九年级数学竞赛第18讲_平面几何中的最值问题

第十八讲平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

例1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？



分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．

解作DE⊥AB于E，则

x2=BD2=ABBE

＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，



所以





所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．

-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，

上式只有当x=R时取等号，这时有



所以2y=R=x．

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．

例2如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？



分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有

2x+2y+πx=8，



若窗户的最大面积为S，则



把①代入②有









即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．

例3已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？



分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．

设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则

∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，

所以A，B，C′，C四点共圆，所以

∠CC′A=∠CBA=90°，

所以在△ACC′中，AC＞AC′，即

PA+PB＞P′A+P′B．



例4如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．

证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以

∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．

因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以

∠1=∠2=45°，∠3=∠4，

所以△ADN∽△BDM，



又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以

△MDN∽△BDA，

所以∠BAD=MND．

由于∠BAD=∠LCD，所以

∠MND=∠LCD，

所以D，C，L，N四点共圆，所以

∠ALK=∠NDC=45°．

同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为

△AKM≌△ADM，

所以AK=AD=AL

而



而



从而



所以S△ABC≥S△AKL．

例5如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．



证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则

PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；

若∠P1Q1C≥90°，则

PQ≤P1Q1≤P1C．

同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则

P1C≤BC=AB．

对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．

例6设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．

解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．



(1)l与BC相交于D，则



所以



只有当l⊥BC时，取等号．

(2)l′与B′C相交于D′，则



所以



上式只有l′⊥B′C时，等号成立．



例7如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．



解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而



即AB2．

当AO=BO时，AB有最小值2．从而





所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为



练习十八

1M为圆O外一定点，P为圆O上一动点．试求MP的最大值和最小值．

2AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直．如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值．

310厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？

4l1∥l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求△ABP周长的最小值．

5ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？