内外
巧用平面向量求解某些平面几何问题
文/邱雪婉
平面向量是一种既有大小，又有方向的量。它是重要的数学工具，
在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。而且，平面向
量具有代数形和几何形的双重身份和内涵，在高中数学中，特别是
几何方面起着桥梁和工具的作用。众所周知，平面向量最难之处在
于添辅助线。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背
景，使得平面几何的很多性质，如全等、相似、平移、长度、夹角等都
可以由向量的线性运算及数量积表示，而不必添加辅助线。
一、平面向量在几何证明方面的应用
以三角形的中位线定理为例，
例1.如图1所示，△ABC的两边AB和AC的中点分别是E、
F，则EF∥BC，EF=
1
2
BC
用向量方法证明如下：
证：∵E、F分别是AB、AC两边的中点
∴A
B
E=
1
2
A
B
B，A
B
F=
1
2
A
B
C，
又在△AEF中，E
B
F=A
B
F-A
B
E，从而
E
B
F=
1
2
A
B
C-
1
2
A
B
B
=
1
2
（A
B
C-A
B
B）
=
1
2
B
B
C
∴EF∥BC，EF=
1
2
BC
不用辅助线，直接用向量方法证明是比较容易的。再如：
例2.证明菱形的两条对角线互相垂直。
分析：可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积，由其
内积等于零得到垂直的关系。
证：在菱形ABCD中，设A
B
B=D
B
C=a
軆
，A
BB
D=B
B
C=b
軋
，
且
a
軆=
b
軋，
则A
B
C=A
B
B+A
BB
D=a
軆
+b
軋
，
D
B
B=A
B
B-A
BB
D=a
軆
-b
軋
，
∴A
B
C·D
B
B=（a
軆
+b
軋
）·（a
軆
-b
軋
）=
a
軆
2
-
b
軋
2
=0，
∴A
B
C⊥D
B
B，即AC⊥DB
∴菱形的两条对角线互相垂直。
小结：很多情况下，我们都可以通过证明两个向量的内积为零
而得到两条直线（或线段）互相垂直。
当然，更多情况下，直线（或线段）是不垂直的，这时候，我们也
可以通过向量的内积公式而求出夹角。
二、平面向量在求直线（或线段）的夹角方面的应用
例3.已知三点坐标：A（-1，3），B（1，1），C（3，5），求∠CAB的大小。
分析：由点的坐标可以求出向量的坐标，而题目所求∠CAB
即为A
B
B与A
B
C所成的夹角，这样，
我们可以通过向量的内积公式而
求出夹角大小。
解：∵A
B
B=（1，1）-（-1，3）=（1+
1，1-3）=（2，-2），
A
B
C=（3，5）-（-1，3）=（3+1，5-3）=（4，2），
A
B
B
=2
2
+（-2）
2
姨=22姨，
A
B
C
=4
2
+2
2
姨=25姨，
∴A
B
B·A
B
C=（2，-2）·（4，2）=2×4+（-2）×2=4，
则cos∠CAB=
A
B
B·A
B
C
A
B
BA
B
C
=
4
22姨·25姨
=
10姨
10
，
∴∠CAB=arccos
10姨
10
小结：这道题利用了向量的内积求两边所成的夹角。首先需要
分别求出两个向量的内积及各自的长度，特别要注意的是得弄清
楚所求的夹角对应的是哪两个向量的夹角。
其实，除了夹角，长度也是线段的一个重要性质，而求线段的
长度，当然也可以巧用向量来求解。
三、平面向量在求线段长度方面的应用
例4.如图4，在平行四边形ABCD中，
已知AB=8，AD=10，∠BAD=60°，求对角线
AC的长度。
分析：显然，在这个平行四边形中，涉
及了一组邻边及对角线，而向量加法的平行四边形法则刚好可以
用这些元素来表示。这样，我们就可以把已知条件和问题进行转
化，即在平行四边形ABCD中，
已知
A
B
B
=8，
A
BB
D
=10，求
A
B
C
.从而通过向量求解AC的
长度。
解：∵AB=10，AD=8，∴
A
B
B
=8，
A
BB
D
=10，且∠BAD=60°，
∴在平行四边形ABCD中，
A
B
C
2
=
A
B
B+A
BB
D
2
=
A
B
B
2
+2A
B
B·A
BB
D+
A
BB
D
2
=8
2
+2
A
B
B
·
A
BB
D
·cos60°+10
2
=64+2×8×10×
1
2
+100
=244
则
A
B
C
=261姨，即AC=261姨
∴AC=261姨
小结：在向量问题中，求线段的长度问题，通常用到两向量的
夹角公式
cos
軆
，b
軋
>=
a
軆
·b
軋
a
軆
b
軋
及向量模的公式
a
軆
2
=a
軆
·a
軆
姨
摘要：平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵，它是重要的数学工具，而平面几何的很多性质都可以通过平面向量的
线性运算及数量积，化繁为简地进行求解。主要从证明、求线段的长度、线段所成的夹角、点与图象的平移以及日常生活中的实际应用
等方面，介绍了怎样用向量的运算来巧妙地求解某些几何问题。
关键词：平面向量；平面几何；长度；夹角
E
B
C
A
F
O
B
C
A
D
x
y
O
A（-1，3）
B（1，1）
C（3，5）
B
C
A
D
图4
图1
图2
图3
71--
2013-01课堂内外
上面这个例子涉及了平行四边形的性质，而平面向量在平行
四边形方面的应用，还有一个典型的例子，就是求平行四边形中某
个顶点的坐标。
例5.如图5，已知平行四边形ABCD的三个顶点A（-2，1），B（-
1，3），C（3，4），求顶点D的坐标。
分析：设点D的坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知，
AD∥BC且AD=BC，
即A
∥∥
D=B
∥
C，则两向量坐标
也相等。
所以，从向量坐标的角度，
通过建立x，y的方程组而求出
点D的坐标。
解：设点D的坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知，A
∥∥
D=
B
∥
C，
即（x，y）-（-2，1）=（3，4）-（-1，3），
则（x+2，y-1）=（4，1）
∴
x+2=4
y-1=
∥
1
，解得
x=2
y=
∥
2
∴点D的坐标为（2，2）
我们不妨想一想，这道题如果不用平面向量的话，如何求解呢？
分析：可以利用平行四边形的两组对边分别相等，再由两点间
的距离公式，联立方程组，从而得到点D的坐标。
另解：设点D的坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知，
AB=CD且BC=AD，
∵AB=CD
∴（-2+1）
2
+（1-3）
2
姨=（x-3）
2
+（y-4）
2
姨
即（x-3）
2
+（y-4）
2
=5……①，
同理，由BC=AD，得（3+1）
2
+（4-3）
2
姨=（x+2）
2
+（y-1）
2
姨
即（x+2）
2
+（y-1）
2
=17……②，
联立①②两式，解得
x=2
y=
∥
2
，
∴点D的坐标为（2，2）
比较之下，显然是第一种解法即运用向量求解比较简单。而同
样通过向量来求解，也有多种不同的解法。比如，可以通过求O
∥∥
D的
坐标而得到点D的坐标。
另外，在平面解析几何中，有许多问题也涉及了向量的运算，
比如平移问题、直线的方程等。
四、平面向量在平移方面的应用
例6.（1）把点A（2，1）按向量a
軆
=（3，2）平移，求对应点A′的坐标；
（2）函数y+sin（2x+
π
4
）的图象F平移向量a
軆
=（
π
4
，1）得到图象
F′，求图象F′的函数表达式。
分析：（1）可利用点的平移公式，即
x′=x+a
1
y′=y+a
2
∥
，该公式中涉及三
个坐标：点在平移前后的坐标（x，y）和（x′，y′），以及点的平移向量a
軆
的坐标（a
1
，a
2
），这三个坐标在应用时要弄清楚。
（2）可利用图象的平移公式，即y-a
2
=f（x-a
1
），其中（a
1
，a
2
）是平
移向量a
軆
的坐标，利用这个公式可以求平移后图象的函数表达式。
解：（1）由点的平移公式，得
x′=2+3=5
y′=1+2=
∥
3
，
∴对应点A′的坐标为（5，3）
（2）由函数图象的平移公式，得图象F′的函数表达式为
y-1=sin［2（x-
π
4
）+
π
4
］，
化简得图象F′的函数表达式为y=sin（2x-
π
4
）+1
小结：无论是点的平移还是图象的平移，平移公式都涉及了三
个量：平移前的、平移后的和平移向量。从方程的角度，三个量可以
知二求一，解题时要分析清楚，已知什么量，求的是什么量。
接下来，我们来看看如何利用平面向量来求解直线的方程。
五、平面向量在求直线方程方面的应用
例7.已知△ABC的三个顶点A
（0，-4），B（4，0），C（-6，2），点D、E、
F分别为边BC、CA、AB的中点，
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在的
直线方程。
分析：利用共线及垂直等关系进
行处理。
本题第一个问题是求直线方程，只要求出其上任一点的坐标
即可，而直线DE、EF、FD分别与相应的边平行，所以可以考虑通
过对应向量的共线来处理；第二个问题是求高所在的直线方程，可
以通过对应向量的内积为零来求得。
解：由已知，得点D（-1，1），E（-3，-1），F（2，-2），
设点M（x，y）是直线DE上任一点，则
D
∥∥
M∥D
∥
E，D
∥∥
M=（x+1，y-1），D
∥
E=（-2，-2），
（-2）×（x+1）-（-2）×（y-1）=0，
即x-y+2=0为直线DE的方程。
同理可求得，直线EF、FD的方程分别为x+5y+8=0和x+y=0
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上的任一点，
则C
∥
N⊥A
∥
B，∴C
∥
N·A
∥
B=0
而C
∥
N=（x，y）-（-6，2）=（x+6，y-2），A
∥
B=（4，0）-（0，-4）=（4，4）
∴4（x+6）+4（y-2）=0，
即x+y+4=0为高CH所在的直线方程。
小结：对于平面解析几何中的有关直线平行与垂直的问题，常
常转化成为考虑与直线相关的向量的平行与垂直，从而将形的问
题转化成为数的问题。
向量运算在日常生活中也有着广泛的应用。
六、平面向量在实际生活方面的应用
例8.如图7所示，一块垂直
于水平地面的广告牌，已知上端
A距离地面a米，下端B距离地
面b米。问某人P距离广告牌多
远时，看广告牌最清楚？
解：设人眼P距地面h米，以
水平线OP为x轴，
广告牌所在的铅直线BA为y轴，
以1米作长度单位，建立平面直角坐标系。
设c=a-h，d=b-h人离广告牌的垂直距离为x米，则有A（0，c），
B（0，d），P（x，0），
从而P
∥
A=（-x，c），P
∥
B=（-x，d）
设∠APB=θ，于是该问题等价于：当x取何值时，视角θ最大。
由向量的内积公式，得P
∥
A·P
∥
B=
P
∥
A
·
P
∥
B
cosθ
即cos
2
θ=
x
2
+cd
x
2
+c
2
姨x
2
+d
2
姨
x
y
B（-1，3）
A（-2，1）
C（3，4）
D（x，y）
O
图5
E
F
O
B
A
CD
x
y
图6
O
PD
x
y
B
A（0，a-h）
（0，b-h）
（0，-h）（x，0）
地平线
θ
图7
72--
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=1-
（c-d）
2
x
2
+
c
2
d
2
x
2
+c
2
+d
2
……①
要使视角θ最大，则要使cos
2
θ最小，亦即要使①式中分母最
小，由均值定理可知：当且仅当x
2
=
c
2
d
2
x
2
时，cos
2
θ最小，
即当x=cd姨=（a-h）（b-h）姨时，视角θ最大。
归纳起来，用向量方法解决平面几何有如下的三步曲：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几
何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等
问题；
3.把运算结果“翻译”成几何元素。
即［形到向量］→［向量的运算］→［向量和数到形］。
总之，向量既是代数的，又是几何的，利用向量解决有关问题
往往凸显其简洁之美。
（作者单位广东省潮州市职业技术学校）
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
想家，就是想念这个味道
———体验性教学在思想品德课中的实证研究
文/刘晶会
道德是人身发展的需要，也是人类文明进步的需要。初中思想
品德课程正是结合了初中学生生理、心理成长需要，融合道德、法
律、心理健康、国情策等相关内容，旨在促进初中学生道德品质、
健康心理、法律意识和公民意识的进一步发展。
然而在教学过程中，由于现在的学习压力较大，学习上占用了
大部分时间，绝大多数中学生生活经验不足，因此很多思想品德
课程中很浅显的道理，对于引起学生共鸣，从“心”体会思想品德
教学的重点就有很大的难度。因此在教学中，本人采用了体验性
教学的方法，让学生认真体会生活中的真、善、美，体会道德的力
量无处不在。
体验式教学是指根据学生的认知特点和规律，通过创造实际
的或重复经历的情境和机会，呈现或再现、还原教学内容，使学生
在亲历的过程中理解并建构知识、发展能力、产生情感、生成意义
的教学观和教学形式。下面以实际工作中的案例简单介绍。
［案例描述］
如初一第三单元《过富有情趣的生活》一课。在备课的过程中，
我就意识到“情趣的生活”对于初一的学生来讲理解起来有点困
难。怎样才能让他们更好地体会到生活的情趣，体会到生活这个
貌似平淡的词语下面华丽的内在，做到品味生活呢？于是我根据
学生的实际需要，设计了这个体验课，题目就叫“想家，就是想念
这个味道”。
2012年11月19日，第五节课。
一上午紧张的学习生活已经接近尾声，食堂的阿姨已经开始
将香喷喷的饭菜推向一个个教室的门口，不过我想今天上课一定
是一个饕鬄的美食会，所以我提着从家里准备的满满一壶豆浆，走
近了七（2）班的教室。一进教室，果真，同学们已经将座位摆成4个
小方桌，每桌5个人，还有摆放整齐的评委席。我一声令下，同学们
把自己精心准备的食物都拿了出来，有带红烧肉的、有带寿司卷
的，什么都有，看着同学们一张张兴奋的脸孔，那种迫不及待地等
着老师和同学前去品尝的样子让你觉得学生太可爱了。
好了，各就各位，我先请四位评委到各个桌上去尝一尝，然后
和组内的同学一起，点评一下哪道菜的味道最好，并且要有理有据
地评价一番。由于之前对评委提出过要求，所以小评委们也都煞有
介事地认真地品尝着。在大家互相品鉴的间隙，我请每组派出一个
代表来回答几个问题：他为什么选择做这道菜？在烹饪的过程中，
有没有得到家人的帮助？家里人怎样评价他的手艺？在此次活动
中，对于做饭有没有什么新的体会？同学们十分踊跃，有的说：
“我妈妈夸我做得好吃。”有的说：“原来做饭也是一件挺有意思
的家务活。”还有的说：“做饭太麻烦了，以后我要多帮助家里人
做点家务。”也有的同学说：“我觉得让别人吃我做的饭是一件非常
幸福的事。”……
听到同学们的话，我知道这节课，我的教学目的达到了，生活
的情趣不就是去发现美，感知原本平淡中的深刻内涵吗？有了发现
的眼睛，同学们的人生将会变得更加丰富，更加有意义。
于是，我走到讲台前面对所有的同学说：“各位同学，今天老师
让你们准备的，是家里妈妈最最经常给你准备的饭菜，现在同学们
一定知道了：原来每一餐妈妈准备的饭菜，都包含了那么多的爱心
与劳动，是不是对妈妈的爱有了更深层次的体会呢？生活原本就是
简单的小事汇聚到一起，让我们每天都变得忙忙碌碌。希望同学们
在忙碌中用心去体会爱，用心去品味生活。若干年后，当你离家在
外、独自打拼的时候，可能更会理解老师今天在黑板上写的题目
吧，“想家，就是想念这个味道”。同学们都安静地若有所思地看着
我，这堂体验课在美好的氛围中结束了。
［反思］
通过本节体验课的设计，使我充分认识到体验式教学的效果。
一方面课堂较为活跃，学生在轻松的氛围中思想得到了升华，
精神得到了放松，同学间的关系变得融洽。
另一方面，通过体验式教学，许多难以言表的问题让学生发自
内心地得到了感知，师生之间、生之间甚至于家长与学生之间都
实现了心灵的对话，达到了我们教学的目的。
第三，经历此次实践体验后，在与其他老师交流中发现，很多
学生的近期语文作文、英语作文都对此次活动进行了描写，学生的
生活体验不仅对道德品质的发展有帮助，对于其他学科的学习也
起到了很好的作用。
（作者单位北京芳草地国际学校富力分校）
摘要：通过在初中思想品德课中体验性教学的实践应用，探讨实践性教学的意义及实施方法。
关键词：初中学生；特点；体验性教学
73--
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