培优平行截割
例一考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．
解答：
∴AP：PQ：QC=5：3：12．
点评：主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．
例二
例三考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：几何综合题．
分析：此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．
解答：解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
拓展1拓展2
：（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，∴AC∥DE，∴△PCQ∽△RDQ；
例四考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理；梯形．
专题：证明题；探究型．
分析：（1）由P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，很容易想到中点连成中位线，利用三角形中位线定理和AB=CD，结论可证．（2）P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，有此关系，说明AB=PE+PF
是否成立，首先想到平行线分线段成比例定理，列出线段的比例关系，
，利用合理的等式变形，①②的左边+左边=右边+右边，可得从而问题得到解决．
点评：此题主要考查三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理的理解及运用．等式的合理变形也是问题解决的好方法．
1、
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：压轴题．
分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解．
解答：解：ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．
点评：本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．
拓展：考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定可得，△FBE∽△FDA，再利用相似三角形的性质得出△FBE与△FDA的面积比．
评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据已知得出△FBE∽△FDA是解决问题的关键．
2\
考点：平行线分线段成比例．
专题：应用题．
分析：可过点D作GD∥EC交AB于G，由中位线定理可得BG=GE，进而可得AE与BE
的比值，当其比值为
评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
3\考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：由平行四边形中CD∥AB，则∠FEC=∠FAB，∠FCE=∠FBA，可知△FEC∽△FAB，从而得到相似比FE：AE=1：2，又由AD∥BC，所以∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠ECF，可知△ADE∽△FCE，从而得到CF：AD=FE：EA，所以可以得到CF=2．
解答：解：∵平行四边形ABCD∴CD∥AB∴∠FEC=∠FAB，∠FCE=∠FBA∴△FEC∽△FAB∴EC：AB=FE：AF=1：3∵AF=EF+AE∴FE：AE=1：2∵AD∥BC∴∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠ECF∴△ADE∽△FCE∴CF：AD=FE：EA∵AD=4∴CF=2
点评：根据平行四边形的性质，结合相似三角形求解．
拓展：因，EC：AB=1:3，所以EC：ED=1:2，CF:AD=1:2则SCEF的边CF的高:平行四边形ABCD的边AD上的高=1:3则SCEF：S平行四边形ABCD=1:12相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
专题：几何图形问题；压轴题；分类讨论．
分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．
5\考点：相似三角形的判定．
分析：根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中△BFH、△BAG、△CEG、△CDH任意两个三角形都相似．
解答：解：∵AB∥CD，AE∥DF；∴△BFH∽△BAG△BAG∽△CEG△BFH∽△CEG△BFH∽△CDH△CEG∽△CDH△CDH∽△BAG．∴相似三角形共有6对．故选C．
点评：本题主要考查平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，以及n个图形任意两个都相似，共有几对相似的计算方法．
拓展：考点：相似三角形的判定．
分析：根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．
解答：解：由题意结合图形可得：图中所有的三角形相似，故△ABG相似三角形有：△FBH，△ECG，△DCH，共3个．故选B．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定，根据所给图形判断出图中所有的三角形相似，是解答本题的关键．
考点：相似三角形的判定．
分析：根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．
解答：解：AB∥CD，AE∥FD∴△CEG∽△BAG，△CEG∽△CDH，∵△BFH∽△CDH，∴△CEG∽△BFH，∴与△CEG相似三角形有3对．故选B．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．
6、考点：平行线分线段成比例．
分析：由平行四边形可得AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∠AEF与∠DEC是对顶角，再由平行线分线段成比例即可得出题中的线段是否成比例．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴FA：CD=EF：EC，即FA：AB=EF：EC，∴FA：CD=AE：DE，并不等于AE：EC，又∠AEF与∠DEC是对顶角，所以∠AEF=∠DEC．故选B．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，能够熟练掌握．
7、考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：压轴题．
分析：先根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再由平行线法证明出△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，然后利用相似三角形的性质得出DF：BE的值及BE：AD的值，进而求出AD：DF的值．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△BO3E∽△DO3F，△BO1E∽△DO1A，∴BE：DF=BO3：DO3=3：1，BE：AD=BO1：DO1=1：3=3：9，∴AD：DF=9：1．故选B．
点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
8、
DF:FE=3:1过E点作AB的平行线，交BC的延长线于点G。B=∠BGE，AB=AC,所以，B=∠ACB，ACB=∠GCE。BGE=∠GCE，所以，CE=GE，BD=3CE=3GE，BD：GE=3:1，由于GE平行于BD，DF:FE=3:1
梯形；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由平行线的性质知，∠F=∠BEM，由M是腰BC的中点知BM=CM，故可由AAS证得△FCM≌△EBM，得出BE=FC，进而得到BE与FD的关系，由BE∥FD，可得△BNE∽△DNF，则BN：ND=BE：FD，代入BE，FD的值即可得BN：ND的值．
解答：证明：设EB=a，则AE=2a，AB=3a，CD=9a．（1分）∵AB∥CD，∴∠F=∠BEM，∵M为BC的中点，∴BM=CM，又∠FMC=∠EMB，在△FCM和△EBM中
点评：本题利用了平行线的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质求解．对于含有两线段成比例的题，常常通过设参数来达到简化计算的目的．
10、考点：相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法．
专题：几何综合题．
分析：（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论．（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长．
解答：证明：（1）∵AD∥BC∴∠GED=∠GBC∵∠G=∠G
∴△GED∽△GBC
点评：此题主要考查了梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质和解一元二次方程．
11、1、EB‖CD∴EB:CD=BG:DGCD=AB∴EB:AB=BG:DG2、EF‖BD∴EB:AB=DF:ADAD=BC∴BG:DG=EB:AB=DF:BC又DF‖BC∴DF:BC=FH:CH∴BG:DG=FH:CH3、DF‖BC∴FH:CH=DH:BH∴BG:DG=DH:BH∴BG:(BG+DG)=DH:(DH+BH)即BG:BD=DH:BDBG=DH
12、考点：平行线分线段成比例；梯形．
专题：应用题．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．
13、考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：计算题．
分析：过O作OG∥CD，则△CEF∽△GEO，根据相似三角形对应边比值相等的性质，可以求得CF的值，即可解题．
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，
本题中根据求是解题的关键．
14\考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．
评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．
15、考点：三角形中位线定理．
专题：压轴题．
分析：过E作EM∥AB与GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比．
解答：解：过E作EM∥AB与GC交于点M，∴△EMF≌△DGF，∴EM=GD，∵DE是中位线，
点评：本题考查三角形中位线定理和全等三角形的性质，由中点构造全等三角形，从而将求解同一直线上的两条线段的比值问题转化为不共线的两条线段的比值问题．
16、考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例．
专题：证明题．
分析：根据角平分线定义求出∠ECF=90°，求出矩形AECF，推出AC=EF=b，AN=CN，得出AM=BM，即可求出答案．
点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
17\考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：过点E作EG∥AD，交AC于点O，利用平行线分线段成比例及三角形相似就可以表示出AO、CO的比值，进而表示出，AP+PO比PC-PO的比值，再表示出EO、BC的比值，从而表示出EO，利用△APF∽△OPE可以表示出PO，代入第一个比例式就可以求出结果．
解答：解：过点E作EG∥AD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EG∥BC，AD=BC，
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理的运用．
18、考点：平行线分线段成比例．
专题：计算题．
分析：此题根据平行线分线段成比例定理写出比例式，再根据等式的性质，进行相加，得到和已知条件有关的线段的和，再代入计算．
解答：解：∵AB∥EF∥CD，
点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．
19\
20\(1)当PQAD时ADQ与APD都是等腰直角三角形AD/AQ+AD/AP=cos45°+cos45°=√2∴1/AQ+1/AP=√2/AD（2）如图，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论仍成立过P,Q分别作AD和AD的延长线的垂线垂足分别为F,GAE=APcos45°，AG=AQcos45°AD-DF=(√2/2)AP,AD+DG=(√2/2)AQ∴AD/AP-DF/AP=√2/2,AD/AQ+DG/AQ=√2/2∴AD/AP+AD/AQ+DG/AQ-DF/AP=√2∵DG/AQ=DG/(√2QG)=(√2/2)DG/QG=√2/2（1/tanQDG）DF/AP=DF/(√2PF)=(√2/2)DF/PF=√2/2（1/tanPDF）AD/AP+AD/AQ=√2∴1/AQ+1/AP=√2/AD（3）AF=APcos30°，AG=AQcos30°AD-DF=(√3/2)AP,AD+DG=(√3/2)AQ∴AD/AP-DF/AP=√3/2,AD/AQ+DG/AQ=√3/2∴AD/AP+AD/AQ+DG/AQ-DF/AP=√3∵DG/AQ=DG/(2QG)=(1/2)DG/QG=1/2（1/tanQDG）DF/AP=DF/(2PF)=(1/2)DF/PF=1/2（1/tanPDF）AD/AP+AD/AQ=√3∴1/AQ+1/AP=√3/AD∴n=√3
21、考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．
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