顺义区2014届初三第一次统一练习
数学试卷
考生须知 1．本试卷共页，共五道大题，25道小题，满分120分考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．B．
C．D．
2．-2的是
D．
3．是A．B．C．D．
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．某有名，
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
6．如图，AB=AC，AD∥BC，，
则的度数是
A．30°B．35°C．40°D．50°
7．小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满足
A．x=3 B．x=7 C．x=3或x=7 D．
8．如图，点C为⊙O的直径AB上一动点，，过点C作交⊙O于点D、E，连结AD，．当点C在AB上运动时，设的长为x，的面积为，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若分式的值为零，则的值为．
10．一次函数的图象过点（0，1），且函数y的值随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式．
11．已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为．
12．如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用，，，，…表示，其中x轴与边，边与，与，…均相距一个单位，则顶点的坐标为；的坐标为；（n为正整数）的坐标为．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组：
15．已知：如图，E是上一点，AB=CE，AB∥CD，
∠ACB=∠D．
求证：BC=ED．
16．已知，求的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C．已知，，．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△OBC的面积．
18．列方程或方程组解应用题：
重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元已知种商品每千克的价值比种商品每千克的价值少00元分别求两种商品每千克的价值四、解答题（本题共20分，每小题5分）
活动下旬频数分布扇形图
图2
（1）从以上统计图、表可知，九年级（1）班共有学生多少人？
（2）求出图1中a的值；
（3）从活动上旬和中旬的统计图、表判断，在这次读书月活动中，该班学生每日阅读时间
（填“普遍增加了”或“普遍减少了”）；
（4）通过这次读书月活动，如果该班学生初步形成了良好的每日阅读习惯，参照以上统计图、表中的数据，至读书月活动结束时，该班学生日人均阅读时间在0.5~1小时的人数比活动开展初期增加了多少人？
21.如图，AB经过⊙O上的O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．
（1）求证：O的切线；30°，⊙O的2，求中，，，，设为最长边．当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，可以判断的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当三边长分别为6，8，9时，为____三角形；当三边长分别为6，8，11时，为______三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当>时，为锐角三角形；当<时，为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当，时，最长边在什么范围内取值时，是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知抛物线A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）；（2）右，是等腰三角形，求抛物线的式；，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．
24．已知：如图，．
（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个
与全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图，在四边形ABCD中，，．
求证：CD=AB．
25．设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．
（1）是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3），，且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求的值． C B C A C D A 二、填空题（本题共16分，每小题4分，）
9．；10．答案不唯一，如：；11．15米；
12．，，．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：
………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
解不等式①，得，
解不等式②，得．
不等式组的解集为．
15．证明：∵AB∥CD，
∴．……………………………………………………………1分
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED．………………………………………………………4分
∴BC=ED．………………………………………………………………5分
16．解：
……………………………………………………………………3分
当时，原式．…………………………………5分
17．解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，
∵，，
∴BD=2，OD=5.
∴．………………………1分
把带入反比例函数中，得．
∴反比例函数的解析式为．……………………………………2分
∴．
将、带入一次函数中，得
解得
∴一次函数的解析式为．…………………………………………3分
（2）令，得．
∴一次函数与x轴交点．
∴．……………………………………5分
18．解：设乙种商品每千克的价值种商品每千克的价值．………………………………………………2分
解得．………………………………………………………………3分
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义．……………………4分
x-100=150．
答：甲种商品每千克的价值为150元，乙种商品每千克的价值为250元．………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：延长BA、CD．…………………………2分
∵CD=3，∴DE=5．………………………………………3分
∴．……………………4分
∴．………………………………5分
20．（1）由活动中旬频数分布表可知：2+3+5+15+25=50．
答：九年级（1）班共有学生50人．……………………………………………1分
（2）a=50-30-15-2=3．………………………………………………………………2分
（3）普遍增加了．……………………………………………………………………3分
（4）由图2可知，活动下旬人均阅读时间在0.5~1小时的人数：，
由图1知活动上旬人均阅读时间在0.5~1小时的人数为15，增加了15人．…5分
21．（1）证明：连结OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．……………………1分
∵OC是半径，
∴AB是⊙O的切线．……………2分
（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵D、E分别是OA、OB的中点，⊙O的2，
∴OD=OE=AD=BE=2．
∵OA=OB，∠A=30°，
∴∠B=∠A=30°．
∵EF切⊙O于点E，
∴EF⊥OE．
∴∠BEF=90°.
∴，．
在Rt中，∠A=30°，AD=2，
∴DM=1，．
在Rt中，∠A=30°，OA=4，
∴．．
∴．
在Rt中，．…5分
22.解：（1）锐角，钝角．………………………………………………………………2分
（2）∵为最长边，∴．
①，即，
∴当时，这个三角形是直角三角形．…………………………3分
②，即，
∴当时，这个三角形是锐角三角形．………………………4分
③，即，
∴当时，这个三角形是钝角三角形．………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）令，有．
∴．∴．
∴，．
∵点B在点A的右侧，
∴，．…………………………………………2分
（2）∵点B在原点的右A的右侧，．∴．
∴．
令，有．
∴．
∵是等腰三角形，且∠BOC=90°，
∴．即．
∴．
∴，（舍去）．
∴．
∴抛物线的解析式为．………………………………4分
（3）依题意并结合图象可知，一次函数图象与二次函数图象交点的横坐标分别为和由此可得交点坐标为和．将交点坐标代入一次函数解析式得解得
一次函数的解析式．…………………………………………7分即为所求．
………画图1分，构造说明1分，共2分（2）证明：延长BC到点E，使CE=AD，连结AE．
∵，
，
∴．………………3分∴≌．………………4分∴∠D=∠E，CD=AE．……………………………………………5分∴∠B=∠E．
∴AE=AB．…………………………………………………………6分∴CD=AB．…………………………………………………………7分的图象可知，当时，函数值随着自变量的增大而减少，而当时，；时，，故也有，
所以，函数是闭区间上的“闭函数”．……………………1分是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：
①当时，，解之得．
∴一次函数的解析式为．……………………………………………………3分时，，解之得．
∴一次函数的解析式为．…………………………………………5分或．
（3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，顶点为，由题意根据图象，分以下两种情况讨论：
①当时，必有时，且时，，
即方程必有两个不等实数根，解得，．
而0，6分布在2的两边，这与矛盾，舍去；………………………6分时，必有函数值的最小值为，
由于此二次函数是闭区间上的“闭函数”，故必有，……………7分，而当时，，即得点；
又点关于对称轴的对称点为，
由“闭函数”的定义可知必有时，，即，解得，．
故可得，符合题意．…………………………………………………8分为所求的实数．
日人均阅读时间分组 频数 0≤t<0.5 3 0.5≤t<1 15 1≤t<1.5 25 1.5≤t<2 5 2≤t<2.5 2
|
|
