例一
(2)
例二
例三
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形。
证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，
则由已知可得PM=PN，易证PME≌△PNF，
M=∠N，EAP=∠PCF，AD∥BC，
可证得PAE≌△PCF，得PA=PC，
再证PED≌△PFB．得PB=PD．
ABCD为平行四边形．
引申：（08西城一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F。若PE=PF，且AP+AE=CP+CF。（1）求证：PA=PC；（2）若AD=12，AB=15，DAB=60°，求四边形ABCD的面积。
解：（1）证明：延长DC交BE于点M，BE∥AC，ABDC，四边形ABMC是平行四边形，CM=AB=DC，C为DM的中点，BEAC，DF=FE；（2）由（2）得CF是DME的中位线，故ME=2CF，又AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，BE=2BM=2ME=2AC，又AC⊥DC，在RtADC中利用勾股定理得AC=，BE=；（3）可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME，在RtADC中利用勾股定理得DC=，由CF是DME的中位线得CM=DC=，四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=，BM=AC=，梯形ABMD面积为：；由ACDC和BEAC可证得三角形DME是直角三角形，其面积为：，四边形ABED的面积为。
基础夯实
1、因平行四边形所BC=AD=5cmAD//BC所DAE=∠BEA又AE平分BAD所BAE=∠DAE,所BAE=∠BEA,所AB=BE=3cm（等腰三角形判定）所EC=BC-BE=5-3=2CM
平行四边形ABCD得到AB平行且等于CD,再加上AEBD，得AB等于DE，所以CD等于DE。直角三角形CEF斜边上的中线等于斜边的一半，所以CD＝DE＝DF＝2。ABC=60°，则DCF=60°。三角形CDF为等边三角形。所以CF等于2，则EF等于2根号3。
AB//CD,AE//BD∴AEDB是平行四边形，ED=AB=DCFD是RtECF斜边EC上的中线EC=2DF=4又DCF=∠ABC=60o，故CEF=30o∴CF=(1/2)EC=2EF=√(EC2-CF2)=2√3
3、因为ABCD为平行四边形
所以CDMB
所以NDC=∠M
因为NDC=∠MDA
所以MDA=∠M
所以AD=AM
因为AM+AB=6
所以AD+AB=6
平行四边形ABCD的周长
=(AD+AB)×2=12
4、因为a平方+b平方+c平方+d平方=2ab+2cd所以(a-b)^2+(c-d)^2=0所以a=b,c=d设四边形为ABCD,则三角形ABC与三角形CDA全等,所以a=d,b=c,a=b=c=d故四边形ABCD为菱形
①∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，DC=AB，ADC=∠ABC．ADF，ABE均为等边三角形，ADF=∠ABE=60°，AD=DF=BC，AB=BE=DC，FDC=∠CBE，CDF≌△EBC．故结论正确．易证CDF≌△EAF，CDF=∠EAF．故结论正确．由可得，CDF≌△EBC≌△EAF，CF=EC=EF，ECF是等边三角形．故结论正确．若CGAE，则G是AE的中点，ABG=30°，ABC=150°，题目缺少这个条件，故CGAE不一定成立．即结论不一定正确．故选B．
6、因为在平行四边形ABCD中AB//CD,AB=CD，又点A1,A2,A3，A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点所以AA1=DC4,AA1//DC4所以四边形AA1C4D是平行四边形，所以A1C4//AD,A1C4=AD同理可证A2C3//A3C2//A4C1//BC,AB//B1D2//B2D1//CD所以每个小块都是平行四边形，而且面积相等设每小块面积是a,则平行四边形ABCD是15a，角上四个三角形的面积分别是a,2a,a,2a所以四边形A4B2C4D2的面积为9a9a=1则15a=5/3即平行四边形ABCD面积是3分之5。
解：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．解法一：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．∵∠A=∠C，∴∠B=∠D．∴四边形ABCD是平行四边形．解法二：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；解法三：已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；解法四：已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．
8、、证明：APC、AQC为等边三角形。PAC=∠ACQ=60°AP=CQ=AC∴AP‖CQ又ABCD为平行四边形AD=BC且ADBC∠DAC=∠ACB，DAC+∠PAC=∠ACB+∠ACQ即：DAP=∠QCB在DAP和QCB中，AD=BC，DAP=∠QCB，AP=CQDAP≌△QCB∴DP=QB（1）同理，ACP＝QAC=60°，AQ=PC=AC，ACB-∠ACP=∠DAC-∠QAC即：DAQ＝PCB在DAQ和BCP中，DAQ＝PCB，AQ=PC，AD=CBDAQ≌△BCP∴BP=QA（2）由（1）（2），四边形PDQC是平行四边形分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF-PD=CF，即PF-PD+PE=AC=AB．
解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF-PD=AB．
10、
11?：延长EF交CD延长线于G,连接CE平行四边形ABCD,CEAB∴AB∥CD∴CE⊥CD,∠G=∠AEF=54,∠A=∠GDF∵AF=DF∴△AEF≌△DGF∴EF=FG在RT三角形ECG中，CF=FG=EFG=∠FCG=54∴∠FEC=∠FCE=90-54=36∵AD=BC=2AB=2CDAD=2FD∴FD=DC∴∠FCG=∠DFC=∠BCF=54∴∠ECB=∠BCF-∠ECF=54-36=18在RTBCE中，B=90-∠ECB=72即B=72o
12\解：∵NH∥MG∥BC，ME∥NF∥AC，GF∥EH∥AB，∴可得四边形ANFG为平行四边形，即NF=AG；同理，NH=FC，HE=BN，EM=GC，MG=BF，GF=AN，∴黑蚁的路程=FN+NH+HE+EM+MG+GF=AG+FC+BN+GC+BF+AN，白蚁的路程=BF+BN+AN+AG+GC+FC，∴白蚁的路程=黑蚁的路程，即它们同时回到F点，故选C．
13、B分析：根据题目所给出的条件看是否可以推出，一组对边平行，一组对角相等可推出两组对角分别相等，可判定为平行四边形一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分，可利用全等得出这组对边也相等，可判定为平行四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，所在的三角形不能得出一定全等，所以能判定为平行四边形．解答：解：一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，即一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形；故错误；两组对角的内角平分线分别平行的四边形，能证明两组对角相等，故四边形一定是平行四边形，故正确；一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也可以符合等于上下底的一半，故错误；两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可证明两组对边平行，故正确；故答案为：．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是通过给定的条件推可判定四边形是平行四边形的条件，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形．而三条平行线中任选两条的方法有3种，五条平行线中任选两条的方法有10种，故平行四边形的个数为3×10=30．故选C．平移方法：将AB沿BC平移到PC，有PCDE，再将CD沿DE平移到ER，且R在PC上，过A、P作线段AQ交ER于Q，易证PQR是等边三角形，再由平行四边形的性质推出六边形各内角都等于120°.[解题过程]证明将AB沿BC平移到PC,有PCDE,再将CD沿DE平移到ER,有ERFA,且R在PC上,过A、P作线段,交ER于Q,由APBC,有AQEF....∴PR=AB-DE,QP=EF-BC,RQ=CD-FA.又AB-DE=EF-BC=CD-FA,∴PR=RQ=PQ.∴△PQR是等边三角形.PQR三内角均为60°.AQE=∠ERC=∠CPA=120°,∠AFE=∠EDC=∠CBA=120°.从而BCD=∠FAB=∠DEF=120°.即六边形各内角相等非平移方法：可以过过D,F,B做EF,AB,CD的平行线,易知所截的三角形为正三角形(EF-BC=AB-DE=CD-AF)内角60°,且构成3个平行四边形,易证六个内角都相等其实跟平移那个差不多只不过这个直接做辅助线了~
已知：在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD交于点O，DOC=60°.
（1）当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD是梯形时（如图2），ABCD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是_____________________________；
（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，结论AB+CD=AC是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.
?
【答案】
（1）见解析（2）AB+CD=AC（3）不成立，应为AB+CD＞AC，理由见解析
【解析】（1）在?ABCD中，∵AC=BD
∴?ABCD为矩形
又DOC=60°，
AOB=60°，
又OA=OB=OC=OD，
AB=CD=OA=OC．
即AB+CD=AC；（3分）
（2）AB+CD=AC；
DOC=60°，
AOB=60°，
AC=BD，
AOB，DOC都是正三角形，
OA=OB=AB，OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC；（3分）
（3）不成立，应为AB+CD＞AC．
如图所示过B作BMAC，过C作CMAB，
则四边形ABMC为平行四边形，
CM=AB，BM=AC=BD，BMAC，
又DOC=60°，
DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM为等边三角形，
BM=AC=DM
在CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．（4分）
（1）当四边形ABCD为平行四边形时，由于AC=BD，所以平行四边形ABCD实际为矩形，若DOC=60°时，三角形ABO和三角形DOC均为等边三角形，所以会有AB+CD=AC；
（2）当四边形ABCD为等腰梯形时，三角形ABO和三角形CDO也是等边三角形，所以会有AB+CD=AC；
（3）不成立，过B作BMAC，过C作CMAB，连接DM．构建平行四边形后AB=CM，BM=AC=BD，由于DOC=60°，可知DBM=60°，即三角形BDM为等边三角形，所以BD=BM=DM=AC，在三角形DCM中，CM+CD＞AC，即AB+CD＞AC．
解：过D做BC的平行线，过C做AB的平行线，两线交于一点F，连接EF设ABC=x度BC//DF，CF//DB；四边形BDFC为平行四边形。BCF=∠FDB=∠ABC=x度EAD=∠ACF=2x度又AB=AC，BC=AD=DE=CE。AE=BD=CF；DF=BC=DE.在ADE和EFC中CF=AECE=DEECF=∠EAD=2x∴△ADE≌△EFC∴EF=AD,△EFD为等边三角形EDF=∠EDA+∠ADF=(180-2×2x)+x=60x=40∴∠BAC=180-2×40=100度。
解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AD∥BC，CAD=∠ACB，AEF=∠CFE，EF垂直平分AC，垂足为O，OA=OC，AOE≌△COF，OE=OF，四边形AFCE为平行四边形，又EF⊥AC，四边形AFCE为菱形，设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，在RtABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，AF=5cm．（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，PC=5t，QA=12-4t，5t=12-4t，解得t=4/3，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
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