第二章平行线与相交线
2.1两条直线的位置关系
一、学习目标：
1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。
?3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。
二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
三、学习难点：学生探索等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。
四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书38、39页
（2）回顾：①什么是直角？②什么是平角？
（3）预习作业：
①在一副三角板中,每块都有一个角是90°,那么其余两个角的和是多少?
②已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________
③已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________
（二）学习过程：
1、创设情境，引入课题
⑴请同学们拿出事先准备好的直角纸板，用剪刀把直角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系？
⑵再拿出平角纸板并用剪刀把平角从顶点剪开，问：这两个角有什么关系?
⑶请同学们分别给这两个角命名——引入课题
2、展示新知：
⑴在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o。一般情况下，如果两个角的和等于90o（直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．
同样，如果两个角的和等于180o(平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
⑵符号语言：若∠1+∠2=90o，那么∠1与∠2互余。XkB1.com
若∠3+∠4=180o，那么∠3与∠4互补。
3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系,可以把剪下的∠1、∠2、∠3、∠4摆放出各种不同位置。
（3）区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。
4、应用新知体验成功
⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________
⑵若∠1=90o—∠2，则∠1+∠2=__________
⑶60O32’的补角是_______，余角是_______
(一个角的余角一定比这个角的补角小吗？)
⑷30O角的余角的补角是__________
⑸填表：ttp://www.xkb1.co
一个角 30O 70O 这个角的余角 90o-∠ 这个角的补角 180o-∠
⑹若一个角是它余角的4倍，求这个角。
变式训练：（1）一个角的补角是它的3倍，求这个角。
一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角。
5、探讨余角与补角的性质
例1如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角与补角的性质：
______________________________________________________。
巩固练习
(7)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角?∠ADC与∠BDC有什么关系?为什么?
∠ADF与∠BDE有什么关系?为什么?
(8)如图，C是AB上的一点，CD是∠ACB的平分线，则
①图中互余的角是______________互补的角是__________，相等的角是_____________
②在图中再添一条射线CF，使∠FCE=Rt∠，则图中∠FCD余角是____________∠ACF的余角是__________，∠FCB的补角是__________，理由是____________________________________
(9)已知：如图∠AOB=∠COD=Rt∠，问：图中有几对相等的角，并说明理由ttp://www.xkb1.co
对顶角的概念
______________________________________________________
对顶角相等的性质______________________________________________________。
六、课堂练习：
1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．
2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数．
4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°。求∠BOD，∠AOE的度数．
拓展训练：
1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．
2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．
3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．
4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．
七、小结：
互余 互补 对顶角 数量关系 对应图形关系 性质
2.2探索直线平行的条件（1）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
2、会认由三线八角所成的同位角。
3、掌握平行线公理及平行线的传递性。新课标第一网
4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题
二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”
三、学习难点：判断两直线平行的说理过程
四、学习设计：
（一）课前准备
（1）预习书44-48页
（2）思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？
（3）预习作业
如图所示，①是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的；②是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的；③是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的。
（二）学习过程
1、两直线被第三直线所截，可形成的角有，，。
同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：
基本图形 角的名称 位置特征 图形结构特征
例1如图是同位角关系的两角是，是互补关系的两角是，是对顶角的是。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角，那么这两直线。
简称：（公理）
如图，可表述为：
∵()
∴()
如图
（1）
（垂直的定义）
∴∥（同位角相等，两直线平行）
（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律
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变式训练：如图所示
1、（已知）
∴∥（）
2、（已知）
∴∥（）
例3、如图，已知，直线BC与DF平行吗？为什么？
变式训练：如图，已知，试问a与b平行吗？说说你的理由。
平行线公理：过直线外一点有条直线与这条直线平行。
平行线的传递性：
几何语言：
拓展：
如图，已知，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。
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2.2探索直线平行的条件（2）
一、学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。
3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
三、学习难点：
会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书47-48页
（2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？②同位角相等，两直线平行。
（3）预习作业：
如图所示：
（1）如果，那么∥
理由是
（2）如果，那么∥
理由是
（3）如果，那么∥
理由是
（4）如果，那么∥
理由是
（二）新课学习：
平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角，那么这两直线。
简称：
如图，可表述为：
∵()
∴（)
平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角，那么这两直线。
简称：
如图，可表述为：
∵()
∴（)
例1、如右图，∵∠1＝∠2
∴∥，
∵∠2＝
∴∥，（同位角相等，两直线平行）
∵∠3＋∠4＝180°
∴∥，
∴AC∥FG，
变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？
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例2、如图，已知，那么AB∥CD成立吗？请说明理由。
变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？
解：为∠1+∠2=180°（）
所以AB∥_______（）
又因为∠1=∠3（）
所以∠2+∠________=180°（）
所以EF∥GH（）
拓展：1、如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．
解：AB∥CD理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（）
∴∠1=,∠2＝（）
∵∠1+∠2=90o()
∴∠ABD+∠CDB＝＝＝180o。
∴CD∥AB（）
2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。
（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180o；
（3）∠CAD＝∠ACB。
当堂测评：
1．如图1所示，若∠BEF+______=180°，则AB∥CD．
2．（2008，齐齐哈尔市）如图2所示，请你写一个适当的条件_______，使AD∥BC．
图2图3图4
3．如图3所示，若∠1=30°，∠2=80°，∠3=30°，∠4=70°，若AB∥____．
5．如图5所示AE∥BD，下列说法不正确的是（）
A．∠1=∠2B．∠A=∠CBDC．∠BDE+∠DEA=180°D．∠3=∠4
图5图6图7
6．如图6所示，能说明AB∥DE的有（）新-课-标-第-一-网
①∠1=∠D；②∠CFB+∠D=180°；③∠B=∠D；④∠BFD=∠D．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7.如图7所示，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（）
A．∠3=∠4B．∠A+∠ADC=180°C．∠1=∠2D．∠A=∠5
2.3平行线的性质
一、学习目标
1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题。
二、学习重点
平行线的特征的探索
三、学习难点
运用平行线的特征进行有条理的分析、表达
四、学习过程
（一）预习准备
（1）预习书50-53页
（2）回顾：平行线有哪些判定方法？
（3）预习作业
1、如图，已知BE是AB的延长线，并且AD∥BC,AB∥DC，若，则度，度。
2、如图，当∥时，；
当∥时，；
（二）学习过程
例1如图，已知AD∥BE，AC∥DE，，可推出（1）；（2）AB∥CD。填出推理理由。
证明：（1）∵AD∥BE（）
∴（）
又∵AC∥DE（）
∴（）
∴（）
（2）∵AD∥BE（）
∴（）
又∵（）
∴（）
∴AB∥CD（）
变式训练：如图，下列推理所注理由正确的是（）
A、∵DE∥BC
∴（同位角相等，两直线平行）
B、∵
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
C、∵DE∥BC
∴（两直线平行，内错角相等）
D、∵
∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）
如图，已知AB∥CD，求的度数。
变式训练：如图，，已知AB∥CD，试说明
X|k|B|1.c|O|m
拓展：1、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，的平分线与的平分线相交于点P，则，试说明理由。
2、如图，已知EF∥AB，CD⊥AB，，试说明DG∥BC。
回顾小结：
1、说说平行线的三个性质是什么？
2、平行线的性质与平行线的判定的区别：
判定：角的关系平行关系
性质：平行关系角的关系
3、证平行，用判定；知平行，用性质。
2.4用尺规作角
一、学习目标：1、会用尺规作一个角等于已知角。
二、学习重点：1、作一个角等于已知角。
2、作角的和、差、倍数等。
三、学习难点：作角的和、差、倍。
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习课本55-56页
（2）思考①什么叫尺规作图？②直尺的功能？圆规的功能？
（3）预习作业
利用尺规按下列要求作图
延长线段BA至C，使AC=2AB
延长线段EF至G，使EG=3EF
反向延长MN至P，使MP=2MN
（二）学习过程
1、（1）只用没有的直尺和作图成为尺规作图。
（2）尺规作图时，直尺的功能是（1），（2）
圆规的功能是（1），（2）
例1下列说法正确的是（）
A、在直线l上取线段AB=aB、做
C、延长射线OAD、反向延长射线OBwWw.xKb1.coM
例2作图
（1）用尺规作一个角等于已知角.
已知：∠。求作：∠AOB，使∠AOB=∠
（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数:
已知：∠1求作：∠MON，使∠MON=2∠1
（3）用尺规作一个角等于已知角的和:
已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠1+∠2
（4）用尺规作一个角等于已知角的差:
已知：∠1、∠2、求作：∠AOB，使∠AOB=∠2－∠1
回顾小结：常见作图语言：（1）作∠XXX=∠XXX。
（2）作XX（射线）平分∠XXX。
（3）过点X作XX⊥XX，垂足为点X。
第二章回顾与思考
全章知识回顾XkB1.com
1、概念：相交线、平行线、对顶角、余角、补角、邻补角、垂直、同旁内角、同位角、内错角、平行线。
2、公理：平行公理、垂直公理
3、性质：
（1）对顶角的性质；
（2）互余两角的性质；
互补两角的性质；
（3）平行线性质：两直线平行，可得出；
；
平行线的判定：或或
都可以判定两直线平行。
垂线段定理：
点到直线的距离：
7、辨认图形的方法
（1）看“F”型找同位角；
（2）看“Z”字型找内错角；
（3）看“U”型找同旁内角；
8、学好本章内容的要求
（1）会表达：能正确叙述概念的内容；
（2）会识图：能在复杂的图形中识别出概念所反映的部分图形；
（3）会翻译：能结合图形吧概念的定义翻译成符号语言；
（4）会画图：能画出概念所反映的几何图形及变式图形，会在图形上标注字母和符号；
（5）会运用：能应用概念进行判断、推理和计算。
例1已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB，CD于M、N，MG、NH分别是的平分线。试说明MG∥NH。
已知，如图
已知，如图AB∥EF，,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由。
变式训练：
1、下列说法错误的是（）
A、是同位角B、是同位角
C、是同旁内角D、是内错角
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2、已知：如图，AD∥BC，，求证：AB∥DC。
证：∵AD∥BC(已知)
∴（）
又∵（已知）
∴（）
∴
∴AB∥DC（）
几何书写训练
1、已知：如图，AB∥CD,直线EF分别截AB、CD于M、N,MG、NH分别是的平分线。求证：MG∥NH。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴=（）
∵MG平分（已知）
∴==（）
∵NH平分（已知）
∴==（）
∴=（）
∴=（）
2、已知：如图，
证明：∵AF与DB相交（已知）
∴=（）
∵（已知）
∴=（）ttp://www.xkb1.co
∴=（）
∴=（）
∵（已知）
∴=（）
∴=（）
∴=（）
3、已知：如图，AB∥EF，.求证：BC∥DE
证明：连接BE，交CD于点O
∵AB∥EF（已知）
∴=（）
∵（已知）
∴—=—（）
∴=（）
∴∥（）
4、已知：如图，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且，，求的度数。
解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）
∴∥（）
∴=（）
∵（已知）
∴=（）
∴∥（）
∴=（）
∵（已知）
∴（）
5、如图，已知。
推理过程：∵（）
（已知）
∴（等量代换）
∴∥（）
∴（）
又∵（）
∴（）
∴（）
6、已知AB∥CD，EG平分，FH平分,试说明EG∥FH。
推理过程：∵AB∥CD（已知）
∴=（）
∵EG平分，FH平分（）
∴，（）
∴（）
∴EG∥FH（）
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7、如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，，试说明BE∥CF。
推理过程：∵AB⊥BC，BC⊥CD（）
∴()
∴
又∵（）
∴（）
∴BE∥（）
8、如图，BE∥CD，，试说明
推理过程：∵BE∥CD（）
∴（）
∵（已知）
∴（）
∴BC∥（）
∴（）
9、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO，FC⊥AB于C，，试说明OD⊥AB。
推理过程：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）
∴DE∥（）
∴（）
∵（）
∴（）
∴CF∥（）
∴（）
∵FC⊥AB（已知）
∴（）
∴（）
∴OD⊥AB（）
10、如图，BE平分，DE平分，DG平分,且，试说明BE∥DG.
推理过程：∵BE平分，DE平分（）
∴，（）
∵（已知）
∴=180°
∴∥（）
∴（）
∵DG平分（已知）
∴（）
∴（）
∴BE∥DG（）
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1∠3与∠4
1
2
4
3
4
2
1∠3与∠4
1
2
D
B
A
O
C
B
E
D
A
F
C
B
1
A
F
E
2
D
4
3
1
2
2
1
4
3
4
3
4
3
4
2
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