徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
N
M
DCB
A
徐大帅哥期末《几何综合》训练题
【例1】如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD、
BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落
点记为A?，折痕交AD于点E．若M、N分别是AD、BC边的中点，则
AN??_________；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点
（2n≥，且n为整数），则AN??_________（用含有n的式子表示）．
【例2】⑴如图所示，EFGH是一个台球桌面，有黑白两球分别置于AB、两点的位置上，试问怎样撞
击黑球A，经桌面HEEF、连续反弹后，准确击中白球B？（写出作法并画图）
HG
FE
A
B
B
A
EF
GH
N
M
B''
A''
⑵如图，在锐角△ABC中，4245ABBAC???，°，
BAC?的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，
则BM+MN的最小值是___________．
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【例3】已知如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E.
P
ED
CB
AA
BC
DE
P
⑴求证：PD=PE；
⑵若BPAB?，o45??DBP,2?AP,求四边形ADPE的面积.
【例4】已知：如图，ABC△与DEF△都是等腰直角三角板，90BAC??°，90EDF??°．
CB
AD
EF
⑴请你利用这块三角板画出BC的中点（用示意图表示）；
⑵当我们把DEF△的顶点E与A点重合时，使ED、EF与BC相交，设交点为P、G（点P在
点G的左侧），你能否证明BPCG?与PG的关系，请你完成自己的证明．
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【例5】在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的
右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
⑴如图1，点D在线段BC上，若∠BAC=90°，则∠BCE等于度；
⑵设∠BAC=α，∠BCE=β.
①如图2，若点D在线段BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②若点D在直线BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
图2图1
A
BC
D
E
E
DC
B
A
【答案】
【例1】如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD、
BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落
点记为A?，折痕交AD于点E．若M、N分别是AD、BC边的中点，则
AN??_________；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点
（2n≥，且n为整数），则AN??_________（用含有n的式子表示）．
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N
M
DCB
A
【解析】3
2
，21n
n?
（2n≥，且n为整数）
【例2】⑴如图所示，EFGH是一个台球桌面，有黑白两球分别置于AB、两点的位置上，试问怎样撞
击黑球A，经桌面HEEF、连续反弹后，准确击中白球B？（写出作法并画图）
HG
FE
A
B
B
A
EF
GH
N
M
B''
A''
⑵如图，在锐角△ABC中，4245ABBAC???，°，
BAC?的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，
则BM+MN的最小值是___________．
【解析】⑴如右图所示：分别作点AB，关于HEEF，的对称点''''AB，，连结''''AB与HEEF，交于
MN，两点.折线AMMNNB??就是白球的运动路径.（可由对称证明角度相等，类似于物理
中的镜面反射问题）
⑵过B作BEAC?，与AD交点即为M，过M作MNAB?，垂足即为N，BMMNBE??，
又∵垂线段最短，∴BE为最短距离，长为4.
【例3】已知如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E.
P
ED
CB
AA
BC
DE
P
⑴求证：PD=PE；
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⑵若BPAB?，o45??DBP,2?AP,求四边形ADPE的面积.
【解析】⑴证明：连结AP,在ABP?和ACP?中，
∵AB＝AC，PB＝PC，AP=AP，
∴ABP?≌ACP?（SSS）
∴CAPBAP???,AP是A?的平分线；
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E
∴PD＝PE（角平分线上点到角的两边距离相等）.………………4分
⑵解：∵PD⊥AB，o45??DBP,∴BDP?是等腰直角三角形.
设xDP?，则xBP??2，在直角ADP?中，
由勾股定理????42122???xx，整理得：??42242??x，
2222??x
.
∴四边形ADPE的面积=2?ADP?的面积
=????2
2222121??????xx
.……9分
【例4】已知：如图，ABC△与DEF△都是等腰直角三角板，90BAC??°，90EDF??°．
CB
AD
EF
⑴请你利用这块三角板画出BC的中点（用示意图表示）；
⑵当我们把DEF△的顶点E与A点重合时，使ED、EF与BC相交，设交点为P、G（点P在
点G的左侧），你能否证明BPCG?与PG的关系，请你完成自己的证明．
【解析】⑴只要能利用其中一块三角板画出BC的中点，则给1分．
⑵当点E与点A重合，DE与EF和BC相交与P、G时，BPCGPG??．
证明如下：如图1，以点A为顶点在PAG?的内部做MAPBAP???，在AM上截取
AMAB?，连结PM与MG．………………2分
可证BAPMAP△≌△．………………3分
则推证：CAGMAG△≌△．………………4分
因此，PMMGPG??．………………5分
则BPCGPG??．………………6分．
图2
图1
A
BC
M
GP
PG
M
F
(E)
D
CB
A
另解：如图2，作BMBC?并截取MBGC?，连结AMMP，，先证明AMBAGC△≌△，再证
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AMPAGP△≌△，可得结论.
【例5】在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的
右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
⑴如图1，点D在线段BC上，若∠BAC=90°，则∠BCE等于度；
⑵设∠BAC=α，∠BCE=β.
①如图2，若点D在线段BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②若点D在直线BC上移动，则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
图2图1
A
BC
D
E
E
DC
B
A
【解析】⑴90
⑵①α+β=180°.如图⑵
理由：∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠B=∠ACE.
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°.
∴α+β=180°.
②如图3，当点D在射线BC上时，α+β=180°；
如图4，当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β.（在图3、4中，依然存在△ABD≌△ACE）
图4图3
B
E
CD
AA
BDC
E
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