祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！
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椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）（必背的经典结论）（必背的经典结论）（必背的经典结论）
高三数学备课组
椭椭椭椭圆圆圆圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角外角外角外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离相离相离相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切内切内切.
5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab+=.
6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
00
221
xxyy
ab+=.
7.椭圆
22
221
xy
ab+=(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPFγ∠=，则椭圆的焦点
角形的面积为122tan2FPFSbγ?=.
8.椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的焦半径公式：
10||MFaex=+,20||MFaex=?(1(,0)Fc?,2(,0)Fc00(,)Mxy).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦
点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P
和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是椭圆
22
221
xy
ab+=的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则
2
2OMAB
bkk
a?=?，
即
0
2
0
2
ya
xbK
AB?=。
12.若000(,)Pxy在椭圆
22
221
xy
ab+=内，则被Po所平分的中点弦的方程是
22
0000
2222
xxyyxy
abab+=+.
13.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab+=+.
双曲线双曲线双曲线双曲线
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角内角内角内角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交相交相交相交.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切相切相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab?=（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab?=.
6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab?=（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则
切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab?=.
7.双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点12FPFγ∠=，
则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbcoγ?=.
8.双曲线22221xyab?=（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1(,0)Fc?,2(,0)Fc
当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa=+,20||MFexa=?.
当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa=?+,20||MFexa=??
9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于
点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则
0
2
0
2
ya
xbKK
ABOM=?，即
0
2
0
2
ya
xbK
AB=。
12.若000(,)Pxy在双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
22
0000
2222
xxyyxy
abab?=?.
13.若000(,)Pxy在双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
22
00
2222
xxyyxy
abab?=?.
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椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭椭椭椭圆圆圆圆
1.椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa?,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时
A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
22
221
xy
ab?=.
2.过椭圆
22
221
xy
ab+=(a＞0,b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，
则直线BC有定向且
2
0
2
0
BC
bxk
ay=（常数）.
3.若P为椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFFα∠=,
21PFFβ∠=，则tant22
acco
ac
αβ?=
+.
4.设椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2
中，记12FPFα∠=,12PFFβ∠=,12FFPγ∠=，则有sinsinsinceaαβγ==+.
5.若椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21?时，可在
椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2112||||||2||aAFPAPFaAF?≤+≤+,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.
7.椭圆220022()()1xxyyab??+=与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是
22222
00()AaBbAxByC+≥++.
8.已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ⊥.（1）
2222
1111
||||OPOQab+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
22
22
4ab
ab+;（3）OPQS?的最小值是
22
22
ab
ab+.
9.过椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x
轴于P，则||||2PFeMN=.
10.已知椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
0(,0)Px,则
2222
0
ababx
aa
???<<.
11.设P点是椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPFθ∠=，则
(1)2122||||1cosbPFPFθ=+.(2)122tan2PFFSbγ?=.
12.设A、B是椭圆
22
221
xy
ab+=（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PABα∠=,
PBAβ∠=,BPAγ∠=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)
2
222
2|cos|||
s
abPA
acco
α
γ=?.(2)
2tantan1eαβ=?.(3)22
22
2cot
PAB
abS
baγ?=?.
13.已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交
于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx⊥轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
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椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）
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双曲线双曲线双曲线双曲线
1.双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa?,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
22
221
xy
ab+=.
2.过双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞o）上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C
两点，则直线BC有定向且
2
0
2
0
BC
bxk
ay=?（常数）.
3.若P为双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,12PFFα∠=,
21PFFβ∠=，则tant22
caco
ca
αβ?=
+（或tant22
caco
ca
βα?=
+）.
4.设双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PF1F2中，记12FPFα∠=,12PFFβ∠=,12FFPγ∠=，则有sin(sinsin)ceaαγβ==±?.
5.若双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21+时，
可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为双曲线22221xyab?=（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
21||2||||AFaPAPF?≤+,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时，等号成立.
7.双曲线22221xyab?=（a＞0,b＞0）与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是
22222AaBbC?≤.
8.已知双曲线22221xyab?=（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ⊥.
（1）22221111||||OPOQab+=?;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba?;（3）OPQS?的最小值是2222abba?.
9.过双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂
直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN=.
10.已知双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相
交于点0(,0)Px,则
22
0
abx
a
+≥或22
0
abx
a
+≤?.
11.设P点是双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPFθ∠=，
则(1)
2
12
2||||
1cos
bPFPF
θ=?.(2)12
2cot
2PFFSb
γ
?=.
12.设A、B是双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PABα∠=,
PBAβ∠=,BPAγ∠=，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)
2
222
2|cos|||
|s|
abPA
acco
α
γ=?.
(2)2tantan1eαβ=?.(3)22222cotPABabSbaγ?=+.
13.已知双曲线
22
221
xy
ab?=（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与
双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx⊥轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
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