数学-核心考点
A．号6+了1cB．号c一詈
c．了26一了1cD
．
1十了2c
练习2已知0是△ABC所在平面内一点，D为BC
边中点，且2++一0，那么()．
A．=B．一2
C．一3o-5D．2一
方法二、充要条件法
例3已知向量n一(1，2)，b一(2，一3)．若向量b满
足(c+a)∥6，c上(n+，则c=()．
A．(舌，÷)B．(一÷，一号)
c．(÷，吾)D．(一_吾_，一÷)
【分析】设出所求向量，再利用两向量平行、垂直的
充要条件来求解．
【解】不妨设c—em，)，则a-t-c=(1+优，2+)，口+
一(3，一1)．
由(c+a)∥b，得一3(1+m)一2(2+)，
又由c上(n+，得3m--一0，
解得m一一寺，n=一÷．故选D．
【小结】此题主要考查了平面向量的坐标运算以及
两向量平行和垂直的相互关系，体现了平面向量平行、垂
直的充要条件在解决具体问题中的重要作用．
例4(2010全国)已知圆O的半径为1，PA，PB为
该圆的两条切线，A，B为两个切点，那么葡·砖的最小
值为()．
A．～4+,／gB．一3+,／g
C．--4+2,／gD．——3+2,／g
【分析】本小题主要考查向量的数量积运算，同时也
考查了考生综合运用数学知识解题的能力．
【解】把圆心放在坐标原点，则可得圆的方程为z。+
yZ一1．设A(-z1，1)，B(z1，一)，P(x。，o)，贝0·峦=
czl—z0，1)·(1一zo，一y1){一2lo+xl—j，j，
OA上PA_上_葡=>(，)·(z一z。，)一。
zi～1320+Y—O=-zl0—1．
·商一z}～2zXO+5一一}一2+z5一(1一
z})一2z}+z5～3≥2一3．故选D．
【小结】本题解法较多，可以设PlAPB=(x>0)，
APo—a，则APB一口，Po~／1+z。，sim一1，
将·砖表示为z的函数后求解．也可设APB一0，
o<<，将·商表示为的关系式再求解．但这两种
解法的求解过程都较复杂．而建系后利用平行、垂直的充
要条件结合二次函数求解，相比之下较为简捷．
练习3(2011北京)已知向量a：(，1)，6一(0，
一1)，c一(七，,／5)．若4—26与c共线，则一．
方法三、数形结合法
例5已知向量n、6满足IaI一6，II一4，且a与b的
夹角为60。，求ln+6I和ln一3b1．
【分析】如图，根据条件利用向量的加、减法法则作
出图形，直接作出口+6和口一3b，然后再求模．
D
图1图2
【解】如图1所示，一口，一，则=n+．
由口、的夹角为60。知，AOC=60。，／BAO=120。．
在△AOB中，由余弦定理得，
a+bl=II=干二<4i一2
如图2所示，同理可求得f口一36f—ff：6,／g．
【小结】用数形结合思想，构造几何图形求解，使解
题过程变得非常简捷，避免了大量繁杂的计算．
例6(2011全国)设向量a、、c满足1a{=1=1，
1
口·6一一÷，=60。，则lcI的最大值等于
()．
A．2B．c．D．1
【分析】根据题目中口、6、c的关系，构造出满足条件
I
29I～I
考试
Examination
的图形来求解．
【解】如图3，设蕊一口，
一6．一c，
又设n，b的夹角为，则
、
LJ
a·b】
∞一丽一一，
所以0—120。，即BAD：
12O。．1翻3
又BCD：60。，
故BAD+BCD一180。，所以A，B，C，D四点共圆．
因此，当AC为圆的直径时，lcl最大．
此时△ABC是直角三角形，ACB：30。，
所以AC=2AB=2，即lcl的最大值是2，选A．
【小结】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量
加减法、四点共圆的条件．用数形结合的方法，巧妙构造出
圆的内接四边形来求解是一个省时省力的好方法．
练习4设P~AABC所在平面内的一点，~+B--I
一2茚，则()．
A．+砖=0B．+=0
c．菇+茚：OD．+商+充一0
练习5已知l口l=1，Ibl一2，c一口+6，c_Ln，则a与b
的夹角大小为()．
A．詈B．C．号D．警
方法四、特值处理法
例7设平面向量ai、a2、的和ai+a2+a。0．如
果向量6、b。、，满足{bil=2}口{，且a顺时针旋转3O。后
与bi同向，其中i一1，2，3，则()．
A．一b1+b2+b3=0B。b】一bP+一0
C．1+2一b3—0D．61++b3—0
【分析】本题主要考查向量加法的几何意义、向量的
模以及两向量夹角等基本概念．
【常规解法】。口1-~-a2+n3一o，·2al~2a2+2a3=0．
因为l一2lal，且口顺时针旋转3O。后与bl同向，
故2必与6f重合，即b一2a，
故b+b2+一0，故选D．
【特殊值法】令a一0，则口2=rollg=o，
30
由题意知，b一0，6一一6≠0，从而排除B，C．
同理排除A，故选D．
【小结】特殊值法巧在取特值a一0，使问题简单化．
对于选择和填空题，应用特值法进行化简，结合排除，往往
能事半功倍．
练习6已知向量a、b不共线，c一+b(∈R)，d—n
一
，如果c∥d，那么()．
A．=1且c与d同向B．一1且c与d反向
C．一一1且C与d同向D．一一1且c与d反向
方法五、平方去模法
例8平面向量a与6的夹角为6O。，口(2，0)，l6l=
1，则la+2bl=()．
A．√B．2C．4D．12
【分析】可对la+2bl先求平方，再把已知条件代入
求解．
【解】由已知Ial=2，ll一1．注意到n与b的夹角
为6O。，则ln+2b}。一n+4a·+4b：4+4×2×1×
cos60。+4=l2．
．
‘
．}a+2bl一2~／3，故选B．
【小结】口。一l口l是向量数量积的重要性质之一，它
沟通了向量与实数间的相互联系，充分利用这一性质，可
以将向量模长的计算问题转化为向量的运算问题．
练习7已知向量a一(2，1)，n·b=10，l口+bl=
5√，则fbf一()．
A．B．、／，C．5D．25
方法六、··四心结论，，法
例9已知O，N，P在△ABc所在平面内，且lo-Il=
{l—l{，+砷+硫一o，且·砖一砖·
一．P-1，则点0，N，P依次是△ABc的()．
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
【分析】此题考查了三角形的内心、外心、重心和垂
心的概念，由已知条件中的向量关系式出发进行推导，并
结合三角形内心、外心、重心和垂心的几何特征即可获解．
数学I核心考点
【解】由ll—Il—l，o~jAABC的外心；
由+鸯+一0知，N为AABC的重心．
·
．。P-F1·葡=砖．，．．．(p-F1一)．商一0，
．
。
．c-I．商=0．I砖．
同理，A--~~Fd，．-．P为AABC的垂心，故选C．
【小结】考查三角形内心、外心、重心和垂心的试题
在近几年高考中较为常见，求解这类问题，需要掌握这些
“心”的判断条件和相关的向量关系式．
常见的向量“四心结论”有：
(9O~AABC的重心㈢++oc=0：
②0~AABC的垂心㈢．一．：．
o-I；
③O~AABC的外心㈢ll—ll—lI(或z
=z一z)：
④0是△ABC内心的充要条件是
o-I·(一)=魂．(一需)=
．(一)
⑤向量(+)(直线过△ABc
的内心(是BAC的角平分线所在直线)．
练>-I8在AABC中，M是BC的中点，AM=1，点P
在AM上且满足一2确，则．(商+)等于
()．
A．鲁B．÷c．一号D．一号
练>-39已知。为AABC内一点，且++2
0，则AAOC与AABC的面积之比是()．
A．1：2B．1：3C．2：3D．1：1
练习10(2010湖北)已~rlAABC和点M满足麻+
疏+一0．若存在实数m使得+一m翮成立，
则m一()．
A．2B．3C．4D．5
练习晨参考答案
1．解析：如图4所示，在AABC中，
由商一2院得一一2(一)，
3A--／5一+2一c+2b．
1
c+．故选A．00
2．解析：2++一
2+(磅+)+(+茄)
一0，·．·一一，
A
．
·
．2+2：0，．．．：．故选A．
3．解析：n一2b=(，3)，由n～26与C共线得·
=3k=>k一1．
4．解析：因为赢+赢一2碎，所以点P为线段AC
的中点，砣+=0，所以应该选B．
5．解析：如图5，‘．。c口+b，c上
a，
．
‘
．n，b，C构成一个三角形，且0
一詈，所以可以推知口与b的夹角
为，故选D．图5
6．解析：取n一(1，0)，6一(0，1)，若一1，则c—a+b
一(1，1)，d—a--6一(1，一1)，显然，a与b不平行，排除A、
B．
若k=一1，则c一一a+b一(一1，1)，d—a—b一
(1，一1)，
即c／／d且c与d反向，排除C，故选D．
7．解析：。·‘50{a-]-bl。一ja{+2a·6+ibf5+20
+lb1，．‘．1bl一5．故选C．
8．解析：由一2知，P为AABC的重心，根据向
量加法法则，商+一2前，则．(砖+竞)一2．
蔺一21A~lI确lc。so。一2×了2xixl一百4
．故选A．
9．解析：设AC的中点为D，则+一2o-／5．
．
·
．++2魂一2+2：0．一一．
即点0~3AC边上的中线BD的中点，···S~AoC1
．
故选A．
1O．解析：由条件可知，M为AABC的重心，连接AM
并延长交BC于D，
则劢一①，
因为AD为中线，则蕊+一2一，
即2一m劢②，
联立①②，可得m=3，故选B．●
312011ccee．tv
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