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名称 定义与判定 性质 正方形 2.一组邻边相等的矩形
3.一个角是直角的菱形
4.对角线相等且互相垂直的平行四边形 1.对角线与边的夹角为45度
2.面积等于边长的平方
3.面积等于对角线乘积的一半
例1(1)(2012·天津)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()
A.－1B．3－
C.＋1D.－1
(2)(2012·陕西)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为()
A．75°B．65°C．55°D．50°
例1(2)题
(3)(2012·黄石)如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为()
A.cmB.cmC.cmD．8cm
【点拨】(1)利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，由DE＝ME－DM，可以求出DE，继而可求DG的长；
(2)利用补角求出∠BAD，再求出∠BAO，列式计算即可；
(3)设BE＝xcm，则AE＝(8－x)cm，由于点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】(1)D由题意知ME＝MC＝＝，DG＝DE＝ME－DM＝－1，故此题选D.
(2)B菱形的邻角互补，菱形的对角线平分一组对角．∵∠ADC＝130°，∴∠DAB＝50°，∴∠OAE＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝65°.
(3)B设BE＝xcm，则AE＝(8－x)cm，在Rt△ABE中，62＋x2＝(8－x)2，解得x＝，所以EC＝AE＝8－＝cm，由矩形的中心对称性知BE＝DF，AF＝CE＝cm，故选B.
【点拨】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与性质，注意用等角代换解题．
例2(2012·黄冈)
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝45°，∠DCF＝45°，∠ADC＝90°.
在△ADE与△DCF中，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF.
又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DF.
(本题还可证△AOE≌△DOF)
例3(2012·昆明)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
【点拨】(1)根据矩形的性质求出AD∥BC，根据OB＝OD和AD∥BC，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN.
(2)根据菱形的性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2＋AB2，推出x2＝x2－16x＋64＋16，求出即可．
【解答】(1)证明：∵MN是BD的垂直平分线．
∴MB＝MD，OB＝OD，∠BON＝∠DOM.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴∠OBN＝∠ODM.∴△BON≌△DOM.∴BN＝DM.∴四边形BMDN是平行四边形．∴平行四边形BMDN是菱形．
(2)设MD＝x，则AM＝8－x，BM＝x.
在Rt△ABM中，BM2＝AB2＋AM2.
∴x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5.∴MD＝5.
1．在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()
A．1cmB．2cmC.cmD.cm
答案：D
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()
(第2题)
A．AB∥DCB．AC＝BD
C．AC⊥BDD．OA＝OC
答案：B
答案：C
3．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是()
(第3题)A．7B．8C．9D．10
4．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为16cm2.
(第4题)
5．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为.
(第5题)
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
答案：(1)30°(2)提示：判定四边形AFCE为平形四边形
一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2012·大连)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为()
A．20B．24
C．28D．40
答案：A
2．(2012·苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()
A．4B．6
C．8D．10
答案：C
3．(2012·广州)在平面中，下列命题为真命题的是()
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
答案：C
4．如图，在菱形ABCD中，ED⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值是()
A.B．2C.D.
【解析】设菱形ABCD的边长为x，则AD＝AB＝x，AE＝x－2，在Rt△ADE中，cosA＝，则＝，∴x＝5，则AE＝3.由勾股定理，得DE＝＝4.在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2.
答案：B
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的长是()
A．5B．5C．5D．10
【解析】由矩形的性质得OA＝OB，又∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形．∴OB＝AB＝5.∴BD＝2OB＝2×5＝10.在Rt△ABD中，AD＝＝＝5.
答案：B
6．(2012·河北)如图，两个正方形的面积分别为16,9，两阴影部分的面积分别为a，b(a>b)，则a－b等于()
A．7B．6
C．5D．4
答案：A
7．(2012·西宁)如图，将矩形沿图中虚线(其中x>y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形．若y＝2，则x的值等于()
A．3B．2－1
C．1＋D．1＋
【解析】由题意可先尝试画出符合条件的图形如图所示，然后根据面积相等可得(x＋y)y＝x2，将y＝2代入可得x2－2x－4＝0，解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，故应选C.
答案：C
8．(2012·山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm,8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是()
A．5cmB．2cm
C.cmD.cm
【解析】由于菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，所以菱形的边长为＝5，由菱形面积公式得×6×8＝5AE，解得AE＝(cm)，故此题选D.
答案：D
9．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD等于()
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
答案：A
10．(2012·南京)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°.将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕．当D′F⊥CD时，的值为()
A.B.
C.D.
【解析】设BC交D′F于点H，在Rt△A′EB中，设A′E为x，则BE＝x，A′B＝2x，∴菱形的边长为(＋1)x，
∴BD′＝(＋1)x－2x＝(－1)x＝D′H.在Rt△HFC中，设CF＝t，则FH＝t，CF＋FH＝(＋1)t＝2x，解得t＝(－1)x，∴FH＝t＝(3－)x，∴FC∶FD＝FC∶D′F＝(－1)x∶[(3－)x＋(－1)x]＝.
答案：A
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为cm.
【解析】连接BE，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE.设AE＝x，则BE＝DE＝4－x.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，∴x2＋32＝(4－x)2，解得x＝，∴AE＝cm.
12．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为＋1cm(结果不取近似值)．
【解析】∵正方形ABCD是关于对角线AC对称的轴对称图形，∴B、D两点关于AC对称，连接QD，交AC于点P′，当点P运动到P′时，△PBQ的周长最小，在Rt△CDQ中，DQ＝＝，∵P′B＝P′D，∴P′B＋P′Q＝P′D＋P′Q＝DQ＝.∴△PBQ周长的最小值为P′B＋P′Q＋BQ＝(＋1)(cm)．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE＝5cm.以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路线长为πcm.
(第13题)
【解析】当△ADE按顺时针方向旋转到△ABF时，点E所经过的路长是一个以点A为圆心，AE为半径，圆心角为90°的弧长．而AE＝＝＝13，故点E所经过的路长为·2π·13＝π.
14．(2012·台州)如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C＝67.5度．
(第14题)【解析】在△A′BC中，∠A′BC＝45°，BA′＝BC，
∴∠BA′C＝＝67.5°.
15．(2012·安徽)如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1＋S4＝S2＋S3；②S2＋S4＝S1＋S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．
其中正确结论的序号是②④(把所有正确结论的序号都填在横线上)．
【解析】如图，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F.
作GH∥AB，分别交AD、BC于G、H.
由矩形的性质可知：S△APE＝S△APG，S△BPE＝S△BPH，S△CPH＝S△CPF，S△DPF＝S△DPG.
∴S2＋S4＝S1＋S3，②正确．
若S3＝2S1，则PF＝2PE.与△APD和△BPC无关；
若S1＝S2，则S3＝S4.
∴S1＋S4＝S2＋S3，
∴P点在矩形的对角线上，④正确．
三、解答题(共40分)
16．(6分)(2012·温州)如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证法一：如图，∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm.由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC＝10cm，
∴AD＝CF＝AC＝DF，
∴四边形ACFD是菱形．
证法二：由平移变换的性质得AD∥CF，AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是平行四边形．
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，∴AC＝CF，∴ACFD是菱形．
17．(8分)(2012·宁夏)如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证：EF＝FM；
(2)当AE＝1时，求EF的长．
(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°.
∵∠EDF＝45°.
∴∠FDM＝∠EDF＝45°.
又∵DF＝DF，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF＝FM.
(2)解：设EF＝x，∵AE＝CM＝1，
∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－x.
在Rt△EBF中，EB＝2，由勾股定理得EB2＋BF2＝EF2，
即22＋(4－x)2＝x2，
得x＝.∴EF＝.
18.(12分)如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
(1)证明：∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠BCE.
∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE，∴∠FEC＝∠ACE，
∴EO＝OC.同理可证OF＝OC，∴EO＝FO.
(2)解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝×180°＝90°.
由(1)得OE＝OF，又∵O为AC的中点，∴AO＝CO.
∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
(3)解：当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，在(2)的条件下，四边形AECF是正方形．
19．(14分)如图，四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC、AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG.
(1)求证：①DE＝DG；②DE⊥DG；
(2)尺规作图：以线段DE、DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
(4)当＝时，请直接写出的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°.又∵CE＝AG，∴△DCE≌△DAG.
∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG.
又∵∠ADE＋∠GDA＝90°.∴DE⊥DG.
(2)解：如图所示．(注：如图或其他画法正确的相应给分)
(3)解：四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK、DE交于M点．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG.
∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD.
∴四边形CKGD为平行四边形．
∴CK＝DG＝EF，CK∥DG，
∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．
(4)解：＝.
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