初中数学辅助线
1.三角形问题添加辅助线方法
方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
3.梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
五：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
初中几何常见辅助线口诀
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。
：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF＝2AD。
二、截长补短法作辅助线。
在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。
三、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC
分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）
∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）
在△DBE与△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE（AAS）
∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
四、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
∵AB∥CDAD∥BC（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
五、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF（已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）CF（全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE
六、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB(SSS)
∴∠A＝∠D(全等三角形对应边相等)
七、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，
在△ABN和△DCN中
∵
∴△ABN≌△DCN（SAS）
∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。
二由想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
从角平分线上一点向两边作垂线；
利用角平分线，构造对称图形。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180?
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
三由和差想到的辅助线线段倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
由中点想到的辅助线
口诀三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。一、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。ΔCDF的面积为。二、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是ΔBCD的中位线，MECD，MEF=∠CHE，MF是ΔABD的中位线，MFAB，MFE=∠BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=∠MFE，从而BGE=∠CHE。
（三、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，AD=ED，ADC=∠EDB，CD=BD，ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，从而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD===，故BC=2BD=2。例4．如图5，已知ΔABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。证明：延长AD到E，使DE=AD。仿例3可证：
ΔBEDΔCAD，
故EB=AC，E=∠2，
又1=∠2，1=∠E，
AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。四、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=∠DCE。AB//DC，
CDE=∠1，DCE=∠2，
1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，
DE=CE，1=∠2，AE=BE，ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。五、角且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线中线延长
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
梯形的辅助线
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
作法 图形 平移腰，转化为三角形、平行四边形。 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 延长两腰，转化为三角形。 作高，转化为直角三角形和矩形。 中位线与腰中点连线。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.
解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在Rt△DAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
解：过点B作BM//AD交CD于点M，
在△BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－4
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以
3、平移对角线：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°．
作DH⊥BC于H，则
．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。
解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在△ACE中，，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。
解：连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
证：过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm
∵AB=DC
∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm
∴AB=2BE=2cm，
∴
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①
在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以 ②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。
证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分别延长AE与BC，并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800－∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC（对顶角相等）
DE=EC（E点是CD的中点）
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AE=FE
在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE
∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴在△FEB中∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F．
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC，∴BE=AE．
F
E
C
D
B
A
FD
ED
DD
C
B
A
H
E
C
D
B
A
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