8数学通讯——2009年第7、8期(上半月)·辅教导学·
平面向量三点共线定理的一个推论及其应用
汤贵华
(湖北省武汉市黄驶一中，430300)
[1]中对三角形“四fi,”的向量统一形式从坐标
法的角度给出了证明，笔者读后深受启发．经过探
究，笔者发现还可以从面积法的角度证明三角形重
心和内心的向量形式．
下面先给出平面向量三点共线定理的一个推
论。再介绍它的应用．
平面向量三点共线定理在平面中，A、B、c三
点共线的充要条件是：存在实数z，y使一z商+
(0为平面内任意一点)，其中z十Y一1．
D
图1
推论已知0为AABC内一点，若丽+y
+z亍O(z，y，2>0)，则
S△∞c：S△0Ac：S~a4a—z。Y。．
证明由z+茄+=0可得
÷磅+阜一÷，
工十yz十z十
令一÷+牛菇，则
zt’z寸’
—o--B一_羊_=÷一—旱一o-5，4
-y工十十十
即百；三，
y
故点D在线段AB上，且1BD1：IADl—z：．
S,~CAD5AOAC
一上①
ACDBZX08cZ
又一二，故。在线段CD
X上，且{_十VluL，I
一，从而一盟一型，所以
2△∞D~,aODz
垒咝一—x+
—y②
0&sOABZ
令S一xk，则由①得S△Q^(．一yk，由②得
SamB一放。
故s△0Bc：s△o：：s△0A日一．7CY。z．
应用上面的定理，可以比较方便地解决与三角
形“四心”有关的问题．
例1若0为三角形ABc内一点，且+茁+
一o，求证：0为三角形ABC的重心．
证明连结∞并延长，交AB于D．
由推论可得
S△OBC：S△0^c：S△B一1：1；1．
又=S&CAD
一BD澈BD-1’s
△∞cs△口Dll’一II～
从而D为AB的中点．
又由一一。，可得
t09I—Sz~mc±Q一，
IODlS△凸AB“
因此，o为三角形ABC的重心．
例2若O为AABC内一点，a，b，c分别为三边
边长．若口+6+c一0，求证：0为AABC
的内心．
证明由推论可得
S△0Bc：S△0^c：S△凸AB—a：b：C．
设点O到三边BC，AC，AB的距离分别为．Ill，
h2，h3，则
Sao~c：Sz,o~c：SAo~a
一(÷。)：(专)：(÷c^。)
一a：b：c，
故hI—h2=h3．
所以O为△ABC的内心．
(收稿日期：2008—01—16)
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