第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。
2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。
3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,60km，那么甲乙两站的路程是km。
4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第位。
5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是。
6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为。
7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有张是卡片“3”。
8．若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？
11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？
12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。
14．已知两位自然数能被它的数字之积整除，求出代表的两位数。
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）
Key
1．173
2．19
3．425
4．5
5．223；3
6．32
7．3
8．4
9．不能
10．[8，12，18]=72
8+12+18-3-2-1+1=32除去重复的32-4=28段
最长一段长为1，所以1/72
11．7；5
12．有质数,1163；1163不能除以2,3,5……37内质数,1163＜37×40
13．335×6=2010
（2010-670）÷2=670
2010-（670×2）=670
14．11，12，15，24，36
第十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛卷
2、【解答】（列表方法）共有25-6=19(种)
包装盒价格
礼
品
盒
价
格 1 3 5 7 9 2 3 5 7 9 11 5 6 8 10 12 14 8 9 11 13 15 17 11 12 14 16 18 20 14 15 17 19 21 23
3、【解答】（相遇、追及综合问题）A与C20分钟相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50(km),这50km即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50÷（80-60）=2.5（小时）。所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5=425(km)
4、【解答】平均数=【（++）+++】÷6≈0.265457，所以这个平均数从小到大排列在第5位。
5、【解答】（余数问题或周期规律）题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个。即数列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（个），最大公约数为3
6、【解答】（表面几何问题）。
(视图方法)。俯视面积5，仰视面积5，前视面积5，后视面积5，左视面积6，右视面积6，表面积共32
7、【解答】（不定方程问题）
设卡片3用X张，卡片4用Y张，卡片5用M张，则：
X+Y+M=8①
3X+4Y+5M=33②2X+Y=7X最大为3
8、【解答】（估算问题）
根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算。
-≈0.41，-≈0.01548，-≈0.00354，-≈0.00132
0.00063，……推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和,所以小数点后第一位为4。
答下列各题(每题10分，共40分)
9、【解答】（染色问题）将5块硬纸板黑白间隔染色，可见黑色有11块，白色9块，或者黑色9块，白色11块。而右边20个格子黑、白各10块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。
10、解答（重叠问题）：令L=[8,12,18]=72的K倍，即L=72K。那么:
红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；
蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；
黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；
又知：【9K，6K】=18K,重叠4段。【6K，4K】=12K，重叠6段。【9K，4K】=36K，重叠2段
【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。
由容斥原理二得：一共分割的段数为：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）
或总点数为：（9+13+19）16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外还有2、4……等等。
1163是质数,判断方法是:35=1225，34=1156最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数。
解答下列各题（每题15分，共30分）
13、【解答】（图形面积问题）（容斥原理求面积）
六边形的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积。
根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积=（335×6+670）÷2=1340
所以：
六边形的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积
=2010-1340=670
14、【解答】（不定方程问题）
令虎为X、威为Y,则：题意为：10X+Y=X×Y×K（K为整数）
讨论:①Y=1(K-10)X=1X=1,K=11,=11
②Y=2(K-5)X=1X=1,K=6,=12
③Y=3(3K-10)X=3无解
④Y=4(4XK-10K)=2X=2,K=3=24
⑤Y=5（K-2）X=1X=1,K=3=15
⑥Y=6(3K-5)X=3X=3,K=2=36
⑦Y=7，同上方法讨论无解。
⑧Y=8，同上方法讨论无解。
⑨Y=9，同上方法讨论无解。
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