-1-
測圜密率之三角函數及其級數表達式
TheTrigonometricFunctionsinSeriesin“Cè
YuánMìLǜ”
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:Thisarticlenarratesthemaintrigonometricfunctionsinseriesin“Cè
YuánMìLǜ”
提要：《測圜密率》乃清?徐有壬著。其書涉及以無窮級數表圓周率及三角
函數，本文談及部分三角函數之無窮級數表示法及其証明。
有關《測圜密率》之作者簡介，可參閱筆者另文：〈《測圜密率》之π無
窮級數表示法及其証明〉。本文旨在介紹該書所提及之三角函數之無窮級數表示
法及其証明。
據徐有壬所云，以下四術皆源自杜德美：
第一術弧背求正弦
第二術弧背求正矢
第三術正弦求弧背
第三術正矢求弧背
以後尙有其他“術”則徐有壬“續增”，至於是否由其獨立發現，則無清楚
說明。其他“術”涉及計算圓體積、圓錐體積、圓臺體積等，計算公式古以有之，
但徐有壬將π寫成無窮項級數，令人覺得新鮮。明安圖與項名達皆為級數研究
之佼佼者，再加上徐有壬，遂令清代之數學在級數研究方面能大放異彩。
弧背求正弦
以下為《測圜密率?卷第二》之第一術，弧背求正弦。“弧背”，即今之弧
度(radian)；正弦，即sine，又設圓半徑r為1。今設弧度為x，《測圜密率》
曰先置以下各數﹝注意數之正負，楷體為原文﹞：
-2-
弧背為第一數，正。
第1數：x；
弧背自乘，乘第一數，半徑冪除之，二除之，三除之，為第二數，負。
半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同。注意此項為負，依其文意可知：
第2數：–x2×x×321?×
21r
=–
2
3
!3rx
；
弧背自乘，乘第二數，半徑冪除之，四除之，五除之，為第三數，正。
第3數：x2×
2
3
!3rx
×541?×
21r
=
4
5
!5rx
；
弧背自乘，乘第三數，半徑冪除之，六除之，七除之，為第四數，負。
第4數：–x2×
4
5
!5rx
×761?×
21r
=–
6
7
!7rx
。
順是以下皆如是遞求，至單位下乃併諸正數減諸負數，得所求正弦。
第n數：(–1)n–1
22
12
)!12(?
?
?n
n
rnx
。
求其和得：
x–
2
3
!3rx
+
4
5
!5rx
–
6
7
!7rx
+…(–1)n–1
22
12
)!12(?
?
?n
n
rnx
+…
若r=1，上式即可寫成：
sinx=x–!33x+!55x–!77x+…(–1)n–1
)!12(
12
?
?
nx
n+…–∞
=??
?
??
??1
121
)!12()1(k
kk
kx
。
若k安排從0開始，則
sinx=??
?
?
??0
12
)!12()1(k
kk
kx
。
《測圜密率》無作出証明。比徐有壬早之明安圖著有《割圜密率捷法》，其
卷一有“圜徑求周”，其法與上文相若，唯明安圖稱各所得數為“條”；而其《割
圜密率捷法》亦無証明。
今以現代數學法証明如下：
根據泰勒展式(Taylorseries或expansion)：
-3-
f[a+(x–a)]
=f(x)
=f(a)+f’(a)(x–a)+!2)(''''af(x–a)2+!3)(''''''af(x–a)3+…。
f’(x)乃f(x)之一階導數，f’’(x)乃二階導數，…f(n)(x)乃n階導數，其餘
類推。
以上之展式若a=0，則稱為f(x)之Maclaurinseries或expansion，若
f(x)=sin[a+(x–a)]=sinx，又若a=0，則
f’(x)=cosx；f’’(x)=–sinx；f’’’(x)=–cosx；f(4)(x)=sinx；
f(5)(x)=cosx；
…
但f(0)=sin0=0及cos0=1。
求f(x)各階導數後將a=0代入泰勒展式，f’(0)(x–0)=xcos0=x。
!2)0(''''f(x–0)
2=–x2sin0=0；
!3)0(''''''f(x–0)
3=–x3
!30cos=–!33x；
……
只須注意含cos0之項，含sin0之項為0，其他可類推。求其和即可得：
sinx=x–!33x+!55x–!77x+…(–1)n–1
)!12(
12
?
?
nx
n+…–∞
此結果與《測圜密率》所記相同。若以上式為基礎，則cosx之級數容易算
出，上式左右兩方微分可得：
cosx=1–!332x+!554x–!776x+…(–1)n–1
)!12()12(
22
??
?
nxn
n+…
=1–!22x+!44x–!66x+…(–1)n–1
)!22(
22
?
?
nx
n+…
=??
?
??
??1
221
)!22()1(k
kk
kx
。
若k安排從0開始，則cosx=??
??0
2
!2)1(k
kk
kx
。
-4-
亦可依泰勒展式及Maclaurinseries求之，其法如求sine之級數。
弧背求正矢
正矢，versinex，即1–cosx，此函數今不用。
弧背自乘，半徑除之，二除之，為第一數，正。
第1數：!22x；
弧背自乘，乘第一數，半徑冪除之，三除之，四除之，為第二數，負。
半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同。注意此項為負，依其文意可知：
第2數：–x2×!22x×431?=–!44x；
弧背自乘，乘第二數，半徑冪除之，五除之，六除之，為第三數，正。
第3數：x2×!44x×651?=!66x；
弧背自乘，乘第三數，半徑冪除之，六除之，七除之，為第四數，負。
第4數：–x2×!66x×871?=–!88x。
順是以下皆如是遞求，至單位下乃併諸正數減諸負數，得所求正矢。
第n數：(–1)n–1!22nxn。
其和為!22x–!44x+!66x–!88x+…(–1)n–1!22nxn+…–∞
証明：先算出餘弦級數﹝見前﹞，再以1減之即得。
cosx=1–!22x+!44x–!66x+…(–1)n–1
)!22(
22
?
?
nx
n+…。
1–cosx=1–[1–!22x+!44x–!66x+…(–1)n–1
)!22(
22
?
?
nx
n+…]
=!22x–!44x+!66x–!88x+…(–1)n–1!22nxn+…。
此結果與《測圜密率》所記相同。
-5-
正弦求弧背
設siny=x，求sin–1x=y。
正弦為第一數。
第1數：x；
正弦自乘，乘第一數，半徑冪除之，二除之，三除之，為第二數。
依舊設半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同﹝若非1，則每數須除以r2﹞。
依其文意可知：
第2數：x2×x×3212?=?2133x；
正弦自乘，乘第二數，半徑冪除之，九乘之，四除之，五除之，為第三數。
第3數：x2×?2133x×5432?=542315x???；
正弦自乘，乘第三數，半徑冪除之，二十五乘之，六除之，七除之，為第四
數。
第4數：x2×542315x???×7652?=?????64253177x；
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併，得所求弧背。
第n數：
)12(!)!22(!)!32(
12
???
?
nnxn
n(n≥2)。求其和得
sin–1x=x+?2133x+542315x???+?????642531!77x+.…
)12(!)!22(!)!32(
12
???
?
nnxn
n+…
﹝|x|<1﹞(n≥2)。
現在以現代數學方法証明如下：
微分反三角函數正弦，即dxdsin–1x=
21
1x?，即：
??21xdx=sin–1x。若x介於0與1之間，則211x?可寫成展式如下：
21
1x?=1+21x2+4231??x4+642531????x6+86427531??????x8+10864297531????????x10
+…。﹝|x|<1﹞
上式之左方及右方作積分得：
-6-
sin–1x=x+321?x3+54231???x5+7642531?????x7+986427531???????x9+
1110864297531?????????x
11+…。
此結果與徐有壬《測圜密率》所記相同﹝見上文﹞
正矢求弧背
設versiney=1–cosy=x，
1–x=cosy
y=cos–1(1–x)
矢乘圜徑為第一數。
若圜徑為2，則第1數：2x；
倍矢乘第一數，半徑除之，三除之，四除之，為第二數。
半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同。依其文意可知：
第2數：4x2×4312?=32x；
倍矢乘第二數，半徑除之，四乘之，五除之，六除之，為第三數。
第3數：8x3×4312?×6522?=2x×32x×6522?=4x365321????；
倍矢乘第三數，半徑除之，九乘之，七除之，八除之，為第四數。
第4數：16x4×4312?×6522?×8732?=2x×4x365321???×8732?=4x48753321??????；
倍矢乘第四數，半徑除之，十六乘之，九除之，十除之，為第五數。
第5數：32x5×4312?×6522?×8732?×10942?=2x×4x48753321??????×10942?=
4x51097534321????????；
倍矢乘第五數，半徑除之，二十五乘之，十一除之，十二除之，為第六數。
第6數：64x6×4312?×6522?×8732?×10942?×121152?
-7-
=2x×4x51097534321????????×121152?=4x61211975354321??????????；
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併，為弧背之自乘冪，開平方得所求弧
背。
第n數：4xn
nnn2!)!12()!1(??
。求其和得﹝每一數依通項寫成﹞：
4x211?+4x24311??+4x3653121?????+4x487531321???????+4x510975314321?????????
+4x612119753154321???????????+…4xn
nnn2!)!12()!1(??
…
此和開平方得：
[4x211?+4x24311??+4x3653121?????+4x487531321???????+4x510975314321?????????
+4x612119753154321???????????+…4xn
nnn2!)!12()!1(??
…]?。
本題無提供証明。
正切求弧背。
設tany=x，
tan–1x=y。
正切為第一數。
第1數：x
若圜徑為2，則第1數：x；
正切自乘乘第一數，半徑冪除之，一乘之，三除之，為第二數，負。
若半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同。依其文意可知：
第2數：–x2×x×31=–
2
33rx；
正切自乘乘第二數，半徑冪除之，三乘之，五除之，為第三數，正。
第3數：x2×
2
33rx×
253r
=
4
55rx；
正切自乘乘第三數，半徑冪除之，五乘之，七除之，為第四數，負。
-8-
第4數：–x2×
4
55rx×
275r
=–
6
77rx；
順是以下皆如是遞求，至單位下乃併諸正數，減諸負數，所求弧背。
第n數：(–1)n–1
22
12
)12(?
?
?n
n
rnx
。求其和得：
x–
2
33rx+
4
55rx–
6
77rx+
8
99rx…，若r=1，則可寫成：
tan–1x=x–33x+55x–77x+99x…，
此式相當於《測圜密率》之法。現作証明如下：
因為dxdtan–1x=
211x?
，即
tan–1x=??
211x
dx。
但
211x?
=1–x2+x4–x6+x8–x10+…|x|<1；
左右兩方作積分即可得：
tan–1x=x–33x+55x–77x+99x–1111x…。
從以上之式可得一非常重要之結果，當x=1時，上式即可寫成：
tan–11=1–31+51–71+91–111…
因為tan–11=4?，因此
4?=1–31+51–71+91–111…=??????1112)1(kkk。
弧背求正切。
即求tanx。
弧背為第一數。
則第1數：x；
-9-
弧背自乘乘第一數，半徑冪除之，三除之，為第二數。
半徑r為1，其冪為r2亦為1，下同。依其文意可知：
第2數：x
×x×
231r
=
2
33rx；
弧背自乘，倍之乘第二數，半徑冪除之，五除之，為第三數。
第3數：2x2×
2
33rx×
251r
=
4
5152rx；
弧背自乘，倍之乘第三數，加一差，半徑冪除之，七除之，為第四數。
第4數：(2x2×
4
5152rx+
4
69rx×x)×
271r
=
4
7745512rxx?×
271r
=
6
731517rx；
弧背自乘，倍之乘第四數，加二差，半徑冪除之，九除之，為第五數。
第5數：(2x2×
6
731517rx+
6
9454rx)×
291r
=
6
931562rx×
291r
=
8
9283562rx；
弧背自乘，倍之乘第五數，加三差，半徑冪除之，十一除之，為第六數。
第6數：(2x2×
8
9283562rx+
8
114725254rx)×
2111r
=
8
11141751382rx×
2111r
=
10
111559251382rx；
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併，所得求正切。
上文所謂一差、二差、三差與四差，《測圜密率》有以下之定義：
一差：第二數自乘，乘第一數為一差。
(
2
33rx)2×x=
4
79rx。
二差：第二數乘第三數，倍之，又乘第一數為二差。
2
33rx×
4
5152rx×2×x=
6
9454rx。
三差：第二數乘第四數，倍之，第三數自乘，相併，又乘第一數為三差。
[
2
33rx×
6
731517rx×2+(
4
5152rx)2]×x=
8
114725254rx。
四差：第二數乘第五數，倍之，第三數乘第四數，倍之，相併，又乘第一數
為四差。
-10-
[
2
33rx×
8
9283562rx×2+
4
5152rx×
6
731517rx×2]×x=[
10
128505124rx+
10
12472568rx]×x
=
10
132976758624rx。
至單位下而止。
根據其形式，可知五差為：
第二數乘第六數，倍之，第三數乘第五數，倍之，相併，又乘第一數為五差。
第n差為：
第2數乘第(n+1)數，倍之，第3數乘第n數，倍之，相併，又乘第1
數為n差。
於是得正切級數如下：
x+
2
33rx+
4
5152rx+
6
731517rx+
8
9283562rx+
10
111559251382rx…
若r=1，則
tanx=x+33x+1525x+315177x+2835629x+155925138211x…
正切級數比正弦與餘弦級數複雜，但一樣可以以泰勒展式及Maclaurin
series求得，以下為其步驟。
注意dxdtanx=sec2x，及dxdsecx=secxtanx。
設f(x)=tanx，
f’(x)=sec2x；f’’(x)=2secx×secxtanx=2sec2xtanx；
f’’’(x)=4secxsecxtanxtanx+2sec2xsec2x=4sec2xtan2x+2sec4x；
f(4)(x)=8secxsecxtanxtan2x+8sec2xtanxsec2x+8sec3xsecxtanx
=8sec2xtan3x+16sec4xtanx；
f(5)(x)=16secxsecxtanxtan3x+24sec2xtan2xsec2x+64sec3xsecxtan2x
+16sec4xsec2x
=16sec2xtan4x+88sec4xtan2+16sec6x；
f(6)(x)=32secxsecxtan5x+64sec2xtan3xsec2x+352sec3xsecxtan3x+
176sec4xtanxsec2x+96sec5xsecxtanx
=32sec2xtan5x+64sec4xtan3x+352sec4xtan3x+272sec6xtanx
-11-
=32sec2xtan5x+416sec4xtan3x+272sec6xtanx；
f(7)(x)=前一項之微分+1248sec4xtan2xsec2x+1632sec5xsecxtanxtanx
+272sec6xsec2x
=…+2880sec6xtan2x+272sec8x；
f(8)(x)=…+5760sec6xtanxsec2x+2176sec7xsecxtanx
=…+5760sec8xtanx+2176sec8xtanx
=…+7936sec8xtanx；
f(9)(x)=…+7936sec10x。
…
其餘類推。注意sec0=1；tan0=0，以上部分算式略去含tanx之項。
f(0)=tan0=0；於是得
第1數：f’(0)(x–0)=x；
!2)0(''''f(x–0)
2=
!212x
2sec20tan0=0；
第2數：!3)0(''''''f(x–0)3=!312x3=33x；
!4)0()4(f(x–0)
4=0；
第3數：!5)0()5(f(x–0)5=
!516
5x=1525x；
!6)0(
)6(f(x–0)6=0；
第4數：
!7)0(
)7(f(x–0)7=
!7272
7x=315177x；
!8)0(
)8(f(x–0)8=0；
第5數：
!9)0(
)9(f(x–0)9=
!97936
9x=36288079369x=2835629x；
…
以上結果與《測圜密率》所記相同。注意以泰勒展式及Maclaurinseries求
得之級數不能說明《測圜密率》所採用之方法，只能証明《測圜密率》之結果正
確。
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