解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。
（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。
（1）的最小值为
（2）的最小值为
分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-
设另一焦点为，则(-1,0)连A,P
当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。
（2）3
作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，
∴
∴
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为
例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。
解：如图，，
∴
∴（）
∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为
点评：得到方程（）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。
分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA
∴
即（）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）
∵2a=6，2c=10
∴a=3，c=5，b=4
所求轨迹方程为（x>3）
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴，
≥
当4x02+1=3即时，此时
法二：如图，
∴，即，
∴，当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
（2）
∴当m=5时，
当m=2时，
点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见
当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。
【同步练习】
1、已知：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，△ABF2的周长为（）
A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是
（）
A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（）
A、B、
C、D、
4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是
（）
A、B、
C、D、
5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是
6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是
7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是
8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=
10、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。
11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，，求直线l的方程和椭圆方程。
12、已知直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：。
【参考答案】
1、C
，
∴选C
2、C
点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C
3、D
∵，且
∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。
4、A
设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得，∴
①又c
∴(x-1)2+y2<4②，由①，②得x≠-1，选A
5、
左准线为x=-，M到左准线距离为则M到左焦点的距离为
6、
设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)
∴∴2=2·2x，
将代入y=2x2得，轨迹方程是(y>)
7、y2=x+2(x>2)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则
∵，∴，即y2=x+2
又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2
8、4
，令代入方程得8-y2=4
∴y2=4，y=±2，弦长为4
9、
y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0
∴(1-k2)x2-2kx-2=0
①得4k2+8(1-k2)=0，k=
②1-k2=0得k=±1
10、解：a2=25，b2=9，c2=16
设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0)
设
则
①2-②得2r1r2(1+cosθ)=4b2
∴1+cosθ=∵r1+r2，∴r1r2的最大值为a2
∴1+cosθ的最小值为，即1+cosθ
cosθ，则当时，sinθ取值得最大值1，
即sin∠F1PF2的最大值为1。
11、设椭圆方程为
由题意：C、2C、成等差数列，
∴，
∴a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案000),∴a2=2b2
椭圆方程为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则①②
①-②得
2222222∴
即∴k=1
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0
∴3x2+12x+18-2b2=0，
解得b2=12，∴椭圆方程为，直线l方程为x-y+3=0
12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则
①-②得③
设，
则
④-⑤得⑥
由③、⑥知M、均在直线上，而M、又在直线l上，
若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立
若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立
若l不过原点且与x轴不垂直，则M与重合
∴
椭圆与双曲线的对偶性质总结
椭圆
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
,(,).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
椭圆与双曲线的经典结论
椭圆
椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
椭圆与直线有公共点的充要条件是.
已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
已知椭圆（a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).
已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.
若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.
设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).
设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
(2).(3).
已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
12
1
④
⑤
①
②
①
②
①
②
③
|
|
