-1-
測圜密率之π無窮級數表示法及其証明
TheProblemsConcerningπin“CèYuánMì
Lǜ”
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:Thisarticledescribestheinfiniteseriesofπnarratedin“CèYuánMì
Lǜ”.
提要：《測圜密率》乃清?徐有壬著。其書涉及以無窮級數表圓周率及三角
函數，本文只談及π之無窮級數及其証明。
關鍵詞：《測圜密率》、徐有壬、圜、無窮級數、π。
《測圜密率》乃清?徐有壬﹝公元1800年至1860年﹞所著。徐有壬，字君
青，一字鈞卿，原籍浙江烏程縣﹝今屬浙江湖州﹞人﹝《測圜密率》標明“烏程
徐有壬君青著﹞，寄籍順天宛平縣。道光九年進士﹝公元1829年﹞。
咸豐五年﹝公元1855年﹞，因母憂返回原籍。其後浙江巡撫何桂清上奏薦
有壬禦廣東太平軍，太平軍襲湖州，有壬在長興設伏擊之，大勝，太平軍遂退。
咸豐八年﹝公元1858年﹞任京官，管理江蘇糧台。糧台乃清行軍時沿途所設處
理軍糧之機構。其後有壬擢升江蘇巡撫。當時槍船匪首程鵬士擾亂嘉興、湖州﹝所
謂槍船，乃指清代江蘇、浙江一帶之獵鳥小船，亦引申為當時賊匪之組織名稱﹞，
地方官不能制。其後程鵬士潛至蘇州，有壬偵而擒獲之，繩之以法。
咸豐十年﹝公元1860年﹞春，太平軍再犯湖州，有壬與何桂清商議後，派
遣曾秉忠率舟師往援，水陸兩路夾擊太平軍，終擊退之。同年四月，太平軍襲蘇
州，提督張玉良自請助守城，有壬令其屯兵於葑門外，但張玉良在夜間逃跑失蹤。
有壬有部下私通太平軍，開城門迎之，有壬部屬與太平軍短兵相接，巷戰城中，
寡不敵眾，有壬罵太平軍而被刺殺，其妾、女及子徐震翼均遇害。死後諡莊愍，
蘇州建專祠祀之。
-2-
《清史稿?列傳一百八十二》載有壬八歲能解勾股術。父死後，依叔父於京
師，師事姚學塽。尤精曆算，著有《務民義齋算學》、《橢圓正術》、《弧三角
拾遺》。《測圜密率》即《測圓密率》，“圜”即“圓”。
徐有壬具數學才華，若能傾其畢生精力於數學研究，其成就當更高。
其師姚學塽﹝公元1766年至1826年﹞，字晉堂，一字鏡塘，歸安﹝今屬浙
江湖州﹞人。清?嘉慶元年﹝公元1796年﹞進士，官內閣中書，時和珅用事，
學塽棄官還家。和珅失勢後，才入京供職。後轉兵部主事。一生耿直清廉，不附
權貴。著有《竹素齋集》十卷。徐有壬曾師事姚學塽，但姚非數學家，故徐有壬
之數學功力，非師事姚學塽而得，而姚學塽可能屬於徐有壬官職上之師。。
《測圜密率》提及杜德美，故徐有壬《測圜密率》中之各種級數可能源自杜
德美直接或間接之數學著作。
杜德美(PierreJartoux)乃法國傳教士，1668年生於法國一小鎮昂布蘭
(Embrun)。杜德美精於數學、天文學、力學、測量與地理學等。於公元1701年
來中國，時為康熙四十年。1708年在長城與中國部分地方測量並繪製地圖，1718
年完成。杜德美傳入中國Newton與Gregory之無窮級數，梅瑴成﹝公元1681
年至公元1764年﹞將此等公式載入其《赤水遺珍》中，徐有壬可能閱其著作而
寫成其《測圜密率》。
清代另一位數學家明安圖亦曾醉心研究杜德美所傳入之無窮級數。明安圖
﹝公元1692年至公元1763年﹞，字靜庵，蒙古正白旗常舒保佐領﹝今內蒙古錫
林郭勒盟正白旗﹞人。青年時入欽天監為官學生，學習天文、曆法和數學，又從
杜德美學習牛頓﹝Newton﹞三個無窮級數之展開式。著有《割圜密率捷法》四
卷。明安圖出生比梅瑴成更早，但只比梅瑴成早死一年。
杜德美於1720年卒於中國北京，時為康熙五十九年。杜德美死後八十年，
明安圖與梅瑴成死後三十七、三十六年徐有壬始出生，故相信徐有壬之有關數學
級數之研究，得力於此三人不少。
以下為該書之第一術，圜徑求周。“圜徑”，即一圓之直徑，今已知一圓之
直徑而求其圓周。設一圓之直徑為D，其法為先置以下各數﹝楷體為原文﹞：
三因圜徑為第一數。
第1數：3D；
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數。
第2數：3D×41×3212?=3D×41×321?；
四分第二數之一，九乘之，四除之，五除之，為第三數。
-3-
第3數：3D×
241
×3212?×5432?=3D×
241
×21×543?；
四分第三數之一，二十五乘之，六除之，七除之，為第四數。
第4數：3D×
341
×3212?×5432?×7652?=3D×
341
×21×43×765?；
四分第三數之一，四十九乘之，八除之，九除之，為第五數。
第5數：3D×
441
×3212?×5432?×7652?×9872?=3D×
441
×21×43×65×987?；
四分第三數之一，八十一乘之，十除之，十一除之，為第六數。
第6數：3D×
541
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?
=3D×
541
×21×43×65×87×11109?；
…
第n數：3D×
141?n
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?×…
)12)(1(2)32(
2
???nnn
=3D×
141?n
×21×43×65×87×109×…
)12)(1(232???nnn
=
)12(!)!1(24!)!32(D31????nnnn
(n≥2)。
以上各數求和得：
3D+3D×41×321?+3D×
241
×21×543?+3D×
341
×21×43×765?+…
=3D[1+41×321?+
241
×21×543?+×
341
×21×43×765?+…]
=3D(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)。
若D=1，而n之值相當大﹝趨向無窮﹞，則上式趨向π。
即π=3(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)。
下表為以上之級數算至第6項﹝依《測圜密率》﹞：
-4-
算式值
33
3×41×321?0.125
3×
241
×21×543?0.0140625
3×
341
×21×43×765?0.002092633928
3×
441
×21×43×65×987?0.0003560384114
3×
541
×21×43×65×87×11109?0.00006554343483
合計3.1415767157742
從上表可知六項之和已準確至π之第四個位。但徐有壬在其書中無提出證
明，此乃美中不足。
比徐有壬早之明安圖著有《割圜密率捷法》，其卷一有“圜徑求周”，其法
與上文相若，唯明安圖稱各所得數為“條”；而其《割圜密率捷法》亦無証明。
若果以現代數學方法，可以証明如下：
微分反三角函數正弦，即dxdsin–1x=
21
1x?，即：
??21xdx=sin–1x。若x介於0與1之間，則211x?可寫成展式如下：
21
1x?=1+21x2+4231??x4+642531????x6+86427531??????x8+10864297531????????x10
+…。
上式之左方及右方作積分，得：
??21xdx=?(1+21x2+4231??x4+642531????x6+86427531??????x8
+10864297531????????x10+…)dx
sin–1x=x+321?x3+54231???x5+7642531?????x7+986427531???????x9
-5-
+1110864297531?????????x11+…。
若x=21，則sin–121=6?，又將x=21代入右方，即：
6?=21+321?(21)
3+
54231???(21)
5+
7642531?????(21)
7+
986427531???????(21)
9
+1110864297531?????????(21)11+…。
上式左右兩方乘以6得：
π=6[21+321?(21)3+54231???(21)5+7642531?????(21)7+986427531???????(21)9
+1110864297531?????????(21)11+…]。
6之因子2約去得：
π=3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+986427531???????(21)8
+1110864297531?????????(21)10+…]。
上式右方乃徐有壬所提出之π展式。而求sin–1x展式乃近世高等微積分
之常見題目。
徐有壬稱以上圓周率之算法乃“杜德美原法”，即杜德美傳入中國之算法，
明安圖曾師事杜德美，故《割圜密率捷法》中之圓周率算法亦為此法。
《測圜密率?卷第一》曰：
此杜德美原法，秀水朱先生依法步算徑一者周
3.141592653589793238462463186367472279514；周10者徑
3.18309886183790671537767546696389056661。
注意原文為中文數目字。依上述之法可算出π之39位小數。“步法”，乃
指以上得各數之步驟而求其和。
《測圜密率》之第二術為“圜徑求面積”，即已知一圓之直徑而求其面積。
其法與上述者相若，乃先置以下各數﹝略去原文﹞：
第1數：3D2×41；
第2數：3D2×
241
×3212?；
-6-
第3數：3D2×
341
×3212?×5432?；
第4數：3D2×
441
×3212?×5432?×7652?；
第5數：3D2×
541
×3212?×5432?×7652?×9872?；
第6數：3D2×
641
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?；
…
第n數：3D2×
n41
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?×…
)12)(1(2)32(
2
???nnn
；
以上乃依《測圜密率?卷第一》而定各數，亦可依〈第一術，圜徑求周〉而
化簡各數。
以上各數求和得：3D2×41+3D2×
241
×3212?+3D2×
341
×3212?×5432?+3D2
×
441
×3212?×5432?×7652?+…
=43D2(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)
=41D2π。
另算法：
顯然若π=3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+
986427531???????(21)
8+
1110864297531?????????(21)
10+…]，
因圓面積=41×πD2，
故圓面積=43D2[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+
986427531???????(21)
8+
1110864297531?????????(21)
10+…]﹝將以上所得
之π代入即得﹞。
-7-
第三術為“球徑求體積”。即已知一球體之直徑而求其體積。其法與上述相
若，先置以下各數：
第1數：D3×21；
第2數：2D3×41×3212?；
第3數：2D3×
241
×3212?×5432?；
第4數：2D3×
341
×3212?×5432?×7652?；
第5數：2D3×
441
×3212?×5432?×7652?×9872?；
第6數：2D3×
541
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?；
…
第n數：2D3×
141?n
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?×…
)12)(1(2)32(
2
???nnn
。
以上各數求和得：2D3+2D3×41×3212?+2D3×
241
×3212?×5432?+2D3
×
341
×3212?×5432?×7652?+…
=2D3[1+41×3212?+
241
×3212?×5432?+
341
×3212?×5432?×7652?+…]
=2D3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+…]。
或算之如下：球體體積=34r3π，r為半徑=2D，故球體體積
=34(2D)3×3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+
986427531???????(21)
8+
1110864297531?????????(21)
10+…]
=2D3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+986427531???????(21)8
-8-
+1110864297531?????????(21)10+…]。
第四術為圜面積求周。設圓面積為A，則A=41×πD2，
即4A=πD2，即4Aπ=π2D2，故πD=?A4。
先列出以下數列：
第1數：12A；
第2數：12A×41×3212?；
第3數：12A×
241
×3212?×5432?；
第4數：12A×
341
×3212?×5432?×7652?；
第5數：12A×
441
×3212?×5432?×7652?×9872?；
第6數：12A×
541
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?；
…
第n數：12A×
141?n
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?×…
)12)(1(2)32(
2
???nnn
。
以上求和得=12A(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)。開平方即可得圓周之長。
或作如下運算：
因為π=3[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+986427531???????(21)8
+1110864297531?????????(21)10+…]，
故4Aπ=12A[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+
986427531???????(21)
8+
1110864297531?????????(21)
10+…]
-9-
=π2D2，此即為周之自乘冪。
因此πD={12A[1+321?(21)2+54231???(21)4+7642531?????(21)6+
986427531???????(21)
8+
1110864297531?????????(21)
10+…]}?。
即上式之和開平方即得圓周。
明安圖之《割圜密率捷法》中之“圜徑求周”相當於《測圜密率》之〈第一
術?圜徑求周〉，《測圜密率》尚有〈第二術?圜徑求面積〉、〈第三術?球徑
求體積〉及〈第四術?圜面積求周〉，徐有壬之第二、三及四術皆涉及π，故
一併提及。
|
|
